|
|
|
содержание .. 3 4 5 6 ..
6.
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ
СВОЙСТВА
СЕРИИ
НАБЛЮДЕНИЙ
6.
1
.
Определения
основных
понятий
Допустим
,
что
проведено
N
наблюдений
некоторой
физической
величины
.
Из
-
за
случайных
ошибок
отдельные
отсчеты
x
x
x
N
1
2
,
,...,
неодинаковы
.
Будем
считать
,
что
интересующее
нас
событие
произошло
,
если
отсчет
ξ
по
-
пал
в
заданный
интервал
[ , )
a b
.
Вероятность
P
события
попадания
случайной
величины
в
некоторый
интервал
[ , )
a b
называется
предел
,
к
которому
стремится
отношение
числа
m
наступления
этого
события
к
числу
N
всех
наблюдений
,
если
число
наблюде
-
ний
стремится
к
бесконечности
:
P a
b
m
N
N
(
)
lim
≤
<
=
→∞
ξ
.
В
теории
вероятностей
математическая
характеристика
случайных
величин
основывается
на
понятии
распределение
вероятности
F x
( )
,
которое
является
функцией
числового
аргумента
x
и
определяет
вероятность
того
,
что
значение
ξ
некоторой
случайной
величины
лежит
в
интервале
[
, )
−∞
x
:
F x
P
x
( )
(
).
=
−∞ ≤
<
ξ
F
F
F a
F b ‰› a
b
(
)
;
(
)
;
( )
( )
р
.
−∞ =
∞ =
≤
≤
0
1
Распределение
вероятностей
позволяет
найти
вероятность
того
,
что
ξ
⊂
[ , )
a b
P a
b
F b
F a
(
)
( )
( ).
≤
<
=
−
ξ
В
частности
,
вероятность
того
,
что
значение
ξ
непрерывной
случайной
величины
принадлежит
бесконечно
малому
интервалу
[ ,
)
x x
dx
+
можно
выразить
как
P x
x
dx
f
x dx
(
)
( )
.
≤
<
+
=
ξ
Функция
f
x
dF x
dx
( )
( )
=
называется
плотностью
вероятности
.
Основное
свойство
плотности
вероятности
состоит
в
том
,
что
∫
+∞
∞
−
=
1
)
(
dx
x
f
.
Серию
из
N
отсчетов
измеряемой
величины
можно
наглядно
представить
,
построив
гистограмму
диаграмму
,
которая
показывает
,
как
часто
встреча
-
ются
те
или
иные
отсчеты
.
Гистограмму
строят
следующим
образом
.
Весь
диапазон
наблюдаемых
значе
-
ний
разбивают
на
K
равных
интервалов
(
интервалов
классификации
)
длиной
∆
x
и
подсчитывают
,
сколько
отсчетов
попало
в
каждый
ин
-
тервал
.
По
оси
абсцисс
откла
-
дывают
границы
интервалов
,
а
по
оси
ординат
-
относитель
-
ную
частоту
попадания
отсче
-
тов
в
интервалы
,
деленную
на
его
длину
,
т
.
е
.
величину
H
m
N x
k
k
=
∆
,
где
m
k
число
отсчетов
,
попавших
в
k-
й
интервал
.
На
интервалах
,
как
на
основаниях
строят
прямоугольники
высотой
H
k
(
рис
.
1
).
При
N
→ ∞
площадь
каждого
прямо
-
угольника
будет
стремиться
к
вероятности
попадания
отсчета
в
соответствую
-
щий
интервал
классификации
.
Если
одновременно
устремить
длину
интервала
к
нулю
(
∆
x
→
0
,
но
так
,
что
в
любой
бесконечно
малый
интервал
попадает
бесконечно
много
отсчетов
),
то
гистограмма
превратится
в
график
плотности
вероятности
.
Плотность
вероятности
характеризуется
набором
параметров
моментов
распределения
,
два
из
которых
в
теории
погрешностей
имеют
главное
значе
-
ние
.
Математическое
ожидание
µ
это
число
,
в
окрестности
которого
концентрируются
значения
случайной
величины
:
µ
=
−∞
∞
∫
xf
x dx
( )
.
