Оптические гироскопы - часть 5

 

21

потерь.  Для этого служит система накачки активной среды, которая обеспе-
чивает перевод активных атомов из основного состояния на верхний рабочий 
уровень для формирования инверсии населенностей.  
 

Рассмотрим прохождение электромагнитной волны внутри резонатора 

лазера (рис. 1.16) в режиме генерации излучения. Будем считать, что от лево-
го  зеркала  З

1

  направо  вдоль  оптической  оси  z  резонатора  распространяется 

световой поток с мощностью Р

0

, резонансный рабочему переходу. 

Активная  среда  состоит  из 
ансамбля 

двухуровневых 

квантовых систем и заполняет 
кювету  длиной  l.  Расстояние 
между  зеркалами  L , вычис-
ленное  с  учетом  показателя 
преломления  всех  внутрире-
зонаторных  элементов,  назы-
вается оптической длиной ре-
зонатора.  При  прохождении 
активной  среды  световой  по-
ток  усиливается  до  значения 

gl

P exp

0

,  затем  за  счет  того, 

что  зеркало  З2  имеет  пропус-
кание 

2

T   (

2

2

1

R

T

−

=

),  часть 

энергии  потока  выходит  из  резонатора  и  световой  поток  уменьшается  в 

2

R  

раз,  где 

2

R –  энергетический  коэффициент  отражения  зеркала.  Далее  поток 

распространяется в обратную сторону, и после отражения от зеркала З1 его 
величина приобретет значение  

(

)

( )

( )

(

) (

)(

)

gl

T

T

P

R

gl

R

gl

P

d

d

2

exp

1

1

1

exp

exp

1

2

1

2

0

2

1

2

0

−

−

µ

−

=

⋅

⋅

⋅

µ

−

. (1.9) 

С помощью величины 

d

µ  здесь вводятся все остальные виды потерь в резо-

наторе, в расчете на проход луча в резонаторе в одну сторону (дифракцион-
ные,  потери  на  поглощение  и  отражение  в  элементах,  находящихся  внутри 
резонатора  и  др.).  Изменение  потока  света  при  распространении  внутри  ре-
зонатора показано на графике (рис.1.16). 
 

В  стационарном  режиме  генерации  излучения  характеристики  элек-

тромагнитного поля в любой точке внутри резонатора должны оставаться не-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.16.  

P(z)
 
P

0

P

0

z

l

L

З1

З2

 

22

изменными.  Поэтому  при  проходе  излучения  от  зеркала  З1  до  зеркала  З2

 

и 

обратно к зеркалу З1 должны

 

выполняться следующие условия само согласо-

вания поля: 
1. Амплитуда электромагнитной волны при полном обходе резонатора долж-
на быть равна первоначальной. 
2. Фаза волны после полного обхода резонатора должна изменяться на вели-
чину, кратную 2

π. 

3. Состояние поляризации после обхода резонатора также должно воспроиз-
водиться. 
 

Применим первое условие само согласования. Для этого положим зна-

чение (1.9) равным первоначальной величине плотности потока фотонов P

0

 

(

) (

)(

)

0

2

1

2

0

2

exp

1

1

1

P

gl

T

T

P

d

=

−

−

µ

−

 

 

        (1.10) 

Сократим P

0

 и учтем, что в большинстве лазеров, в частности в газовых лазе-

рах, усиление и потери достаточно малы - 

1

2

,

,

,

2

2

1

<<

µ

gl

T

T

d

. Тогда разло-

жив (1.10) в ряд с точностью до членов первого порядка малости получим 

(

)

0

2

2

2

1

=

+

+

µ

−

T

T

gl

d

    

 

 

(1.11) 

Введем средние потери на один проход излучения вдоль резонатора 

2

2

1

T

T

d

+

+

µ

=

µ

 

и условие (1.10) приводится к простому виду 

µ

=

G

, 

 

 

 

 

(1.12) 

означающему, что в режиме генерации всегда выполняется условие равенст-
ва полного усиления активной среды полным потерям в резонаторе, отнесен-
ным к одному проходу излучения в резонаторе. Расчет проделан для случая 
достаточно малого электромагнитного поля. 
 

Применим  второе  условие  само  согласования  поля.  Здесь  мы  будем 

рассматривать электромагнитное поле внутри резонатора в приближении так 
называемого продольного типа колебаний, когда поле описывается суперпо-
зицией  двух  плоских  бегущих  электромагнитных  волн,  каждую  из  которых 

можно описать выражением 

( )

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

λ

π

±

ω

z

t

z

E

2

sin

. Из него следует, что измене-

нию  фазы  на  2π  соответствует  пройденное  расстояние,  равное  длине  волны 

q

λ .  Запишем  полное  изменение  фазы  ∆φ  в  виде 

π

⋅

=

ϕ

∆

2

q

,  q>>1 –  целое 

число,  которое  мы  будем  называть  индексом  продольного  типа  колебаний. 

