|
|
|
15
Центробежным
моментом
инерции
сечения
xy
I
называется
ин
-
теграл
по
площади
произведения
элементарной
площадки
на
рас
-
стояния
до
осей
.
.
d
A
xy
y
x
A
I
Если
сечение
имеет
ось
симметрии
,
то
центробежный
момент
инерции
сечения
равен
нулю
.
Определение
моментов
инерции
простых
геометрических
фигур
.
Рассмотрим
определения
момента
инерции
прямоугольного
сечения
относительно
оси
,
проходящей
через
центр
тяжести
(
рис
. 8).
Выделим
элементарную
площадь
A
d
на
расстоянии
y
от
цен
-
тральной
оси
c
x
толщиной
y
d
.
Согласно
определению
,
осевой
момент
инерции
относительно
оси
c
x
равен
A
x
y
A
I
c
2
d
.
c
y
Рис
. 8
d
x
b
h
c
x
y
y
d
A
d
В
нашем
случае
элементарная
площадь
dy
b
A
d
.
Подставляя
значения
A
d
и
изменяя
пределы
интегрирования
,
получаем
16
12
3
d
3
2
2
3
2
2
2
bh
by
y
b
y
I
h
h
h
h
x
c
.
Аналогичным
образом
определяются
моменты
инерции
плоско
-
го
сечения
.
d
c
x
x
y
Рис
.9
Если
известен
момент
инерции
сечения
относительно
оси
про
-
ходящей
через
центр
тяжести
(
рис
. 9),
то
момент
инерции
относи
-
тельно
другой
параллельной
оси
,
отстоящей
на
расстоянии
d
,
определяется
по
формуле
Штейнера
2
Ad
I
I
c
x
x
.
Если
сечение
имеет
сложную
геометрическую
форму
,
то
его
разбивают
на
простые
фигуры
и
его
момент
инерции
рассчитывают
,
как
сумму
моментов
инерции
отдельных
фигур
.
Найдем
зависимость
между
моментами
инерции
относительно
осей
х
,
у
и
моментами
инерции
относительно
осей
u,v
,
повернутых
на
угол
.
Угол
считается
положительным
,
если
поворот
осуществля
-
ется
и
против
часовой
стрелки
.
Пусть
координаты
элементарной
площадки
до
поворота
–
x
,
y
,
после
поворота
–
u,v
(
рис
. 10).
Из
рисунка
следует
:
sin
cos
;
sin
cos
x
y
v
y
x
u
.
17
О
y
v
y
x
u
u
v
x
dA
Рис
. 10
В
этом
случае
.
2
cos
2
sin
2
)
sin
cos
)(
sin
cos
(
;
2
sin
cos
sin
)
cos
sin
(
;
2
sin
sin
cos
)
sin
cos
(
2
2
2
2
2
2
2
2
xy
y
x
A
uv
xy
y
x
A
A
u
xy
y
x
A
A
v
I
I
I
dA
x
y
y
x
uvdA
I
I
I
I
dA
x
y
dA
v
I
I
I
I
dA
x
y
dA
u
I
Главные
оси
инерции
и
главные
моменты
инерции
.
С
изме
-
нением
угла
поворота
осей
каждая
из
величин
u
I
и
v
I
меняется
,
а
сумма
их
остается
неизменной
.
Следовательно
,
существует
такое
зна
-
чение
0
,
при
котором
моменты
инерции
достигают
экстремаль
-
ных
значений
,
т
.
е
.
один
из
моментов
инерции
достигает
своего
мак
-
симального
значения
,
в
то
время
другой
момент
инерции
принимает
минимальное
значение
.
Для
нахождения
значения
0
возьмем
первую
производную
от
u
I
и
приравняем
ее
нулю
:
18
,
0
2
cos
cos
sin
2
sin
cos
2
0
0
0
0
0
xy
y
x
u
I
I
I
d
dI
откуда
.
2
tg2
0
x
y
xy
I
I
I
Нетрудно
показать
,
что
центробежный
момент
относительно
осей
,
повернутых
на
угол
0
,
равен
нулю
.
Оси
,
относительно
которых
центробежный
момент
инерции
ра
-
вен
нулю
,
а
осевые
моменты
инерции
принимают
экстремальные
зна
-
чения
,
называются
главными
осями
.
Если
эти
оси
являются
также
и
центральными
,
то
они
называются
главными
центральными
осями
.
Осевые
моменты
инерции
относительно
главных
осей
называ
-
ются
главными
моментами
инерции
.
Если
сечение
имеет
ось
симмет
-
рии
,
то
эта
ось
всегда
является
одной
из
главных
центральных
осей
инерции
сечения
.
Момент
сопротивления
сечения
.
Момент
сопротивления
сече
-
ния
относительно
оси
представляет
собой
отношение
момента
инер
-
ции
относительно
данной
оси
к
расстоянию
до
наиболее
удаленной
точки
сечения
от
этой
же
оси
.
max
y
I
W
x
x
.
Момент
сопротивления
прямоугольного
сечения
,
изображенно
-
го
на
рис
. 8,
относительно
оси
,
проходящей
через
центр
тяжести
,
ра
-
вен
6
2
12
2
3
max
bh
h
bh
y
I
W
c
c
x
x
.
Полярный
момент
инерции
представляет
собой
отношение
по
-
лярного
момента
инерции
к
наибольшему
расстоянию
от
центра
тя
-
жести
сечения
до
наиболее
удаленной
точки
сечения
.
max
I
W
|
|
|