Дисперсия
σ
2
это
число
,
которое
характеризует
степень
рассеяния
значений
случайной
величины
вокруг
ее
математического
ожидания
:
(
)
σ
µ
2
2
=
−
−∞
∞
∫
x
f
x dx
( )
.
Величина
σ
называется
средним
(
стандартным
)
квадратическим
отклонением
.
Рис
. 9.
Гистограмма
)
(
x
f
k
H
x
∆
x
k
36
35
6.2.
Нормальное
распределение
В
основе
теории
погрешностей
лежат
три
предположения
,
подтвержденные
опытом
:
1
.
Отклонения
наблюдае
-
мых
значений
от
истинно
-
го
значения
принимают
непрерывный
ряд
.
2.
Погрешности
,
имею
-
щие
одинаковые
абсолют
-
ные
значения
,
но
разные
знаки
встречаются
одина
-
ково
часто
.
3.
Чем
больше
значение
погрешности
,
тем
реже
оно
встречается
.
Из
этих
предположений
следует
,
что
распре
-
деление
вероятности
от
-
счетов
измеряемой
величи
-
ны
подчиняется
,
так
назы
-
ваемому
,
нормальному
распределению
(
закону
распределения
Гаусса
),
плотность
вероятности
кото
-
рого
f
x
e
x
( )
(
)
=
−
−
1
2
2
2
2
πσ
µ
σ
,
.
,
const
const
=
=
σ
µ
Можно
показать
,
что
µ
это
математическое
ожидание
,
а
σ
2
дис
-
персия
.
Вид
плотности
распределения
для
раз
-
личных
значений
дис
-
персии
показан
на
рис
.
1
0.
Приведем
без
доказатель
-
ства
важные
свойства
нормального
распределе
-
ния
.
Если
ξ
имеет
нормальное
распределение
f
x
(
,
)
µ σ
(
математическое
ожиданием
µ
и
дисперсия
σ
2
),
то
η
ξ
=
+
a
b
, (
a
и
b
детерминированные
величины
)
имеет
нормальное
распределение
(
рис
.
11
)
)
,
(
σ
µ
a
b
a
x
f
+
.
Если
ξ
1
и
ξ
2
нормально
рас
-
пределены
с
плотностями
веро
-
ятности
f
x
(
,
)
µ
σ
1
1
,
f
x
(
,
)
µ
σ
2
2
,
то
η
ξ
ξ
=
+
1
2
имеет
нор
-
мальное
распределение
с
плот
-
ностью
(
рис
.
1
2)
f
x
(
,
)
µ
µ
σ
σ
1
2
1
2
2
2
+
+
.
Связь
плотности
распреде
-
ления
и
распределения
вероят
-
ности
показана
на
рис
.
1
3.,
а
его
вид
на
рис
.
1
4.
Рис
. 14.
Нормальное
распределение
1
x
F(x)
F(x
0
)
x
0
0
x
f(x)
x
Рис
. 13.
Связь
распределения
с
его
плотностью
)
(
)
(
0
0
x
x
P
x
F
≤
=
f(x)
x
1
µ
2
1
σ
Рис
. 12.
Изменение
плотности
вероятности
при
сложении
нормально
распределенных
случайных
величин
2
µ
2
1
µ
µ
+
2
2
σ
2
2
2
1
σ
σ
+
f(x)
x
µ
2
3
2
3
2
1
σ
σ
σ
<
<
Дисперсия
математическое
ожидание
Рис
. 10.
Плотность
вероятности
нормального
распределения
f(x)
µ
2
σ
Рис
. 11.
Изменение
плотности
вероятности
при
линейном
преобразовании
нормально
распределенной
случайной
величины
1
1
b
a
+
⋅
µ
(
)
2
1
σ
⋅
a
2
2
b
a
+
⋅
µ
x
(
)
2
2
σ
⋅
a
1
1
>
a
1
2
<
a
37
38
7.
ОБРАБОТКА
РЕЗУЛЬТАТОВ
ИЗМЕРЕНИЯ
НА
ОСНОВЕ
ЗАКОНА
ГУАССА
7.
1
.
Точечные
оценки
математического
ожидания
и
дисперсии
.
