Сопротивление материалов - часть 25

Балки переменного и постоянного сечения в значительной мере различают-

ся и по перемещениям. Так, для  консольной  балки  постоянного  сечения  макси-
мальный  прогиб  равен 

v

max

=Pl

3

/3EJ

o

,  а  для  консольной  балки  равного  сопротивле-

ния  изгибу  (первый  вариант) -

v

′′′′

max

=Pl

3

/2EJ

o

,  где 

J

o

=b

o

h

3

/12

  (см.  пример 6.1).  Из

сравнения видно, что 

v

′′′′

max

=1.5v

max

. Таким образом, при одинаковой прочности бал-

ка равного сопротивления в два раза легче и в 1.5 раза более гибкая, чем балка
постоянного сечения. Это свойство используется в специальных конструктивных
элементах - рессорах,  которые  за  счет  большой  деформативности  позволяют
уменьшить эффекты динамических воздействий. Конструктивно рессора выпол-
няется  в  виде  пакета  листов  одинаковой  ширины,  но  различной  длины  (рис.

6.23). За основу берется балка равного сопро-
тивления изгибу треугольной формы, которая
условно разрезается на 2

n

 полос шириной 

t

/2

(рис. 6.23,а).  Затем  полосы  одинаковой  дли-
ны складываются (

n

 полос шириной 

t=b

0

/n

), и

в результате получается рессорный листовой
пакет (рис. 6.23,б). В рессорах листы не свя-
заны друг с другом (специальные устройства
- хомуты - служат для того, чтобы рессора не
рассыпалась),  поэтому  приближенно  можно
считать,  что  исходная  балка  треугольной
формы  и  рессорный  пакет  эквивалентны.
Однако  на  практике  влияние  трения  между
листами полностью устранить не удается, по-

этому реальные прогибы рессор несколько меньше (~ на 10-25%), чем расчётные.
Для  обеспечения  необходимой  прочности  рессоры  изготавливаются  из  высоко-
прочных сталей, так что обычно допускаемые напряжения [

σ

] > 400 МПа.

Рис. 6.23

7. Статически определимые стержневые системы

7.1. Основные определения
Стержневой системой называется конструкция (или ее расчет-

ная  схема),  состоящая  из  структурных  элементов  типа  бруса  (стерж-
ня).  При  выборе  расчётной  схемы  стержневой  системы  следует  учи-
тывать  способ  соединения  стержней  между  собой  и  с  опорной  по-
верхностью,  так  как  от  этого  зависит,  какой  вид  деформации  будет
преобладающим  для  стержня  (растяжение-сжатие,  изгиб,  кручение).
Как правило, соединение стержней является податливым, но в расчет-
ных схемах чаще всего используются модели жесткого и шарнирного
типа соединений.

Стержневая  система  называется  плоской,  если  оси  всех  состав-

ляющих стержней расположены в одной плоскости, которая является
главной  плоскостью  сечений.  В  этой  же  плоскости  действуют  внеш-
ние силы, включая и реакции опор.

Плоская  система,  нагруженная  перпендикулярно  своей  плоско-

сти, называется плоско-пространственной.

Для  пространственной  стержневой  системы  характерно  произ-

вольное положение стержней и действие внешних сил.

Часто плоские системы являются частью пространственных сис-

тем, из которых они выделяются для упрощения расчета.

Стержневая система должна быть геометрически неизменяемой,

т.е.  перемещения  любой  ее  точки  должны  быть  обусловлены  только
деформированием  этой  системы.  Если  же  система  может  сама  пере-
мещаться как жесткое тело либо допускает взаимное перемещение со-
ставляющих её тел (элементов) без деформирования, то такая система
является  геометрически  изменяемой.  Если  стержневая  система  в
пределах малых перемещений геометрически изменяема, а затем ста-
новится  неизменяемой,  то  она  называется  мгновенно  изменяемой.
Применение мгновенно изменяемых систем недопустимо, т.к. в упру-
гих  элементах  (стержнях)  таких  систем  возникают  очень  большие
внутренние  усилия  и  напряжения,  которые  могут  привести  к  разру-
шению или появлению заметных остаточных деформаций в стержнях.

7.2. Расчет плоских систем
Стержневые конструкции для выполнения своих основных функ-

ций  должны  воспринимать  действующие  нагрузки,  включая  и  реак-
ции связей. Предположим, необходимо силу Р, приложенную в неко-
торой  точке,  передать  на  опорную  поверхность  через  ограниченное

пространство АВС (рис. 7.1,а). Для передачи нагрузки можно исполь-
зовать  треугольную  пластину  либо  два  стержня,  например  прямо-
угольного сечения (рис. 7.1,б). Причем для закрепления конструкции
используем минимально необходимое число связей, которые не дают
перемещаться  системе  в  пространстве,  т.е.  делают  ее  геометрически
неизменяемой.

