Сопротивление материалов - часть 21



ра. Основываясь на таком подходе, можно убедиться, что лучше при-
менять  балки  не  сплошного  круглого  сечения,  а  кольцевого;  не  пря-
моугольного сечения, а коробчатого.

Рис. 6.7 

Рис. 6.8

Для  балок  из  материалов,  неодинаково  работающих  на  растяже-

ние и сжатие, выгодным является применение сечений, несимметрич-
ных относительно нейтральной линии.  Причём  положение  нейтраль-
ной  линии  желательно  иметь  таким,  чтобы  выполнялось  условие

σσσσ

p

max

/

σσσσ

c

max 

 = 

σσσσ

вp

/

σσσσ

вc

. При этом важна правильная ориентация сече-

ния  в  зависимости  от  положения  растянутых  и  сжатых  волокон.  На-
пример, для консольной чугунной балки таврового сечения (рис. 6.8)
при показанном направлении нагрузки необходимо расположить бал-
ку полкой вверх, т. к. в этом случае будет 

σσσσ

c

max

 > 

σσσσ

p

max

, а для чугуна

σσσσ

вc

 > 

σσσσ

вp

.

6.5. Напряжения при поперечном изгибе
При  поперечном  изгибе  в  сечениях  балки  возникают  не  только

нормальные 

σσσσ

, но и касательные 

ττττ

 напряжения. Поперечная сила Q в

сечении  является  результирующим  силовым  фактором  от  действия
вертикальной  составляющей 

ττττ

  касательных  напряжений: Q = 

τ

dF

F

∫

.

В результате возникающей деформации сдвига 

γγγγ

 поперечные сечения

не  остаются  плоскими,  а  искривляются.  Кроме  того,  действие  попе-
речной  нагрузки,  в  частности  распределенной 

q(z)

,  приводит  к  взаи-

модействию продольных слоёв балки. Таким образом, строго говоря,
при поперечном изгибе балки не соблюдаются гипотезы 1 и 2, приня-
тые  при  чистом  изгибе.  Однако  экспериментальные  результаты,  а
также сопоставление с более строгим решением по теории упругости
показывают, что несоблюдение отмеченных гипотез при поперечном
изгибе  приводит  к  несущественной  погрешности  при  использовании
формул чистого изгиба. Поэтому и при поперечном изгибе использу-
ются  соотношения (6.6) для  кривизны  оси  изогнутой  балки  и
соотношения (6.7), (6.8) - для нормальных напряжений:



σσσσ

====

M

y

J

x

;    

σσσσ

m ax

=

M

W

x

.

Для определения касательных напряжений 

ττττ

 в произвольной точ-

ке сечения используется гипотеза 3 (

ττττ

 = const

 по ширине сечения) и

закон  парности  касательных  напряжений.  Выделим  элемент  балки
(рис. 6.9,а) (берётся участок балки, где 

q

 = 0, т.к. учёт распределённой

нагрузки 

q

  приводит  к  появлению  членов  второго  порядка  малости,

которыми  можно  пренебречь)  и  рассмотрим  верхнюю  часть  этого
элемента, отсеченную продольной плоскостью  

y

1

 = const

  (рис. 6.9,б).

Рис. 6.9

На  отсечённую  часть  в  поперечных  сечениях  действуют  нор-

мальные напряжения (

σσσσ

+d

σσσσ

), 

σσσσ

 и касательные напряжения 

ττττ

, а в про-

дольном  сечении  действуют  такие  же  напряжения 

ττττ

  согласно  закону

парности  касательных  напряжений  (Направление  напряжений  соот-
ветствует положительным направлениям 

M

 и Q Напряжения приве-

дём к результирующим силам (рис. 6.9,в):

N

dF

F

*

*

====

∫∫∫∫ σσσσ

;  

N

d

dF

F

1

*

(

)

*

====

++++

∫∫∫∫ σσσσ

σσσσ

;  dT

*

 = 

ττττ

 bdz,

(6.10)

где F

*

 - площадь отсечённой части поперечного сечения.

Составим уравнение равновесия для отсечённой части балки:

F

z

∑

∑

∑

∑

====

0

;   - N

1

*

 + N

*

+ dT

*

 = 0  или   dT

*

 = N

1

*

 - N

*

.

После подстановки соотношений (6.10) в это уравнение и преоб-

разований,  а  также  с  учетом  дифференциального  соотношения

d

d

σσσσ

====

⋅⋅⋅⋅

M

y

J

x

 из (6.7), можно получить:

ττττ

σσσσ

bdz

d

dF

d

dF

d

dF

F

F

F

====

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

====

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

*

*

*

M

M

y

J

J

y

x

x

  или  

ττττ

====

∫∫∫∫

1

b

d

dz

ydF

*

F

J

x

M

*

.