Пусть
истинное
значение
измеряемой
величины
-
X
,
а
x
x
x
N
1
2
,
,...,
-
ряд
её
отсчетов
.
Пусть
наблюдаемые
значения
имеют
нормальное
распределение
с
математическим
ожиданием
µ
,
совпадающим
с
истинным
значением
,
и
неко
-
торой
дисперсией
σ
2
.
Вероятность
того
,
что
все
отсчеты
попадут
в
бесконеч
-
но
малый
интервал
[
,
)
x
x
−
+
δ
δ
2
2
по
теореме
умножения
вероятностей
рав
-
на
произведению
вероятностей
того
,
что
каждый
отсчет
попадет
в
этот
интер
-
вал
:
(
)
(
)
(
)
P X
f
x
x
X
n
N
n
n
N
N
(
,
)
[
(
) ]
exp
σ
δ
πσ
σ
δ
=
=
−
−
∑
∏
=
1
2
2
2
2
1
Чем
больше
P
,
тем
с
большей
вероятность
наблюдаемые
значения
груп
-
пируются
вокруг
истинного
значения
.
Функция
P
N
δ
с
аргументами
X
,
σ
называется
правдоподобием
эксперимента
.
Найдем
,
при
какой
связи
X
,
σ
2
с
отсчетами
x
x
x
N
1
2
,
,...,
правдоподо
-
бие
максимально
.
При
исследовании
функции
на
экстремум
удобно
исполь
-
зовать
не
саму
функцию
,
а
ее
логарифм
.
( )
(
)
L
P
N
N
x
X
N
n
n
N
=
= −
−
−
−
=
∑
ln(
)
(
/
)ln(
)
ln
(
).
δ
π
σ
σ
2
2
2
2
1
2
При
фиксированном
значении
σ
максимум
L
достигается
при
∂
∂
L
X
=
0
,
т
.
е
.
(
)
x
X
n
n
N
−
=
=
∑
1
0
.
Из
последнего
уравнения
находим
X
x
N
x
n
n
N
=
=<
>
=
∑
1
.
Следовательно
,
выборочное
среднее
значение
есть
максимально
прав
-
доподобная
оценка
истинного
значения
измеряемой
величины
.
При
фиксированном
аргументе
X
значение
σ
,
дающее
максимум
L
,
можно
найти
из
уравнения
:
∂
∂σ
L
=
0
,
или
(
)
−
+
−
=
=
∑
N
x
X
n
n
N
σ
σ
2
1
3
0
.
Тогда
(
)
σ
=
−
=
∑
x
X
N
n
n
N
2
1
.
Следовательно
,
максимально
правдоподобная
оценка
стандарт
-
ного
квадратического
отклонения
равна
выборочному
среднему
квадратическому
отклонению
отсчетов
от
истинного
значения
.
Так
как
в
процессе
измерений
истинное
значение
неизвестно
,
то
получен
-
ная
формула
не
пригодна
для
расчета
погрешности
.
Выразим
σ
через
<
>
x
:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
x
X
N
x
x
x
X
N
x
x
N
x
X
x
x
N
x
X
n
n
N
n
n
N
n
n
N
n
n
N
−
=
− <
> + <
> −
=
− <
>
+
+
<
> −
− <
>
+ <
> −
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
1
2
2
1
2
1
1
2
2(
)
.
В
этом
выражении
второе
слагаемое
равно
нулю
.
Рассмотрим
третье
сла
-
гаемое
:
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
.
1
1
2
1
2
2
2
1
2
X
x
X
x
N
X
x
N
X
x
X
x
m
N
n
N
m
n
N
n
n
N
n
n
−
−
+
−
=
=
−
=
−
>
<
∑∑
∑
∑
=
=
=
=
Второе
слагаемое
полученного
выражения
равно
нулю
при
N
→ ∞
,
т
.
к
.
отклонения
наблюдаемых
значений
от
истинного
встречаются
с
разными
зна
-
ками
одинаково
часто
.
Следовательно
39
40
(
)
(
)
lim
lim
(
)
N
n
n
N
N
n
n
N
x
X
N
x
x
N
→∞
=
→∞
=
−
=
− <
>
−
∑
∑
2
1
2
1
1
.