Для плоской системы должно быть наложено три связи, например

с  использованием  неподвижного  и  подвижного  шарниров  (рис.
7.1,б,в). При этом стержневая система является статически опреде-
лимой, так как реакции связей могут быть найдены с использованием
трех уравнений статики:

∑

∑

∑

∑

 М

в

 = 0; 

Y

c 

a – Ph

1

 = 0; 

Yc = Ph

1

/a;

∑

∑

∑

∑

 F

x

 = 0; 

X

B

 + P cos

ββββ

 = 0; 

X

B

 = - P cos

ββββ

;

(7.1)

∑

∑

∑

∑

 F

y

 = 0; 

Y

B

 + Y

c

 + P = 0; 

Y

B

 = -P (h

1

 + a)/a,

где a = l

1

 sin

αααα

1

+ l

2

 sin

αααα

2

 ;   h

1

 = l

1

 cos(

αααα

1

 + 

ββββ

 ).

Рис. 7.1

После определения реакций могут быть найдены внутренние си-

ловые факторы (усилия) в любом сечении стержневой системы (рис.
7.1,г). Правило знаков для нормальных сил N, поперечных сил Q и из-
гибающих  моментов 

M

  определены  в  соответствующих  разделах

(“Растяжение” и “Изгиб”). Пользуясь методом сечений усилия в пер-
вом стержне (рис. 7.1,г,д) определяются следующим образом:

∑

∑

∑

∑

 F

z1

 = 0;   N

1

 + X

B

 sin

αααα

1

 + Y

B

 cos

αααα

1

 = 0;   N

1

 = -X

B

 sin

αααα

1

 – Y

B

 cos

αααα

1

;

∑

∑

∑

∑

F

y1

=0;  - Q

1

 – X

B

 cos

αααα

1

 + Y

B

 sin

αααα

1

=0; Q

1

 = - X

B

 cos

αααα

1

 + Y

B 

sin

αααα

1

; (7.2)

∑

∑

∑

∑

M

O1

= 0; 

M

1

+X

B 

cos

αααα

1

 z

1

–Y

B 

sin

αααα

1

 z

1

=0; 

M

1

 = (-X

B

cos

αααα

1

+Y

B

sin

αααα

1

)z

1

.

.

Аналогично  находятся  усилия  в  произвольном  сечении  второго

стержня (рис. 7.1,г,е):

∑

∑

∑

∑

 F

z2

 = 0;      N

2

 + Y

C

 cos

αααα

2

 =0;      N

2

 = -Y

C

 cos

αααα

2

;

∑

∑

∑

∑

 F

y2

 = 0;      Q

2

 + Y

c

 sin

αααα

2

 = 0;     Q

2

 =- Y

C 

sin

αααα

2 

;

(7.3)

∑

∑

∑

∑

 M

O2

 = 0;  - 

M

 2

 + Y

C 

sin

αααα

2

 z

2

 = 0; 

M

 2

 = Y

C

 z

2 

sin

αααα

2 

.

Как видим, усилия N и Q по длине стержней не меняются, а изги-

бающие моменты 

M

 изменяются линейно.

Величина N  имеет порядок силы P, а величина изгибающего мо-

мента 

M

 имеет порядок величины Pl. Сравним напряжения в прямо-

угольном сечении стержневой системы от растяжения-сжатия и изги-
ба:

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

m ax

m ax

 ;              

( )

( )

( )

M

M

( )

.

N

N

=

=

=

=

P

P

l / Wx

/ F

F l

Wx

bh l

bh / 6

6l

h

 

2

Если учесть, что для стержней l/h >10, то напряжения от изгиба

более  чем  в 60 раз  превышают  напряжения  от  растяжения-сжатия.
Следовательно, стержни конструкции (см. рис. 7.1,б)  в  основном  из-
гибаются. В этом случае можно пренебречь напряжениями и переме-
щениями, связанными с растяжением (сжатием) элементов по сравне-
нию с напряжениями и перемещениями от изгиба. Стержневые сис-
темы, элементы которых главным образом работают на изгиб, назы-
ваются рамами.

Таким образом, расчет рам на прочность и жесткость можно про-

водить так же, как и балок. При этом, кроме нормальных напряжений
от растяжения (сжатия) в большинстве случаев пренебрегают и каса-
тельными  напряжениями  при  изгибе  по  той  же  причине,  что  и  при
расчете балок. Поэтому, как правило, нет необходимости в определе-
нии усилий N, Q и построении соответствующих эпюр.

На рис. 7.2,а показана эпюра изгибающих моментов 

M

. Эпюры

моментов  строятся  на  осевых  линиях  стержней  плоской  рамы.  При
этом величина 

M

 в сечении откладывается по нормали к оси со сто-