Учитывая,  что

ydF

S

F

x

====

∫∫∫∫

 

*

*

; 

d

dz

M

====

Q

,

окончательно получаем формулу для ка-
сательных напряжений в балках, которая
носит  название  формулы  Д.И.  Журав-
ского:

ττττ

====

Q S

J

x

*

x

b

,                 (6.11)

где 

ττττ

 - вертикальная составляющая каса-

тельного  напряжения;  Q - поперечная

сила в сечении балки; J

x

 - момент инерции сечения относительно ней-

тральной линии; 

b = b(y) 

- ширина сечения на уровне y, где опреде-

ляются касательные напряжения (по ширине сечения они постоянны);
S

x

*

=S

x

*

(y) - статический  момент  отсеченной  части  сечения  (располо-

женной  выше  или  ниже  уровня 

y

) (рис. 6.10).  Направление

касательных напряжений 

ττττ

 в поперечном сечении балки соответствует

направлению поперечной силы Q в этом сечении.

Для примера рассмотрим балку прямоугольного сечения со сторонами b и h

(рис. 6.11,а).  В  соответствии  с  формулой (6.11)  изменяется  только  статический
момент отсечённой части сечения:

S

y

y

y

y

c

x

F

b

h

h

b h

bh

b

*

*

(

)

(

)

(

);

;

)

.

=

=

−

+

=

−

=

=

2

1

2 2

2

4

12

1

1

2

1

2

3

  Jx

  b(y

1

Тогда

τ

τ

=

⋅

−

=

−

=

=

=

Q

y

Q

y

y

Q

Q

bh

b

b h

bh

h

bh

F

3

2

1

2

3

2

1

2

1

12

2

4

6

4

0

3

2

3

2

(

)

(

);

.

  

è  ïðè 

 

m ax

Для  круглого  сечения  радиуса  R,  выполнив  аналогичные  преобразования,

можно получить:

τ

τ

π

π

(

)

(

);

y

Q

y

Q

Q

1

4

2

1

2

2

4

3

4

3

4

3

=

−

=

=

R

R

R

F

    

 .

m ax

На рис. 6.11а,б приведены эпюры касательных напряжений 

ττττ

 для

прямоугольного  и  круглого  сечений.  В  обоих  случаях  напряжения
распределяются по высоте сечения по закону квадратичной параболы,
максимальные напряжения возникают в точках нейтральной линии.

Рис. 6.10



Рис. 6.11

Некоторые  особенности  в  распределении  касательных  напряже-

ний имеют место для тонкостенных профилей. Эпюра 

ττττ

 для двутавро-

вого сечения показана на рис. 6.11,в. Вследствие резкого уменьшения
ширины  сечения  возрастает  величина  касательных  напряжений  в
стенке профиля. Максимальные напряжения равны 

ττττ

max

 = QS

*

x

/J

x

d, а

величины  J

x

,  S

*

x

,  d  приводятся  в  соответствующих  таблицах  ГОСТ

сортамента.  Приведенная  эпюра 

ττττ

y

  является  приближенной,  т.  к.  не

учитывает  местного  увеличения  напряжений  вблизи  входящего  угла
сечения, где стенка соединяется с полкой.

Можно  сопоставить  наибольшие  касательные  и  нормальные  на-

пряжения  в  балках,  чтобы  выяснить  определяющие  напряжения  при
поперечном  изгибе  балок.  Например,  для  консольной  балки  прямо-

угольного сечения (рис. 6.12) эти напря-
жения равны:

σσσσ

m ax

m ax

/

====

====

====

M

W

P

bh

P

bh

x

l

l

2

2

6

6

;

ττττ

m ax

====

====

3

2

3

2

Q

P

h

F

b

.

Сопоставляя  полученные  значения 

σσσσ

ττττ

m ax

m ax

====

4

l

h

  и  учитывая,  что

для бруса l/h>10, можно сделать вывод, что для  нетонкостенных  ба-
лок максимальные нормальные напряжения значительно больше, чем
касательные напряжения.

Следует  отметить,  что  формула (6.11)  позволяет  вычислить  на-

пряжения  не  только  в  поперечных  сечениях,  но  и  в  продольных  (по
закону парности касательных напряжений).

6.6. Расчет на прочность при изгибе
Для балок в большинстве практических случаев определяющими

являются нормальные напряжения, а касательные напряжения играют
второстепенную роль. Поэтому основным принимается условие проч-

Рис. 6.12