Величина
(
)
S
x
x
N
x
n
n
N
=
− <
>
−
=
∑
2
1
1
называется
выборочным
средним
квадратическим
отклонением
оди
-
ночного
наблюдения
,
которое
в
пределе
дает
максимально
правдо
-
подобную
оценку
стандартного
квадратического
отклонения
:
σ
=
→∞
lim
N
x
S
.
При
конечном
значении
N
S
x
σ
≈
.
Выборочное
среднее
является
суммой
N
нормально
распределенных
слу
-
чайных
величин
,
имеющих
одинаковую
дисперсию
.
Оно
представляет
случай
-
ную
величину
с
дисперсией
в
N
раз
меньшей
,
чем
дисперсия
слагаемых
.
По
-
этому
выборочное
среднее
квадратическое
отклонение
среднего
S
x
< >
в
N
раз
меньше
чем
S
x
т
.
е
.
S
S
N
x
x
< >
=
.
7.2.
Взвешенное
среднее
значение
Если
получены
две
независимые
точечные
оценки
<
>
x
1
и
<
>
x
2
одно
-
го
и
того
же
истинного
значения
(
математического
ожидания
)
с
разными
дис
-
персиями
σ
1
и
,
σ
2
то
наилучшую
оценку
<
>
x
общего
математического
ожидания
можно
найти
с
помощью
принципа
максимального
правдоподобия
:
(
)
(
)
(
)
(
)
L
x
X
x
X
= −
−
−
−
<
>
−
−
<
>
−
ln(
)
ln
ln
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
π
σ
σ
σ
σ
.
Наилучшую
оценку
находим
из
уравнения
∂
∂
L
X
=
0
,
т
.
е
.
(
)
(
)
0
2
2
2
2
1
1
=
−
>
<
+
−
>
<
σ
σ
X
x
X
x
Тогда
<
>=
<
>
+
<
>
+
x
x
x
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
σ
σ
σ
σ
.
Дисперсия
этой
оценки
σ
∂
∂
σ
∂
∂
σ
2
1
2
1
2
2
2
2
2
=
<
>
<
>
⋅
+
<
>
<
>
⋅
x
x
x
x
или
(
)
σ
σ
σ
2
1
2
2
2
1
1
1
=
+
−
.
7.3.
Доверительный
интервал
для
математического
ожидания
Как
было
показано
,
наилучшей
оценкой
математического
ожидания
µ
яв
-
ляется
выборочное
среднее
значение
<
>
x
,
которое
представляет
собой
слу
-
чайную
нормально
распределенную
величину
с
плотностью
вероятности
f
x
N
(
,
)
µ
σ
.
Доверительным
интервалом
для
µ
называется
интервал
[
,
]
µ
µ
−
+
∆
∆
x
x
,
в
который
с
вероятностью
α
µ σ
µ
µ
=
−
+
∫
f
x
N dx
x
x
(
,
)
∆
∆
попадает
µ
.
Вероятность
α
называют
доверительной
веро
-
ятностью
.
По
заданному
значе
-
нию
α
всегда
можно
рассчитать
ширину
2
∆
x
доверительного
интервала
,
если
известны
значе
-
ния
µ
и
σ
(
рис
.
1
5).
При
обработке
результа
-
тов
измерений
значения
µ
и
σ
неизвестны
,
а
могут
быть
вычис
-
лены
лишь
их
оценки
<
>
x
и
>
<
x
S
.
Поэтому
задачу
построения
доверительного
интервала
необходимо
сформулировать
иначе
.
Пусть
задана
доверительная
вероятность
α
,
с
которой
доверительный
интервал
шириной
2
∆
x
покрывает
неизвестное
математиче
-
ское
ожидание
µ
.
В
этом
случае
границы
доверительного
интервала
являются
случайными
.
Для
их
определения
необходимо
из
функции
распределения
ис
-
Рис
. 15.
)
(
x
f
x
µ
Доверительный
интервал
Плотность
вероятности
Доверительная
вероятность
)
(
)
(
x
x
P
x
F
∆
≤
−
=
∆
µ
x
∆
2
4
1
42
содержание .. 3 4 5 6 ..
|
|
|