 

23

При  полном  обходе  резонатора  свет  проходит  расстояние 

q

q

L

λ

=

2

.  Таким 

образом, условие само согласования поля приводит к тому, что в резонаторе 
могут  существовать  только  электромагнитные  волны  с  длиной  волны 

q

L

q

2

=

λ

 и частотой колебаний 

L

c

q

c

q

q

2

=

λ

=

ν

   

 

 

 

(1.13)

 

Разность  частот  двух  соседних  типов  колебаний 

q

ν

∆   мы  можем  найти  из 

(1.23) при изменении q на единицу 

L

c

q

q

q

2

1

=

ν

−

ν

=

ν

∆

+

   

 

 

(1.14)

 

 

При  выполнении  условия (1.13) поле  в  резонаторе  образует  стоячую 

электромагнитную  волну  (рис. 1.17). Зеркала  резонатора  обладают  высокой 
электропроводностью  на  оптических  частотах.  Поэтому  с  точки  зрения  ми-
нимума  энергии  системы  стоячая  волна  всегда  занимает  такое  положение, 
при котором узлы привязаны к зеркалам, как это показано на рис.1.17а. 

 

 

 

 

 

 

Рис.1.17. 

В  описываемом  приближении  спектр  колебаний  оптического  резонатора 
(рис. 1.17б) является эквидистантным.  

Третье  условие  самосогласования  позволяет  найти  собственные  со-

стояния поляризации оптического резонатора. 
 

1.6. Энергетические соотношения в резонаторе 

 

Рассмотрим  энергетические  характеристики  излучения  лазера  с  точки 

зрения фотонного представления электромагнитного поля. Пусть, как на рис. 
1.16,  внутри  резонатора  лазера  распространяется  поток  фотонов  с  сечением 
пучка  S  и  плотностью  F.  Будем  считать  усиление  и  потери  малыми,  так 

L

     б

 ν

q

      ν

q+1

    

 ν 

c/2L

      а

 

24

что

const

≈

F

. Рассчитаем полное число фотонов в резонаторе. Время прохо-

да фотонов через резонатор определяется как 

c

L

t

=

пр

. Полное число фото-

нов, распространяющихся вправо от зеркала З1, составляет 

S

Ft

пр

, и такое же 

количество  фотонов  распространяется  влево  от  зеркала  З2,  таким  образом 
полное число фотонов n внутри резонатора удваивается: 

F

c

LS

n

2

=

.   

 

 

 

 

 

  

Этот  результат  позволяет  по  энергии  одного  фотона 

ω

=

=

ф

E

  рассчитать 

полную энергию, запасенную в резонаторе 

F

c

LS

nE

E

c

ω

=

=

=

2

ф

   

 

 

 

 

  

 

Энергия,  уходящая  за  время 

пр

t

  через  зеркало  З1  с  пропусканием  T

1

, 

определяется,  как 

F

c

LS

T

E

ω

=

=

1

1

З

.  Для  нахождения  мощности  излучения 

через зеркало мы должны это значение поделить на 

пр

t

:  

F

S

T

P

ω

=

=

1

1

. Ана-

логично мы определим мощность излучения через зеркало З2:  

F

S

T

P

ω

=

=

2

2

 

и мощность, рассеивающуюся внутри резонатора (для двух встречных пото-
ков фотонов) 

F

S

P

d

d

ω

µ

=

=

2

. После этого мы уже можем вычислить полную 

теряемую мощность 

d

P

P

P

P

+

+

=

2

1

,  

(

)

F

S

F

S

T

T

P

d

ω

µ

=

ω

µ

+

+

=

=

=

2

2

2

1

. 

 

 

 

 

Эта мощность соответствует полной мощности потерь резонатора.  
 

Введем добротность резонатора так, как она вводится в радиотехнике: 

угловая (круговая) частота колебаний, умноженная на отношение запасенной 
энергии к мощности потерь (энергии теряемой в единицу времени) 

µ

ω

=

µ

ω

=

ω

=

c

L

t

E

E

P

E

Q

пр

c

c

c

.   

 

 

 

(1.15) 

С ростом частоты колебаний и длины резонатора добротность растет. Обыч-
ные  значения  этой  величины  в  оптическом  диапазоне  составляют  порядка 

8

7

10

10

−

. 

 

Рассмотрим  динамику  потерь  энергии  в  резонаторе.  Если  нет  притока 

энергии извне, за время dt потери энергии составят