Сопротивление материалов - часть 27

3) найти искомое перемещение, используя первую сумму в фор-

муле (7.8):

2

2

2

1

1

1

F

l

F

l

u

E

N

E

N

N

N

2

2

1

1

+

=

A

.

Если стержни  системы  только  нагреваются  (

∆∆∆∆

T

i

 

>>>>

  0)  или  охлаж-

даются (

∆∆∆∆

T

i

 

<<<<

 0), то для определения перемещения узла используется

вторая  сумма  в  формуле (7.8). Если  стержни  имеют  отклонения  от
номинальных размеров (

∆∆∆∆

oi 

>>>>

 0 или 

∆∆∆∆

oi

 

<<<<

 0), то для определения пере-

мещения узла после сборки относительно своего номинального поло-
жения используется третья сумма в формуле (7.8). Отметим, что при
изменении  температуры  и  отклонении  от  номинальных  размеров  в
стержнях статически определимой системы усилия не возникают.

Система, показанная на рис. 7.3,а, становится геометрически не-

изменяемой, если добавить третий стержень (рис. 7.4,а). В этом слу-
чае  получаем  простую  статически  определимую  ферму.  Система,
представленная на рис. 7.3,в, является простейшим примером неизме-
няемой  системы,  потому  что  даже  малое  перемещение  узла  невоз-
можно  без  деформации  стержней.  Отсюда  получается  правило,  что
всякий новый узел, добавленный в процессе образования геометриче-
ски неизменяемой фермы, может быть присоединен при помощи двух
стержней, оси которых не лежат на одной прямой (рис. 7.4,б,в).

7.3. Моделирование связей
Если жесткость прикрепляемого объекта намного выше, чем же-

сткость  связей,  то  он  моделируется  “абсолютно  жестким  телом”.
Для закрепления материальной точки (узла) с двумя степенями свобо-
ды  необходимо  два  стержня-связи  (см.  рис. 7.3,в).  Для  закрепления
абсолютно жесткого тела с тремя степенями свободы необходимо три
стержня-связи (рис. 7.5,а). Для определения трех реакций в этих свя-
зях используются три уравнения статики.

Рис. 7.4

Если  реакции  связей  не  уравновешивают  нагрузку,  то  система

изменяема. Например, в системе, изображенной на рис. 7.5,б, не урав-

новешена  горизонтальная  составляющая  нагрузки,  а  в  системе,  изо-

бражённой  на  рис. 7.5,в,  не  уравновешен  момент  от  силы  Р  относи-

тельно точки А (точка пересечения осей всех стержней). Точнее гово-

ря, указанные системы являются мгновенно изменяемыми.

Рис. 7.5

На  рис. 7.6 показаны  различные  варианты  статически  определи-

мого закрепления абсолютно жесткого тела с помощью упругих свя-

зей-стержней и жестких связей.

На рис. 7.6,а,б,в у абсолютно жесткого тела исключаются по од-

ной  степени  свободы,  а  в  системах  на  рис. 7.6,г,д,е - по  две  степени

свободы. Отметим, что при определении усилий в стержнях нерацио-

нально использовать уравнения равновесия, в которые входят реакции

жестких связей.

Рис. 7.6

Не  рекомендуется  применять  стержневую  систему,  показанную

на рис. 7.7,а, при углах 

αααα

, близких 90

°

. В этом случае усилия в стерж-

нях, даже при малой величине силы Р, очень велики. При 

αααα

 = 90

°

 сис-

тема превращается в мгновенно изменяемую (рис. 7.7,б).

Такую  систему  более  рационально  проектировать  в  виде  арки

(рис. 7.7,в) с криволинейными стержнями. В этих конструкциях суще-
ственное значение имеет как изгиб, так и сжатие элементов. Горизон-
тальные (распорные) реакции увеличивают сжатие элементов, но при
этом существенно уменьшают изгибающие моменты.

Рис. 7.7

Конструкция, показанная на рис. 7.8,а может моделироваться комби-
нированной системой, представленной на рис. 7.8,б. Элементы ком-
бинированной стержневой системы испытывают различные виды де-
формаций.  Балка  изгибается,  а  пружины  моделируются  стержнями–
связями, которые растягиваются или сжимаются. Моделирование пру-
жин стержнями осуществляется на основе равенства их жесткостей.

Рис. 7.8

Пружина и стержень эквивалентны по своим упругим характери-

стикам,  если  при  одинаковой  осевой  нагрузке  (рис. 7.8,в)  изменение
длины стержня 

∆∆∆∆

l равно изменению длины пружины 

λλλλ

 (

∆∆∆∆

l = 

λλλλ

). С уче-

том того что 

λλλλ

 =P/c, 

∆∆∆∆

l= Pl/EF , получим:

1

c

c

 

   

=

→

l

F

F

l

E

E

  =

,

где c – жесткость пружины или стержня-связи.

Величина,  обратная  жесткости,  называется  податливостью

(l/EF).  Зная  жесткость  пружины,  всегда  можно  подобрать  эквива-
лентный по жесткости стержень, и наоборот.