Оптические гироскопы - часть 6

 

25

dt

L

c

E

Pdt

dE

c

c

µ

−

=

−

=

. 

Тогда  

( )

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

τ

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

µ

−

=

c

c

c

c

t

E

t

L

c

E

t

E

exp

exp

, 

  (1.16) 

Величина  

µ

=

τ

c

L

c

  

 

 

 

 

  

 

  

называется средним временем жизни фотона в резонаторе. Она связана с ши-
риной полосы резонатора 

c

ω

∆

 соотношением неопределенностей 

1

=

ω

∆

τ

c

c

, 

вытекающим из основных свойств преобразования Фурье. Значение величи-
ны 

c

ω

∆

 

L

c

c

µ

=

ω

∆

   

 

 

 

 

 

 

можно получить и из другого известного определения добротности резонато-

ра 

c

Q

ω

∆

ω

=

. Форма спектральной линии резонатора является лоренцевской, 

что соответствует закону изменения энергии (1.16). Спектры такого типа бу-
дут обсуждаться ниже. 
 

1.7. Форма и ширина линии излучения активной среды 

 

Однородное

  уширение.  Сначала  рассмотрим  линию  излучения  ан-

самбля неподвижных идентичных квантовых систем. Для анализа формы ли-
нии  излучения  используем  классическое  приближение,  в  котором  электро-
магнитное поле, излучаемое квантовой системой при спонтанном переходе с 

уровня 2 на 1 записывается в виде 

t

t

E

E

0

2

0

sin

2

exp

ω

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

τ

−

=

 (здесь 

0

E  - ам-

плитуда электрического поля электромагнитной волны, а множитель ½ в по-
казателе  степени  связан  с  переходом  от  интенсивности  к  амплитуде  поля). 
Зависимость амплитудного множителя от време-
ни  соответствует  экспоненциальному  закону 
распада  верхнего  квантового  состояния (1.3) за 
счет  спонтанного  излучения.  Примерный  вид 
изменения  напряженности  электромагнитного 

 

 

 

 

 

Рис. 1.18 

t

 

26

поля представлен на рис. 1.18. Запишем преобразование Фурье этого процес-
са:  

( )

( )

dt

t

i

t

t

E

E

ω

⋅

ω

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

τ

−

=

ω

∫

∞

∞

−

exp

sin

2

exp

0

2

0

 

Нас  интересует  спектральная  плотность  мощности  излучения,  т.е.  величина 

( )

ω

2

E

. Из преобразования Фурье получаем 

 

( )

(

)

(

)

⎥

⎥
⎦

⎤

⎢

⎢
⎣

⎡

τ

ω

+

ω

+

τ

+

τ

ω

−

ω

+

τ

π

=

ω

2

2

2

0

2

2

2

2

0

2

2

0

2

4

1

2

4

1

2

2

1

E

E

 

 

 

 

Рассматривая только положительные частоты (умножаем на 2) и пренебрегая 
малым  вторым  членом,  получаем  нормированную  функцию  распределения 
мощности излучения по частотам 

( )

ω

L

W

 

( )

( )

(

)

2

2

2

0

2

2

0

2

4

1

2

τ

ω

−

ω

+

τ

π

=

ω

=

ω

E

E

W

L

. 

 

 

 

(1.17) 

Зависимость, описываемая выражением (1.17) называется функцией Лоренца 
и  представлена  на  рис. 1.19. Нормировка 

( )

ω

L

W

  выбрана  таким  образом, 

чтобы 

( )

∫

∞

∞

−

=

ω

ω

1

d

W

L

,  а  физический  смысл  этой  величины  заключается  в 

том, что 

( )

ω

ω d

W

L

 представляет собой 

вероятность  спонтанного  излучения 
фотона  с  частотой,  лежащей    в  спек-
тральном диапазоне [ω, ω+dω] в тече-
ние интервала времени длительностью 

1

21

2

−

=

τ

A

. 

Таким  образом  описывается 

форма  линии  спонтанного  излучения 
любой  квантовой  системы  из  ансамб-
ля, поэтому этот вид уширения линии 
называется  однородным.  Полная  ши-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.19. 

W

L

(

ω)

τ

2

/

π

∆ω

е

ω

ω

0

 

27

рина линии 

е

ω

∆

, взятая на уровне половины от максимального значения, на-

зывается естественной шириной линии излучения. Из (1.17) следует, что она 
связана с временем жизни уровня 2 по отношению к спонтанному излучению 

1

2

−

τ

=

ω

∆

е

.   

