Оптические гироскопы - часть 12

 

49

1

E  и 

2

E . Рассеяние волны 

2

E

 

 в волну 

1

E  с коэффициентом рассеяния r

2

 и 

фазовым углом рассеяния 

ε

2

 приводит к тому, что вектор 

1

E  образуется сло-

жением невозмущенного вектора 

0

1

E  и вектора 

2

2

E

r

, как это показано на ри-

сунке.  За  счет  вращения  вектора 

2

E   вектор 

1

E   оказывается  промодулиро-

ванным по фазе и по амплитуде на частоте 

dt

d

ψ

. Поскольку в КЛ фазовые 

изменения  приводят  к  изменениям  частоты  в  соответствии  с  соотношением 

L

c

δν

=

π

α

2

,  где 

α − угол между направлениями векторов 

0

1

E  и 

1

E , то можно 

считать,  что  рассеяние  волны 

2

E  ведет к изменению частоты волны 

1

E  на 

L

c

π

α

=

δν

2

1

. 

 

Из рис. 2.16 имеем 

).

sin(

sin

2

1

2

2

ε

+

ψ

=

α

E

E

r

 

Подставляя  это  выражение  в  пре-
дыдущие  и  считая,  что sin 

α 

≅

 

α, 

получим  изменение  частоты  вол-
ны Е

1

 за счет рассеяния:  

).

sin(

2

2

1

2

2

1

ε

+

ψ

π

=

δν

E

E

L

cr

 

Следовательно,  вместо  тривиаль-
ного  уравнения (2.9) нужно  запи-
сать  

),

sin(

2

з

ε

+

ψ

ω

∆

−

∆

=

ψ

f

dt

d

 

где 

.

1

2

2

з

E

E

L

c

r

=

ω

∆

 

 

Более  строго  учет  обратного  рассеяния  производится  при  выведении 

волнового уравнения для электромагнитного поля в резонаторе КЛ из урав-
нений  Максвелла.  При  этом  в  правую  часть  волнового  уравнения  вводится 

(2.10) 

(2.11) 

2

2

E

r

ψ 

ε

2

ψ

α

E

1

 

E

2

0

1

E

0

Рис. 2.16 

 

50

дополнительный член. После решения волнового уравнения и получения вы-
ражений  для  поляризации  активной  среды,  уравнение  для  разности  фаз 
встречных волн может быть представлено в виде, аналогичном полученному 
ранее уравнению (2.10): 

),

sin(

)

1

(

з

0

ϕ

+

ψ

ω

∆

−

ω

∆

+

∆

+

=

ψ

f

K

dt

d

a

 

где, как и раньше, 

∆f – расщепление собственных частот резонатора за cчет 

вращения; 

0

ω

∆

 – расщепление,  обусловленное  невзаимными  эффектами  в 

КЛ; 

з

ω

∆  и ϕ – функции параметров рассеяния

  

.

,

,

,

2

1

2

1

ε

ε

r

r

 

 

В наиболее простом случае, когда 

2

1

r

r

= , 

π

=

ε

−

ε

2

1

, 

2

1

E

E

=

,  полу-

чим выражение, эквивалентное (2.11):  

.

з

L

rc

=

ω

∆

 

 

Уравнение (2.12) имеет два решения. Одно решение, справедливое при 

выполнении неравенства 

∆f < 

з

ω

∆ , дает отсутствие разности частот встреч-

ных волн:

 

.

0

=

Ψ

=

ω

∆

dt

d

 

 

Эта область называется областью захвата или областью синхронизации 

встречных  волн.  В  ней  происходит  взаимная  синхронизация  частот  встреч-
ных  волн,  обусловленная  рассеянием  на  элементах  резонатора.  Измерение 
угловых перемещений, являющееся основной задачей ЛГ, в этой области не-
возможно.  

Второе решение периодическое, справедливо при выполнении условия 

з

ω

∆

>

∆f

:

  

[

]

2

з

2

0

)

1

(

ω

∆

−

ω

∆

+

∆

+

=

ψ

=

ω

∆

f

K

dt

d

a

 

Уравнение (2.13) отражает  реаль-
ную  выходную  характеристику  КЛ 
вблизи зоны захвата (см. рис. 2.17). 
На  рисунке  показаны  зона  захвата, 
равная  по  значению 

з

2

ω

∆ ,  сдвиг 

нуля  выходной  характеристики 

0

ω

∆

,  нелинейность  характеристи-

ки,  имеющая  вид  гиперболической 

 (2.12) 

 (2.13) 

з

2

ω

∆

∆f 

0

ω

∆

   Рис. 2.17 

ω

∆

 

51

зависимости 

∆ω  от  ∆f.  Выражение (2.13) справедливо  вблизи  зоны  захвата. 

