Оптические гироскопы - часть 10

 

41

зонатора 

)

1

(

−

+

=

=

=

ν

∑

a

k

k

k

опт

q

n

l

L

c

q

n

l

c

q

L

c

q

 ,  

где l, 

a

n  – длина активной среды и ее коэффициент преломления, соответст-

венно; 

k

l  – участки  периметра  резонатора  с  коэффициентом  преломления 

k

n . Поскольку  (

1

−

a

n

) меняет знак в точке 

ab

i

i

ω

=

πν

=

ω

2

, то частота гене-

рации уходит от 

i

f   (собственной  частоты  пустого  резонатора)  всегда  в  сто-

рону 

ab

ω , поэтому говорят о “затягивании” частоты генерации к центру ли-

нии. 
 

Коэффициент 

i

ρ   описывает  влияние  интенсивности  i-й  волны  на  ее 

частоту генерации. Он дает очень малый вклад в частоту генерации и не под-
дается  простой  физической  интерпретации.  Коэффициенты 

12

τ , 

21

τ   анало-

гичны  амплитудным  коэффициентам 

ik

θ   и  описывают  влияние  кросснасы-

щения на частоту генерации. Величину 

k

ik

I

τ

 называют нелинейной диспер-

сией (в отличие от линейной 

i

σ ), так как она пропорциональна интенсивно-

сти  генерации.  Нелинейная  дисперсия  описывает  изменение  коэффициента 
преломления за счет провалов, выжигаемых в контуре инверсной населенно-
сти встречными волнами (см. рис. 2.7): 

).

(

)

(

)

(

exp

)

(

2

2

2

0

ω

⎥

⎥
⎦

⎤

⎢

⎢
⎣

⎡

ω

−

ω

−

γ

ω

−

ω

=

τ

L

ku

L

c

G

ab

k

ab

ab

ik

 

 

Нелинейная  дисперсия  обычно  имеет  знак,  противоположный 

i

σ ,  по-

этому  ее  вклад  в  частоту  генерации  противоположен  вкладу  линейной  дис-
персии.  Нелинейную  дисперсию  часто  называют  “выталкиванием”  частоты 
генерации от центра линии. 
 

Рассмотрим интенсивности встречных волн 

1

I   и 

2

I   и  разность  частот 

( )

( )

t

t

1

2

1

2

ϕ

−

ϕ

+

ω

−

ω

=

ω

∆

 в стационарном режиме  (

0

=

i

I

). Поскольку 

1

I  и 

2

I  близки по значению, то удобнее представить их в виде 

 

 

 

 

   

2

1

I

I

I

∆

+

=

,      

2

2

I

I

I

∆

−

=

, 

тогда в стационарном режиме амплитудные уравнения (2.1) принимают вид 

 

42

 

 

 

 

(

) (

)

(

) (

)

,

2

,

2

21

2

21

2

2

12

1

12

1

1

I

I

I

I

∆

θ

−

β

−

θ

+

β

=

α

∆

θ

−

β

+

θ

+

β

=

α

 

откуда получаем 

(

)

(

)

(

)(

) (

)(

)

21

2

12

1

21

2

12

1

12

1

2

21

2

1

θ

+

β

θ

−

β

+

θ

−

β

θ

+

β

θ

−

β

α

+

θ

−

β

α

=

I

 

  (2.3) 

           

(

)

(

)

(

)(

) (

)(

)

21

2

12

1

21

2

12

1

12

1

2

21

2

1

2

θ

+

β

θ

−

β

+

θ

−

β

θ

+

β

θ

+

β

α

−

θ

+

β

α

=

∆I

 

 

2.4. Масштабный коэффициент кольцевого лазера 

 

При вращении КЛ частоты встречных волн расщепляются:  

Ω

λ

π

=

−

=

∆

L

S

f

f

f

4

2

1

2

. 

В случае сравнительно небольших скоростей вращения (менее одного оборо-
та  в  секунду)  расщепление  не  превышает 1 МГц,  что  значительно  меньше 
ширины линии усиления, т. е. выполняется соотношение 

ku

f

<<

∆

. Для даль-

нейших преобразований удобно ввести величину 

ku

ab

i

i

ω

−

ω

=

ξ

, называемую 

относительной  расстройкой  частоты  генерации  от  центра  линии.  Разность 
расстроек для встречных волн является малой величиной  

1

1

2

<<

ω

−

ω

=

ξ

∆

ku

, 

по которой можно провести разложение в ряд Тейлора лэмбовских коэффи-
циентов. При разложении можно ограничиться членами первого порядка ма-
лости 

               

,

2

2

,

2

2

1

1

ku

f

ku

f

∆

ξ

∂

α

∂

−

α

=

ξ

∆

ξ

∂

α

∂

−

α

≅

α

∆

ξ

∂

α

∂

+

α

=

ξ

∆

ξ

∂

α

∂

+

α

≅

α

 

где 

α  −  значение  коэффициента  для  нерасщепленной  частоты  генерации. 

