|
|
|
содержание .. 4 5 6 7 ..
ключить
неизвестный
параметр
µ
.
Используем
линейное
преобразование
:
τ
µ
σ
=
<
> −
< >
x
x
случайной
величины
<
>
x
,
где
σ
σ
< >
=
x
N
.
Случайная
величина
τ
распределена
по
нормальному
закону
с
нулевым
математическим
ожиданием
и
единичной
дисперсией
.
Тогда
α
σ
σ
=
−
<
>
<
>
∫
f t
dt
x
x
x
x
(
, )
/
/
0 1
∆
∆
.
Во
многих
случаях
обработки
результатов
измерений
дисперсия
σ
,
следо
-
вательно
,
и
>
<
x
σ
так
же
неизвестны
.
Поэтому
при
обработке
используют
их
оценки
x
S
,
>
<
x
S
и
>
<
−
>
<
=
Τ
x
S
x
µ
.
В
результате
случайная
величина
Τ
бу
-
дет
распределена
не
по
нормальному
закону
,
а
по
,
так
называемому
,
закону
Стьюдента
с
плотностью
распределения
)
,
1
,
0
(
N
x
f
,
зависящей
от
числа
N
измерений
величины
x
.
В
этом
случае
доверительная
вероятность
и
ширина
доверительного
интервала
связаны
соотношением
∫
>
<
>
<
∆
∆
−
=
x
x
S
x
S
x
dt
N
t
f
/
/
)
,
1
,
0
(
α
.
Решение
последнего
уравнения
относительно
x
∆
представляют
в
виде
:
>
<
⋅
=
∆
x
S
N
t
x
)
,
(
α
,
где
функцию
от
доверительной
вероятности
и
числа
измерений
)
,
(
N
t
α
назы
-
вают
коэффициентом
доверия
(
коэффициентом
Стьюдента
).
Значения
)
,
(
N
t
α
в
зависимости
от
α
и
N
приведены
в
приложении
1
.
При
∞
→
N
(
практи
-
чески
при
20
>
N
)
распределение
Стьюдента
совпадает
с
нормальным
рас
-
пределением
.
В
этом
случае
коэффициент
доверия
можно
определить
по
таб
-
лицам
распределения
Гаусса
.
8.
РАСЧЕТ
ПОГРЕШНОСТЕЙ
ПРИ
КОСВЕННЫХ
ИЗМЕРЕНИЯХ
8.
1
.
Нормальное
распределение
результатов
измерений
некоррелированных
величин
.
Пусть
(
)
y
x
f
u
,
=
функциональная
зависимость
между
измеряемой
ве
-
личиной
u
и
величинами
y
x
,
,
значения
которых
найдены
прямыми
измере
-
ниями
.
Пусть
величины
y
x
,
распределены
по
нормальному
закону
,
имеют
математические
ожидания
y
x
a
a
,
и
дисперсии
2
2
,
y
x
σ
σ
и
статистически
не
связаны
между
собой
.
Разложим
функцию
(
)
y
x
f
,
в
ряд
Тейлора
в
окрестно
-
сти
точки
y
x
a
a
,
:
(
)
(
)
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
y
x
y
x
a
y
y
f
a
x
x
f
a
a
f
y
x
f
−
⋅
+
−
⋅
+
≈
∂
∂
∂
∂
,
частные
производные
вычисляются
в
точке
y
x
a
a
,
.
Полученное
выражение
представляет
собой
сумму
трех
слагаемых
.
Первое
из
них
детерминирован
-
ная
величина
.
Два
других
произведение
детерминированной
величины
на
разность
случайной
нормально
распределенной
величины
и
детерминирован
-
ной
.
Согласно
свойствам
нормального
распределения
результат
косвенных
измерений
u
будет
иметь
нормальное
распределение
с
математическим
ожи
-
данием
)
,
(
y
x
a
a
f
u
>=
<
и
дисперсией
(
)
(
)
2
2
2
2
2
y
x
u
y
f
x
f
σ
∂
∂
σ
∂
∂
σ
⋅
+
⋅
=
.
Следовательно
,
при
нормальном
законе
распределения
аргументов
косвен
-
но
измеряемой
функции
справедливо
правило
квадратичного
суммирования
погрешностей
(
)
(
)
...
2
2
+
∆
+
∆
=
∆
y
x
u
.
8.2.
Произвольное
распределение
результатов
измерений
.