 

 

 

 

 

Для типичных условий в активной среде He-Ne лазера (

λ=0,63 мкм) однород-

ная ширина линии излучения составляет около 100 МГц.  
 

Неоднородное

 уширение. Уширение линии другого вида происходит, 

когда центры линий излучения различных квантовых систем из ансамбля не 
совпадают. В этом случае говорят о неоднородном уширении линии. Наибо-
лее  характерным  примером  является  проявление  эффекта  Доплера  в  газах 
(так называемый кинематический эффект). Рассмотрим это явление. Эффект 
Доплера  заключается  в  том,  что  приемник  излучения,  движущийся  относи-
тельно  источника  излучения  с  проекцией  скорости 

x

V

  на  направление  рас-

пространения  электромагнитного  поля,  воспринимает  излучение  с  изменен-

ной  частотой 

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

ω

=

ω

c

V

x

s

r

1

,  где 

s

ω –  частота  излучения  источника.  Рас-

сматривая  взаимодействие  излучения  с  движущейся  квантовой  системой  в 
системе координат, связанной с резонатором лазера, следует сделать вывод о 
том,  что  резонансная  частота  движущейся  квантовой  системы  определяется 
значением проекции скорости системы на направление распространения све-
та 

c

V

x

−

ω

=

ω

1

0

, 

 

 

 

 

 

(1.18) 

в качестве оси x здесь выбрана оптическая ось резонатора. Распределение ре-
зонансных  частот  систем  из  ансамбля  повторяет  распределение  квантовых 
систем  по  скоростям.  Из  изложенного  следует,  что  доплеровское  уширение 
действительно является неоднородным.  
 

Вспомним,  что  в  газе,  находящемся  при  температуре  T,  вероятность 

P

(

x

V

) того, что молекула с массой M имеет составляющую скорости в интер-

вале от 

x

V  до

 

x

V

+ d

x

V

, дается распределением Максвелла 

( )

x

B

x

B

x

x

dV

T

k

MV

T

k

M

dV

V

W

⋅

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

π

=

2

exp

2

2

2

1

,   (1.19) 

 

28

где k

B

 – постоянная Больцмана. Из выражения (1.18) мы находим 

(

) (

)

0

0

0

ω

ω

−

ω

≈

ω

ω

−

ω

==

c

c

V

x

   

 

 

 

(1.20) 

Подставим (1.20) в (1.19) и  через  условие  равенства  вероятностей 

( )

( )

ω

ω

=

d

W

dV

V

W

D

x

x

 введем функцию распределения спектральной плотно-

сти излучения 

( )

ω

D

W

,  описывающей  форму  линии  излучения  ансамбля  при 

уширении за счет эффекта Доплера 

( )

(

)

ω

⋅

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

ω

ω

−

ω

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

π

ω

=

ω

ω

d

T

k

Mc

T

k

M

c

d

W

o

B

B

D

2

2

0

2

2

1

0

2

exp

2

  

(1.21) 

Для упрощения введем волновое число 

c

k

0

ω

=

 и наиболее вероятную ско-

рость молекул в газе 

M

T

k

u

B

2

=

. В этом случае выражение упрощается: 

( )

⎥

⎥
⎦

⎤

⎢

⎢
⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ω

−

ω

−

⋅

π

=

ω

2

0

exp

1

ku

ku

W

D

.   

 

 

(1.22) 

Контур  неоднородно  уширенной  ли-
нии  излучения  представлен  на  рис. 
1.20.  Для  сравнения  там  же  изобра-
жен Лоренцевский контур 

( )

ω

L

W

. 

 

Ширина  линии  излучения  по 

уровню 0,5 от  максимального  значе-
ния определяется параметром 

ku

D

⋅

=

ω

∆

2

ln

2

  

(1.23) 

Вторым  параметром  является  допле-
ровский параметр 

ku,

 определяющий, 

как  следует  из (1.22), полуширину 
линии  на  уровне 1/

e

.  Типичные  зна-

чения этих параметров для He-Ne лазера (

λ

=0,63 мкм) составляют 

ku

=2π·10

9

 

с

-1

 и ∆ω

D

=2π·1,7·10

9

 с

-1

. 

 

В большинстве случаев в активной среде присутствуют одновременно 

однородный и неоднородный виды уширения.  
 

Однородное  уширение  обычно  преобладает  в  твердых  телах  и  жидко-

стях,  где  межмолекулярное  взаимодействие  является  очень  сильным.  В  раз-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.20. 

∆ω

D

ω

ω

0

ku

W

D

(ω)/∆ω

D

W

L

(ω)/∆ω

L