Аналогичные выражения можно написать и для других коэффициентов. Под-
ставляя выражения (2.5) в (2.3) и (2.4) получим 

 (2.4) 

 (2.5) 

 

43

θ

+

β

α

=

I

,   

 

 

 

 

(2.6) 

ku

f

I

I

∆

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ξ

∂

β

∂

−

ξ

∂

α

∂

θ

−

β

=

∆

1

 

Вычитая уравнения (2.2) одно из другого, получим выражение для разности 
частот генерации встречных волн: 

    

(

) (

)

.

I

I

f

∆

τ

−

ρ

+

τ

∆

+

ρ

∆

+

σ

∆

+

∆

=

ω

∆

 

Подставляя в эту формулу выражение для разности интенсивностей  
 

 

 

 

 

(2.6)  и  представляя  разность  коэффициентов  в 

виде 

 

 

 

 

ku

f

ku

f

∆

ξ

∂

ρ

∂

=

ρ

∆

∆

ξ

∂

σ

∂

=

σ

∆

,

  и т. д., 

получим разность частот  

           

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ξ

∂

β

∂

−

ξ

∂

α

∂

θ

−

β

τ

−

ρ

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ξ

∂

τ

∂

+

ξ

∂

ρ

∂

+

ξ

∂

σ

∂

+

∆

=

ω

∆

ku

I

I

f

1

1

. 

Учитывая, что 

Ω

λ

π

=

∆

L

S

f

4

2

,  можно  получить  связь  разности  частот  со  ско-

ростью вращения:  

(

)

(

)

Ω

+

=

Ω

+

λ

π

=

ω

∆

а

а

1

~

1

4

2

K

K

K

L

S

, 

где множитель перед 

Ω представляет собой масштабный коэффициент КЛ, а 

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ξ

∂

β

∂

−

ξ

∂

α

∂

θ

−

β

τ

−

ρ

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ξ

∂

τ

∂

+

ξ

∂

ρ

∂

+

ξ

∂

σ

∂

=

I

I

ku

K

1

а

 

является вкладом активной среды в масштабный коэффициент, определяется 
в основном первым слагаемым в квадратных скобках и при значениях коэф-

фициента усиления порядка 

2

3

10

...

10

−

−

 составляет примерно 

3

4

10

...

10

−

−

. 

 

2.5. Сдвиг нуля выходной характеристики КЛ 

 

До  сих  пор  мы  учитывали  разность  интенсивностей  встречных  волн, 

обусловленную  расщеплением  собственных  частот  резонатора  и  зависимо-
стью  усиления  активной  среды  от  частоты  генерации.  Однако  выражения  

(2.4) и  

 

 

 

 

 

(2.6)  для 

∆I  показывают,  что  раз-

ность  интенсивностей  может  возникать  за  счет  разности  потерь  (добротно-

(2.7) 

 (2.8) 

 

44

стей)  резонатора  для  встречных  волн.  Пусть 

Ω=0  и  расщепления  частот  за 

счет вращения нет, тогда 

θ

=

θ

=

θ

β

=

β

=

β

2

1

2

1

,

 и 

θ

−

β

µ

∆

=

θ

−

β

α

−

α

=

∆

2

1

I

. 

 

Подставляя полученное выражение в (2.7) для 

∆ω, получим 

(

)

µ

∆

θ

−

β

τ

−

ρ

=

∆

τ

−

ρ

=

ω

∆

I

0

 

при 

∆f = 0. Расщепление 

0

0

2

ν

∆

π

=

ω

∆

,  обусловленное  разностью  потерь, 

присутствует как добавка к разности частот, вызванной вращением, при лю-
бом значении 

Ω. В этом случае  

0

~

ω

∆

+

Ω

=

ω

∆

K

, 

∆ν = КΩ + ∆ν

0

 

 

и  зависимость 

∆ν(Ω) (выходная 

характеристика  КЛ)  сдвигается 
по  оси  абсцисс  (рис. 2.9). Физи-
чески  сдвиг  нуля  выходной  ха-
рактеристики  за  счет  разности 
потерь обусловлен разной глуби-
ной  провалов,  выжигаемых  в 
контуре  инверсной  населенности 
встречными волнами (рис. 2.10) и, соответственно, разными значениями на-
сыщения дисперсии (изменения коэффициента преломления за счет насыще-
ния усиления). Основным источником разности потерь в КЛ является нали-
чие  в  его  резонаторе  анизо-
тропных  элементов,  таких  как 
невзаимный элемент и др. 
 

При  наличии  сдвига  ну-

ля  выходной  характеристики 
КЛ  часто  говорят  о  невзаим-
ности  резонатора  КЛ  для 
встречных  волн.  Термин  “не-
взаимность”  означает  неоди-
наковые  условия  для  распро-
странения  встречных  волн  в 
резонаторе  КЛ.  При  этом  следует  иметь  в  виду,  что  полезный  эффект  в  КЛ 

0 

Ω 

0

ν

∆

ν

∆

Рис. 2.9

µ

1

ω

i

   

ω

b

ω 

G 

µ

2 

Рис. 2.10