Метасистемный подход в управлении - часть 75

 

299 

   

Рисунок Г.28 – Иллюстрация к задаче реконструкции, рассматриваемой в при-

мере Г.20 

тельность  труда 

v

2

 - 

общее  состояние  здоровья, 

v

3

 - 

стресс).  Параметром 

является  время  (полностью  упорядоченный  параметр).  Наблюдения  дела-
ются ежедневно в течение определенного периода времени. Ограничения на 
переменные  заданы  возможностной  функцией  поведения,  приведенной  в 
таблице  Г.14,б.  Они  определены  на  множестве  состоянии  следующих  выбо-
рочных переменных: 

                                              

t,

t,

t,

t,

v

s

v

s

3

3

1

1

=

=

            

.

v

s

,

v

s

t,

t,

t,

t,

4

4

2

2

=

=

 

Функция  поведения  получена  по  данным  с  помощью  метода  оценки 

масок,  описанного  в  разделе  В.6.  Не  вдаваясь  в  подробности  относительно 
предыдущих  этапов  исследования,  сосредоточим  свое  внимание  на  задаче 
реконструкции  данной  функции  поведения.  Пусть  стандартная  формули-
ровка  этой  задачи  основывается  на  идеях  несмещенной  реконструкции  и 
информационного расстояния. Предположим далее, что требуется, чтобы 
реконструктивные  гипотезы  основывались  только  на  С-структурах,  и  что 
максимальное приемлемое расстояние равно 0.1. 

Сначала породим и оценим реконструктивные гипотезы, основанные на 

С-структурах  первого  уровня  уточнения.  Они  показаны  на  рисунке  Г.29 
(гипотезы 1 - 6), причем  выборочные  переменные 

S

k

 

представлены  их 

идентификаторами 

k (k

∈ N

k

), 

а  подмножества  переменных  разделяются 

косой чертой. Оценка этих гипотез заключается в определении их несме-
щенных  реконструкций  (с  помощью  возможностного  варианта  процедуры 
соединения) и вычисления их расстояний [по формуле (Г.42)]. 

Поскольку гипотеза 4 имеет наименьшее расстояние (D

4

 = 0) то поро-

дим  и  оценим  все  ее  непосредственные  С-уточнения  Всего  этих  уточне-
ний  пять,  и  они  помечены  номерами 7—11 Наименьшее  расстояние  в  этой 
группе  D

10

 = 0.021. Из  монотонности  информационного  расстояния  следует, 

что расстояние любой гипотезы на первом уровне уточнения является также 
нижней границей расстояний для всех ее уточнений. Следовательно, единст-
венной  гипотезой  первого  уровня  уточнения,  которая  потенциально  может 
быть  источником  уточнений  с  расстояниями,  меньшими  или  равными 
0.021, является гипотеза 5, чье расстояние D

5

 =

 0.0179. Однако легко ви-

деть,  что  любое  непосредственное  уточнение  гипотезы 5 является  одновре-
менно уточнением какой-то другой гипотезы первого уровня. Отсюда сле-
дует,  что  любое  не  посредственное  уточнение  гипотезы 5 либо  находится 
среди гипотез 7 - 11, либо среди гипотез, нижняя граница расстояний кото-
рых больше 0.021. Следовательно лучшей на втором уровне является гипоте-
за 10. Ее непосредственными уточнениями являются гипотезы 12—15, среди 
которых гипотеза 13 имеет наименьшее расстояние. 

Для  того  чтобы  убедиться,  что  гипотеза 13 является  лучшей  на 

третьем уровне, необходимо оценить все остальные гипотезы этого уровня, 

 

300 

   

за исключением уточняющих гипотез 1, 3, 7 и 8, нижние границы которых 
превышают 

D

13

. Поскольку гипотеза 7 является уточнением гипотезы 1, ею 

 

1    

2

   

3

   

4

 

5

   

6

  

123/234

  

123/134

  

123/124

  

124/234

 

124/234

 

124/134

  

D

1

 

= 0.0774

  

D

2

=0.058

  

D

3

= 0.0952

 

D

4

=0

  

D

5

= 0.0179

  

D

6

= 0.0449

 

7

    

8

   

9

   

10

 

11

   

 

234/13

  

134/23

  

14/24/13/23

 

234/14

  

134/24

  

l=2

 

D

7

=0.086

  

D

8

= 0.0681

  

D

9

=0.122

  

D

10

 =0.021

 

D

11

=0.0477

  

 

12

   

13

   

14

  

15

 

16

   

 

 

234/1

  

14/24/34

  

14/24/23

  

14/34/23

 

12/14/34

  

l=3 

D

12

=0.1626

  

D

13

= 0.06 5

  

D

1 4

=0.1354

 

D

15

=0.0887

  

D

16

= 0.1 188

  

 

17

   

18

  

19

  

20

 

12/13/4

  

12/23/4

  

12/24/3

  

13/34/2

  

D

17

= 0.2381

  

D

18

= 0.1 7 43

  

D

19

= 0.2056

  

D

20

= 0.23 81

 

l = 4

  

Рисунок Г.29. Реконструктивные гипотезы, оцениваемые в примере 
Г.21 

 

можно  пренебречь.  Графы  гипотез 1, 3 и 8 приведены  на  рисунке  Г.30,а. 
Графы гипотез, не являющихся их уточнением на третьем уровне, должны 
содержать ребра (1, 4), (3, 4), а также либо ребро (1, 2), либо ребро (2, 4). 
Имеется всего два таких графа. Они приведены на рисунке Г.30,б. 
 