Теперь
не
будем
предполагать
,
что
ошибки
измерений
аргументов
нор
-
мально
распределены
и
статистически
не
связаны
.
Однако
будем
считать
по
-
прежнему
,
что
оценкой
истинного
значения
является
среднее
арифметическое
,
а
мерой
погрешности
их
дисперсия
.
Тогда
из
разложения
функции
(
)
y
x
f
,
в
ряд
Тейлора
находим
,
как
и
ранее
,
)
,
(
)
,
(
y
x
a
a
f
y
x
f
u
>=
>=<
<
.
43
44
Дисперсия
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
1
2
1
1
)
(
)
(
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
y
N
n
x
N
n
y
N
n
x
N
n
y
x
u
a
y
a
x
N
y
f
x
f
a
y
N
y
f
a
x
N
x
f
a
y
y
f
a
x
x
f
N
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
−
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
=
=
−
⋅
+
−
⋅
⋅
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
σ
Учитывая
определение
дисперсии
аргументов
y
x
,
,
получаем
(
)
(
)
(
)
(
)
xy
y
x
u
y
f
x
f
y
f
x
f
σ
∂
∂
∂
∂
σ
∂
∂
σ
∂
∂
σ
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
=
2
2
2
2
2
2
,
где
величина
(
)
(
)
.
1
1
y
N
n
x
xy
a
y
a
x
N
−
⋅
−
⋅
=
∑
=
σ
называется
ковариацией
(
корреляционным
моментом
)
и
характеризует
степень
статистической
связи
аргументов
y
x
,
.
Если
статистическая
связь
отсутствует
,
т
.
е
.
погрешности
величины
y
x
,
не
зависимы
(
не
коррелированны
),
то
0
=
xy
σ
и
(
)
(
)
2
2
2
2
2
y
x
u
y
f
x
f
σ
∂
∂
σ
∂
∂
σ
⋅
+
⋅
=
,
т
.
е
.
по
-
прежнему
справедливо
правило
квадратического
суммирования
по
-
грешностей
как
и
в
случае
нормального
распределения
.
Если
такая
зависимость
погрешностей
имеет
место
,
то
с
учетом
неравенст
-
ва
Шварца
y
x
xy
σ
σ
σ
⋅
≤
,
получаем
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
,
2
2
2
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x
u
y
f
x
f
y
f
x
f
y
f
x
f
σ
∂
∂
σ
∂
∂
σ
σ
∂
∂
∂
∂
σ
∂
∂
σ
∂
∂
σ
⋅
+
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
≤
Следовательно
,
при
наличии
корреляции
между
погрешностями
аргументов
погрешности
суммируются
по
модулю
,
а
не
квадратично
,
т
.
е
.
...
+
∆
+
∆
=
∆
y
x
u
.
Это
выражение
дает
верхний
предел
для
погрешностей
с
произвольным
за
-
коном
распределения
как
при
наличии
,
так
и
при
отсутствии
их
статистиче
-
ской
связи
.
ПРИЛОЖЕНИЕ
1
.
Коэффициент
доверия
(
Стьюдента
)
Число
изм
.
Надежность
N
0.5
0.9
0.95
0.98
0.99
0.999
2
1
6.3
1
2.7
3
1
.8
63.7
636.6
3
0.82
2.9
4.3
7.0
9.9
3
1
.6
4
0.77
2.4
3.2
4.5
5.8
1
2.9
5
0.74
2.
1
2.8
3.7
4.6
8.6
6
0.73
2.0
2.6
3.4
4.0
6.9
7
0.72
1
.9
2.4
3.
1
3.7
6.0
8
0.7
1
1
.9
2.4
3.0
3.5
5.4
9
0.7
1
1
.9
2.3
2.9
3.4
5.0
1
0
0.70
1
.8
2.3
2.8
3.2
4.8
20
0.69
1
.7
2.
1
2.5
2.8
3.8
>20
0.67
1
.6
2.0
2.5
2.8
3.3
ПРИЛОЖЕНИЕ
2.