Вдали от нее, когда выполняется условие 

∆f  >> 

L

rc  выражение для 

∆ω при-

обретает вид 

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

ε

−

ε

θ

−

β

τ

−

ρ

−

ε

−

ε

∆

+

ω

∆

+

∆

+

=

ω

∆

)

sin(

)

cos(

2

)

1

(

2

1

2

1

2

1

2

2

0

f

r

r

L

c

f

K

a

. 

Видно,  что  член,  обусловленный  связью  встречных  волн,  пропорционален 

1/

∆f.  Это  связано  с  тем,  что,  чем  больше  ∆f,  тем  больше  расстояние  между 

линиями резонатора для встречных волн и, соответственно, рассеянный свет 
одной волны уже не попадает в центр линии резонатора встречной волны и 
не оказывает такого действия, как при малых значениях 

∆f. В зависимости от 

того, какой знак имеют величины 

2

1

ε

−

ε

 и 

θ

−

β

τ

−

ρ

, получаем выходную харак-

теристику, проходящую выше или ниже асимптоты (рис. 2.18). 
 

Другим механизмом, ответственным за связь встречных волн и их син-

хронизацию,  являются  неоднородные  потери  в  резонаторе.  Предположим, 
что рассеяние на зеркалах резонатора отсутствует. Представим себе, что по-
тери в резонаторе имеют однородное пространственное распределение за ис-
ключением  одной  точки,  в  кото-
рой  потери  представляют  собой 
дельта-функцию.  При  неподвиж-
ном  КЛ  суперпозиция  встречных 
волн дает стоячую волну. С точки 
зрения минимума энергетических 
потерь  в  системе,  стоячая  волна 
будет  занимать  такое  расположе-
ние, при котором в точке, где по-
тери  равны  дельта-функции,  на-
ходится  узел  стоячей  волны.  При  вращении  КЛ  частоты  встречных  волн 
должны расщепляться так, чтобы их разность была пропорциональна скоро-
сти вращения. Это эквивалентно движению стоячей волны относительно ре-
зонатора. При таком движении узлы и пучности стоячей волны будут прохо-
дить через точку резонатора с потерями в виде дельта-функции, в результате 
чего  в  системе  возникнут  дополнительные  потери.  Таким  образом,  режим 
расщепления частот встречных волн оказывается  менее  выгодным с энерге-

∆f 

ω

∆

Рис. 2.18

 

52

тической  точки  зрения,  чем  режим  неподвижной  стоячей  волны.  Поэтому 
система должна стремиться к сохранению режима стоячей волны, т. е. к со-
хранению  синхронизации  встречных  волн.  Тем  не  менее,  при  увеличении 
скорости  вращения  собственные  частоты  резонатора  расщепляются  и  гене-
рируемые встречные волны, частоты которых остаются синхронизованными, 
оказываются сдвинутыми относительно центров собственных линий резона-
тора.  В  результате  этого  также  возникают  дополнительные  потери.  При 
дальнейшем увеличении скорости вращения эти потери будут увеличиваться 
до тех пор, пока не сравняются с потерями, которые имеет система с расщеп-
ленными частотами. При этой скорости система должна выходить из режима 
синхронизации частот встречных волн, т. е. КЛ выходит из зоны захвата. 
 

Анализ  синхронизации  частот  встречных  волн  за  счет  неоднородных 

потерь  проводится  учетом  проводимости 

σ(z)  стенок  резонатора,  имеющей 

пространственную  неоднородность.  В  результате  такого  анализа  вместо  вы-
ражения (2.10) получаем 

,

)

sin(

)

sin(

з

2

з

δ

+

ψ

ω

∆

−

ε

+

ψ

ω

∆

−

∆

=

ψ

l

f

dt

d

 

где                

2

/

1

0 0

0

1

2

2

1

з

)

(

4

cos

)

(

)

(

)

(

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

′

′

−

λ

π

′

σ

σ

ε

π

+

=

ω

∆

∫ ∫

L L

l

z

dzd

z

z

z

z

L

E

E

E

E

, 

∫

∫

λ

π

σ

λ

π

σ

=

δ

L

L

zdz

z

zdz

z

tg

0

0

4

cos

)

(

4

sin

)

(

. 

Формально,  связь,  обусловленная  пространственно  неоднородными  потеря-
ми,  дает  такую  же  составляющую  в  уравнении  для  разности  фаз  встречных 
волн, что и связь, обусловленная рассеянием. Анализ полученных выражений 
показывает, что зона захвата определяется пространственным распределени-
ем потерь. Наибольшая величина зоны захвата реализуется в том случае, ко-
гда потери на зеркале распределены по гармоническому закону с пространст-
венным  периодом,  равным  периоду  стоячей  волны  в  проекции  на  зеркало 
кольцевого резонатора. Такая ситуация реализуется на практике при условии 
долгой работы КЛ в режиме захвата. В этом случае пучности стоячей волны 
воздействуют на зеркало и выжигают на нем соответствующую пространст-