 

Первый на самом деле является графом гипотезы 13, второй представляет ги-
потезу 12/14/34, являющуюся  единственным  потенциальным  конкурентом  ги-
потезы 13. 

 

Рисунок Г.30 - Графы некоторых реконструктивных гипотез, рассматри-

ваемые в примере Г.21 

18

 

301 

   

Оценив  этого  потенциального  конкурента  (на  рисунке  Г.29  он  помечен 

номером 16), мы получим, что 

D

16

 ≠ 0.1188 > D

13

. Следовательно, гипотеза 13 

является лучшей на третьем уровне уточнения. 

Поскольку  наименьшее  расстояние  на  третьем  уровне (D

13

 = 0.065) 

меньше, чем наибольшее допустимое расстояние, необходимо исследовать 4-й 
уровень. На этом уровне 15 гипотез (представленных всеми парами ребер на 
графе из четырех узлов), но только четыре из них не являются уточнения-
ми гипотез 9, 12, 14 и 16, расстояния которых превышают критическое зна-
чение 0.1. Это гипотезы 12/13/4, 12/23/4, 12/24/3 и 13/34/2. Их номера и рас-
стояния приведены на рисунке Г.29. Поскольку все эти расстояния превышают 
0.1, никакая из этих гипотез не входит в множество решений, и дальнейшие 
уточнения не нужны. Множество решений полностью упорядочено и состоит 
из гипотез 4, 10 и 13 (а также, возможно, гипотезы 0 — обобщенной системой 
1234). 

 

302 

   

Обратите  внимание  на  то,  что, 

используя  предупорядочение  по  ин-
формационному  расстоянию,  нам 
удалось  решить  эту  задачу  (причем 
совершенно точно), оценив только 20 
из 63 возможных реконструктивных 
гипотез,  то  есть  только  одну  треть 
всех  гипотез.  Для  систем  с  большим 
числом  переменных  применение  пре-
дупорядочения по информационному 
расстоянию  еще  более  эффективно. 
Вообще говоря, чем больше отличают-
ся  (по  расстоянию)  оцениваемые  реконструктивные  гипотезы  на  отдельных 
уровнях уточнения, тем эффективнее использование этого предупорядочения. 
Часто бывает полезно посмотреть на приращения минимального расстояния, 
соответствующие  соседним  уровням  уточнения.  Для  этого  определяется  рас-
стояние  для  наиболее  уточненной  гипотезы  и  вычисляется  среднее 
приращение  расстояния,  равное  этому  наибольшему  расстоянию,  деленному 
на общее число уровней уточнения. В данном примере расстояние для наиболее 
уточненной гипотезы 1/2/3/4 равно 0.4591, следовательно, среднее приращение 
расстояния равно 0.4591/6=0.0765. Экстраполируя по известным значениям 
расстояний,  можно  получить  график  зависимости  минимального  расстояния 

D

l

 от уровня уточнения 

l

. Этот график для данного примера приведен на ри-

сунке  Г.31.  График  точен  для 

l 

= 0, 1, 2, 3, 6, приблизителен  для 

l

=4 

(нам  известно,  что 0.1188 ≤  D

4 

≤ 0.1748) и  оценен  для 

l=5. 

Остается 

только  решить  вопрос  относительно  однозначности  управления  для  каждого 
элемента  множества  решений  (раздел  Г.4,  пример  Г.6).  Как  показано  на  ри-
сунке Г.32,а, переменные 1, 2, 3, очевидно, являются порождаемыми, а един-
ственной  порождающей  переменной  является  переменная  Г.  Каждая  порождае-
мая переменная должна управляться (определяться) в точности одной подсисте-
мой реконструктивной гипотезы. Для гипотезы 134/234 ясно, что переменные 1 и 
2 управляются соответственно подсистемами 134 и 234, однако переменная 3 мо-
жет управляться любой из них. Решение о том, какая из подсистем долж-
на быть выбрана  для  управления  переменной 3, должно  быть  принято  ис-
ходя из их порождающих нечеткостей. Для данного примера вычисленные 

U 

- нечеткости равны: 

U

(3| 1,4) =0.834 для подсистемы 134 и 

U

(3|2,4) для под-

системы 23Г. Так как 

U

(3|2,4) 

<U(

3|1,4), для управления переменной выби-

рается вторая подсистема. 

Нужно также принять решение о том, как представить в подсистемах по-

рождающую  переменную  Г.  Здесь  есть  три  возможности:  переменная  мо-
жет запоминаться в одной из подсистем или в обеих. Если она запомина-
ется только в одной подсистеме, она должна использоваться как входная пе-
ременная другой подсистемы. Однако необходимо! отметить, что разница между 
этими возможностями скорее внешняя, чем функциональная, и, следовательно, 
выбор  может  быть  произведен  совершенно  произвольно.  Пусть  в  нашем 

D

l 

0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
   0

    0      1      2      3      4      5       6            l 
 
Множество решений 

Максимально 
допустимое 
расстояние

Рисунок  Г.31 – Зависимость  мини-
мального  расстояния 

D

l

  от  уровня 

уточнения 

l

 (пример Г.21)