Формулы
погрешностей
косвенных
измерений
Функциональная
Абсолютная
Относительная
связь
погрешность
погрешность
u
x
y
=
+
∆
∆
∆
u
x
y
=
+
(
)
(
)
δ
u
x
y
x
y
=
+
+
∆
∆
u
x
y
=
−
∆
∆
∆
u
x
y
=
+
(
)
(
)
δ
u
x
y
x
y
=
+
−
∆
∆
u
xy
=
∆
∆
∆
u
y x
x y
=
+
δ
δ
δ
u
x
y
=
+
u
x y
=
∆
u
u
u
=
δ
δ
δ
δ
u
x
y
=
+
u
x
n
=
∆
u
u
u
=
δ
δ
δ
u
n
x
=
u
x
n
=
∆
u
u
u
=
δ
δ
δ
u
x n
=
u
e
x
=
∆
∆
u
u
x
=
δ
u
x
= ∆
u
x
=
ln( )
∆
u
x
=
δ
δ
δ
u
x u
=
u
x
=
sin( )
∆
∆
u
x
x
=
cos( )
δ
u
ctg x
x
=
( )
∆
u
x
=
cos( )
∆
∆
u
x
x
=
sin( )
δ
u
tg x
x
=
( )
∆
u
tg x
=
( )
∆
∆
u
x
x
=
cos ( )
2
δ
u
x
x
=
2
2
∆
sin(
)
u
ctg x
=
( )
∆
∆
u
x
x
=
sin ( )
2
δ
u
x
x
=
2
2
∆
sin(
)
46
45
ПРИЛОЖЕНИЕ
3
Отбор
промахов
по
критерию
Шовене
Z
M
Z
M
Z
M
Z
M
Z
M
1
.00
2
1
.40
3
1
.80
7
2.20
1
8
2.60
54
1
.02
2
1
.42
3
1
.82
7
2.22
1
9
2.62
57
1
.04
2
1
.44
3
1
.84
8
2.24
20
2.64
60
1
.06
2
1
.46
3
1
.86
8
2.26
2
1
2.66
64
1
.08
2
1
.48
4
1
.88
8
2.28
22
2.68
68
1
.
1
0
2
1
.50
4
1
.90
9
2.30
23
2.70
72
1
.
1
2
2
1
.52
4
1
.92
9
2.32
25
2.72
77
1
.
1
4
2
1
.54
4
1
.94
1
0
2.34
26
2.74
8
1
1
.
1
6
2
1
.56
4
1
.96
1
0
2.36
27
2.76
87
1
.
1
8
2
1
.58
4
1
.98
1
0
2.38
29
2.78
92
1
.20
2
1
.60
5
2.00
11
2.40
30
2.80
98
1
.22
2
1
.62
5
2.02
1
2
2.42
32
2.82
1
04
1
.24
2
1
.64
5
2.04
1
2
2.44
34
2.84
111
1
.26
2
1
.66
5
2.06
1
3
2.46
36
2.86
11
8
1
.28
2
1
.68
5
2.08
1
3
2.48
38
2.88
1
26
1
.30
3
1
.70
6
2.
1
0
1
4
2.50
40
2.90
1
34
1
.32
3
1
.72
6
2.
1
2
1
5
2.52
43
2.92
1
43
1
.34
3
1
.74
6
2.
1
4
1
6
2.54
45
2.94
1
52
1
.36
3
1
.76
6
2.
1
6
1
6
2.56
48
2.96
1
63
1
.38
3
1
.78
7
2.
1
8
1
7
2.58
5
1
2.98
1
73
x
S
x
x
Z
−
=
-
относительное
отклонение
случайной
величины
x
от
её
среднего
значения
в
единицах
среднеквадратического
отклонения
,
M
-
число
ожидаемых
измерений
,
начиная
с
которого
отклонение
Z
не
может
считаться
промахом
.
ПРИЛОЖЕНИЕ
4
Вероятность
того
,
что
результаты
N
измерений
двух
некоррелированных
случайных
величин
дадут
коэффициент
корреляции
больше
граничного
(r>r
0
)
Граничное
значение
r
0
коэффициента
корреляции
r
Число
изм
.
N
0.
