Сопротивление материалов - часть 19



5.3. Радиусы инерции сечения
Моменты инерции сечения относительно осей х и у можно пред-

ставить  как  произведения  площади  F  сечения  на  квадрат  некоторой
величины, называемой радиусом инерции:

J

x

 = F i

x

2

,   J

y

 = F i

y

2

,

(5.17)

где i

x

 , i

y

 - радиусы инерции площади сечения относительно осей х и

у.

Из выражений (5.17) следует, что:

i

i

x

Jx

F

y

J y

F

=

=

 ;    

.

(5.18)

Главным центральным осям инерции соответствуют главные  ра-

диусы инерции сечения:



6.  Изгиб

Изгиб  бруса  вызывается  действием  поперечной  нагрузки  (рис.

6.1,а).  Прямым  изгибом  называется  нагружение  бруса,  при  котором
плоскость действующей  нагрузки  проходит  через  ось  бруса  и  совпа-
дает с одной из главных плоскостей инерции бруса (плоскость распо-
ложения главных осей инерции поперечных сечений бруса). Частным
случаем  прямого  изгиба  является  плоский  изгиб  бруса,  при  котором
нагружение происходит в плоскости симметрии бруса.

Брус, работающий на изгиб, обычно называют балкой.
В  поперечных  сечениях  бруса  при  прямом  изгибе  возникают

внутренние силовые факторы - изгибающий момент 

M

 и поперечная

сила Q, которые определяются по методу сечений. Для них использу-
ется правило знаков, показанное на рис. 6.1,б. Положительная попе-
речная сила вызывает поворот рассматриваемой части бруса по хо-
ду часовой стрелки; положительный изгибающий момент вызывает
сжатие  верхних  волокон  бруса  (для  горизонтально  расположенного
участка бруса). (Для произвольного положения бруса при построении
эпюр обычно положительный момент откладывается со стороны сжа-
тых волокон.)

Рис. 6.1

Различают чистый и поперечный изгиб. При чистом изгибе в по-

перечных сечениях бруса возникает только изгибающий момент, при
поперечном изгибе - изгибающий момент и поперечная сила.

6.1. Дифференциальные и интегральные зависимости

при изгибе

Для внутренних силовых факторов при изгибе балки существуют

определенные  зависимости.  Рассмотрим  произвольно  нагруженную
балку (рис. 6.2,а), где положительное направление нагрузки q(z) сов-



падает  с  направлением  оси  у.  Для  элементарного  участка  dz  балки  в
пределах действия только нагрузки q учтём возникающие в сечениях
внутренние силовые факторы (рис. 6.2,б). В пределах малого участка
dz  нагрузку  q  можно  считать  равномерно  распределенной, 

M

  и  Q

приложены в положительном направлении с учётом их изменения по
длине.

Рис. 6.2

Уравнения  равновесия  выделенной  части  балки  имеют  вид  (для

уравнения  моментов  поперечная  ось  x  рассматривается  для  правого
сечения):

∑

F

y

 = 0;     Q + q

⋅⋅⋅⋅

dz - (Q+dQ) = 0;

∑

m

x

 = 0;    - 

M

 - Q

⋅⋅⋅⋅

dz - 

q dz

dz

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

2

 + (

M

 +d

M

) = 0.

Отбрасывая  во  втором  уравнении  члены  второго  порядка  мало-

сти, получаем дифференциальные зависимости при изгибе:

d

dz

q

Q

====

;   

d

dz

M

====

Q

     

⇒

 

d

dz

q

2

2

M

====

 (6.1)

(третье соотношение получено на основе первых двух).

Из  соотношений (6.1)  путем  интегрирования  можно  получить

интегральные зависимости при изгибе:

Q(z)=

q z dz

z

( )

∫

+Q

0

;

  

 

M

(z) = 

Q ( )

z dz

z

∫

+ 

M

 0

,

(6.2)

где  Q

0

, 

M

0

 - значения  поперечной  силы  и  изгибающего  момента  в

начальном сечении участка.

На  основе  зависимостей (6.1), (6.2) и  способов  исследования

функций  в  математическом  анализе  следуют  выводы  о  характере
функций  Q(z)  и 

M

  (z),  которые  можно  рассматривать  как  правила

контроля и построения эпюр Q и 

M

.



1.  Для  участков,  где  q=0,  эпюра  Q  ограничена  горизонтальной

прямой,  а  эпюра 

M

 - наклонной  прямой  (если  на  участке  Q = 0, то

M

 =const).

2. Для участков, где q = const 

≠

 0, эпюра Q ограничена наклонной

прямой, эпюра 

M

 

- квадратичной параболой.

3. При q 

≠

 0 выпуклость параболической эпюры 

M

 противопо-

ложна направлению нагрузки q.

4. В сечении, где Q = 0 при q 

≠

 0, эпюра 

M

 

имеет  экстремум:

max - при q < 0, min - при q > 0.

5.  В  сечении,  где  приложена  внешняя  сосредоточенная  сила,  на

эпюре Q имеет место скачок на величину этой силы, а на эпюре 

M

 -

излом навстречу  силе.  В  сечении,  где  приложен  внешний  сосредото-
ченный момент, на эпюре 

M

 имеет место скачок на величину этого

момента.

6. Ордината эпюры 

M

 численно равна площади эпюры Q на со-

ответствующем  участке  (если  в  пределах  этого  участка  нет  сосредо-
точенных моментов).

6.2. Основные зависимости при чистом изгибе
В  теории  чистого  изгиба  принимаются  следующие  кинема-

тическая и статические гипотезы.

1.  Гипотеза  плоских  сечений:  сечения,  плоские  до  деформации,

остаются плоскими и после деформации.

2.  Гипотеза  ненадавливания  продольных  слоёв  друг  на  друга:

продольные слои балки не взаимодействуют в поперечном направле-
нии, т. е. нормальные напряжения в продольных сечениях равны ну-
лю.

3.  Деформации  и  напряжения  по  ширине  поперечного  сечения

балки постоянны.

Эти  гипотезы  хорошо  подтверждаются  экспериментально.  Если

на  поверхность  недеформированной  призматической  балки  нанести
прямоугольную сетку линий (рис. 6.3,а), то при чистом изгибе балки
сетка  искажается  так,  что:  а)  поперечные  линии  остаются  прямыми,
поворачиваясь на некоторый угол; б) продольные линии искривляют-
ся  по  дугам  окружностей  и  остаются  перпендикулярными  попереч-
ным  линиям  (рис. 6.3,б).  При  этом  изменяется  и  форма  поперечных
сечений: в  растянутой  в  продольном  направлении  зоне  балки  проис-
ходит сужение в поперечном направлении, в сжатой зоне - расшире-
ние.