|
|
|
содержание .. 4 5 6 7 ..
23
и
требуется
определить
положение
главных
площадок
и
величины
главных
напряжений
.
yx
xy
2
1
1
2
а
y
x
б
A
d
Рис
. 16
Прямая
задача
.
Для
решения
этой
задачи
воспользуемся
прин
-
ципом
независимости
действия
сил
.
Представим
плоское
напряжен
-
ное
состояние
в
виде
суммы
двух
независимых
линейных
напряжен
-
ных
состояний
:
первое
–
при
действии
только
напряжений
1
,
второе
–
при
действии
только
напряжений
2
.
От
каждого
из
напряжений
1
и
2
напряжения
и
в
произвольной
площадке
равны
.
2
sin
2
2
2
sin
2
,
2
sin
2
,
sin
2
cos
,
cos
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
Таким
образом
,
суммируя
напряжения
,
возникшие
при
каждом
линейном
напряженном
состоянии
,
получим
.
2
sin
2
;
sin
cos
2
1
2
2
2
1
Определим
напряжения
,
действующие
на
площадку
с
углом
на
-
клона
2
,
то
есть
перпендикулярную
к
площадке
.
24
.
2
sin
2
,
cos
sin
2
1
2
2
2
1
Суммируя
нормальные
напряжения
,
действующие
по
произ
-
вольным
взаимно
перпендикулярным
площадкам
,
получим
.
2
1
const
Сравнивая
величины
касательных
напряжений
,
имеем
Обратная
задача
.
Определим
сначала
напряжения
на
наклон
-
ной
площадке
,
наклоненной
к
исходной
,
при
заданных
напряжения
на
двух
взаимно
произвольных
перпендикулярных
площадках
x ,
y ,
yx
и
xy
(
рис
. 16,
б
).
Разрежем
параллелепипед
плоскостью
,
наклоненной
под
углом
к
вертикальной
грани
,
отбросим
левую
часть
и
рассмотрим
равно
-
весие
правой
части
.
Если
обозначить
через
A
d
площадь
наклонной
грани
,
то
площа
-
ди
вертикальной
и
горизонтальной
граней
будут
соответственно
рав
-
ны
cos
d
A
и
sin
d
A
.
Спроектируем
силы
на
направления
и
.
0
sin
cos
d
cos
cos
d
cos
sin
d
sin
sin
d
d
;
0
cos
cos
d
sin
cos
d
sin
sin
d
cos
sin
d
d
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
x
xy
y
yx
x
xy
y
yx
Сокращая
на
A
d
и
учитывая
,
что
yx
xy
,
получаем
.
2
cos
2
sin
2
;
2
sin
sin
cos
2
2
xy
y
x
xy
y
x
Для
отыскания
экстремального
значения
нормального
напряже
-
ния
продифференцируем
по
.
25
.
2
2
cos
2
2
sin
2
2
2
cos
2
cos
sin
2
sin
cos
2
d
d
xy
y
x
xy
y
x
Экстремум
напряжения
достигается
при
тех
углах
,
при
кото
-
рых
0
2
d
d
.
Отсюда
следует
,
что
нормальные
напряжения
достигают
экстремума
на
тех
площадках
,
где
касательные
ускорения
обращаются
в
нуль
.
Эти
площадки
называются
главными
,
а
напряже
-
ния
,
возникающие
на
них
–
главными
напряжениями
.
Предполагая
,
что
главные
площадки
наклонены
к
исходным
площадкам
на
угол
0
,
получаем
x
y
xy
2
tg2
0
.
Полученному
равенству
удовлетворяют
два
значения
угла
0
,
отличающиеся
на
90
0
.
Таким
образом
,
данная
формула
определяет
две
взаимно
перпендикулярные
площадки
,
на
которых
нормальные
на
-
пряжения
принимают
экстремальные
значения
.
Учитывая
,
что
сумма
нормальных
напряжений
по
двум
взаимно
перпендикулярным
пло
-
щадкам
постоянна
,
то
на
одной
площадке
будет
действовать
макси
-
мальное
нормальное
напряжения
,
а
по
другой
–
минимальное
.
Модули
главных
напряжений
определяют
по
зависимости
:
2
2
min
max
4
2
1
2
xy
y
x
y
x
.
Объемное
напряженное
состояние
.
Объемным
или
трехосным
называется
напряженное
состояние
,
при
котором
все
три
главных
на
-
пряжения
отличны
от
нуля
(
рис
. 14,
в
).
Для
объемного
напряженного
состояния
справедливо
равенство
const
z
y
x
3
2
1
.
26
Обобщенный
закон
Гука
.
Обобщенный
закон
Гука
представ
-
ляет
собой
связь
между
напряжениями
и
деформациями
в
случае
объ
-
емного
.
Он
может
быть
получен
на
основании
закона
Гука
для
линей
-
ного
напряженного
состояния
и
принципа
независимости
действия
сил
.
Представляя
объемное
напряженное
состояние
в
виде
суммы
трех
линейных
напряженных
состояний
,
и
учитывая
,
что
при
линей
-
ном
напряженном
состоянии
E
и
E
,
выражения
для
деформации
в
направлении
действия
главных
напряжений
будут
иметь
вид
:
.
1
;
1
;
1
2
1
3
3
1
3
2
2
3
2
1
1
E
E
E
Эти
выражения
носят
название
обобщенного
закона
Гука
,
запи
-
санного
для
главных
площадок
.
Деформации
1
,
2
и
3
,
в
направлении
главных
напряжений
называются
главными
деформациями
.
Лекция
5.
Теории
прочности
.
Чистый
сдвиг
Теории
прочности
.
В
каждой
теории
прочности
используется
определенная
гипотеза
прочности
,
которая
представляет
собой
пред
-
положения
о
преимущественном
влиянии
на
прочность
материала
то
-
го
или
иного
фактора
.
Наиболее
важными
факторами
,
связанными
с
возникновением
опасного
состояния
материала
являются
:
нормальные
и
касательные
напряжения
,
линейные
деформации
и
потенциальная
энергия
дефор
-
мации
.
Эквивалентным
напряжением
называется
напряжение
,
которое
следует
создать
в
растянутом
образце
,
чтобы
его
напряженное
со
-
стояние
стало
равноопасным
заданному
напряженному
состоянию
.
содержание .. 4 5 6 7 ..
|
|
|