1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.99
3
94
87
8
1
74
67
59
5
1
4
1
29
9
4
90
80
70
60
50
40
30
20
1
0
1
5
87
75
62
50
39
28
1
9
1
0
4
0
6
85
70
56
43
3
1
2
1
1
2
6
1
0
7
83
67
5
1
37
25
1
5
8
3
1
0
8
8
1
63
47
33
2
1
1
2
5
2
0
0
9
80
6
1
43
29
1
7
9
4
1
0
0
1
0
78
58
40
25
1
4
7
2
1
0
0
11
77
56
37
22
1
2
5
2
0
0
0
1
2
76
53
34
20
1
0
4
1
0
0
0
1
3
75
5
1
32
1
8
8
3
1
0
0
0
1
4
73
49
30
1
6
7
2
1
0
0
0
1
5
72
47
28
1
4
6
2
0
0
0
0
1
6
7
1
46
26
1
2
5
1
0
0
0
0
1
7
70
44
24
11
4
1
0
0
0
0
1
8
69
43
23
1
0
3
1
0
0
0
0
1
9
68
4
1
2
1
9
3
1
0
0
0
0
20
67
40
20
8
2
1
0
0
0
0
25
63
34
1
5
5
1
0
0
0
0
0
30
60
29
11
3
1
0
0
0
0
0
35
57
25
8
2
0
0
0
0
0
0
40
54
22
6
1
0
0
0
0
0
0
50
49
1
6
3
0
0
0
0
0
0
0
47
48
ПРИЛОЖЕНИЕ
5.
Нониусы
Нониусом
называется
специальная
шкала
,
дополняющая
масштаб
обычной
шкалы
и
позволяющая
повысить
точность
измерений
в
1
0-20
раз
.
Нониусы
бывают
линейные
(
например
,
штангенциркуль
)
и
круговые
(
на
-
пример
,
микрометр
).
Ниже
рассмотрим
принцип
построения
линейного
нониу
-
са
,
который
представляет
собой
небольшую
линейку
,
скользящую
вдоль
ос
-
новной
шкалы
.
Интервал
b
одного
деления
нониуса
меньше
k
интервалов
деления
a
основной
шкалы
на
величину
b
a
k
−
⋅
=
δ
.
Если
принять
N
a
=
δ
,
где
N
целое
,
то
длина
N
делений
нониуса
равна
длине
1
−
⋅
k
N
делений
основной
шкалы
,
т
.
е
.
(
)
a
k
N
b
N
⋅
−
⋅
=
⋅
1
.
Пусть
длина
D
измеряемого
предмета
такая
,
что
(
)
a
m
D
a
m
⋅
+
<
<
⋅
1
(
см
.
рисунок
).
Если
ое
−
n
деление
нониуса
совпадает
с
некоторым
делением
основной
шка
-
лы
,
то
длина
предмета
a
N
n
m
n
a
m
D
⋅
+
=
⋅
+
⋅
=
δ
.
Следовательно
,
ми
-
нимальное
отличие
длины
предмета
от
целого
числа
делений
основной
шкалы
,
которое
можно
измерить
по
нониусу
,
равно
δ
и
составляет
ю
−
N
долю
цены
деления
основной
шкалы
.
Значение
δ
указывается
как
цена
деления
на
изме
-
рительном
приборе
.
ЛИТЕРАТУРА
1
.
Брянский
Л
.
Н
.,
Дойников
А
.
С
.
Краткий
справочник
метролога
.
М
.:
Издательство
стандартов
,
1
99
1
.
2.
Кушнир
Ф
.
В
.,
Савенко
В
.
Г
.
Электрорадиоизмерения
.
Л
.:
Энергия
,
1
975.
3.
Тейлор
Дж
.
Введение
в
теорию
ошибок
.
М
.:
Мир
,
1
985.
#
4.
Сквайрс
Дж
.
Практическая
физика
.
М
.:
Мир
,
1
97
1
.
#
5.
Худсон
Д
.
Статистика
для
физиков
.
М
.:
Мир
,
1
970.
6.
Кунце
Х
.-
И
.
Методы
физических
измерений
.
М
.:
Мир
,
1
989.
7.
Тойберт
П
.
Оценка
точности
результатов
измерений
.
М
.:
Энерго
-
атомиздат
,
1
988.
8.
Каленко
С
.
Г
.,
Соломахо
Г
.
И
.
Практикум
по
физике
.
Механика
.
М
.:
Высш
.
шк
.,
1
990.
!
9.
Кортнев
А
.
В
.,
Рублев
Ю
.
В
.,
Куценко
А
.
Н
.
Практикум
по
физике
.
М
.:
Высш
.
шк
.,
1
965.
2
3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
мм
0,05
2
1
,70
±
=
D
Íîíèóñ
Îñíîâíàÿ
øêàëà
Ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ
m
1
+
m
n
2
δ
±
∆
+
⋅
=
a
m
D
δ
⋅
=
∆
n
b
n
⋅
Ïðåäìåò
N
a
=
δ
Ñîâïàâøèå
äåëåíèÿ
a
k
n
⋅
⋅
b
a
49
50
содержание .. 4 5 6 7 ..
|
|
|