Метасистемный подход в управлении - часть 67

 

267 

   

данного  критерия,  систем.  Если  исполнительный  критерий  оптимизации 
обеспечивает единственность оптимизации, то из данной задачи исключается 
элемент произвольности. 

Критерии оптимизации всегда используются исходя из неких фундамен-

тальных  соображений  и,  следовательно,  определяются  этими  соображения-
ми. С эпистемологической точки зрения самым существенным соображением 
для выбора обобщенной системы является ее максимальная независимость со 
всех точек зрения, за исключением только условия для проекций (Г.27). Бо-
лее  конкретно  это  соображение  можно  сформулировать  так:  для  заданной 
структурированной  системы  из  реконструктивного  семейства  следует  выби-
рать  такую  обобщенную  систему,  которая  опирается  на  всю  информацию, 
содержащуюся  в  этой  структурированной  системе,  но  только  на  эту  инфор-
мацию.  Такую  обобщенную  систему  можно  было  бы  назвать  несмещенной 
реконструкцией.  Это  система,  реконструированная  по  структурированной 
системе без  смещений, то есть, с одной стороны, использующая всю имею-
щуюся  информацию,  а  с  другой, - не  использующая  никакой  другой  до-
полнительной информации. 

Выбор  несмещенной  реконструкции,  по  существу,  представляет  собой 

индуктивный  вывод.  Он  может  быть  описан  как  следующая  оптимизацион-
ная задача. 

По заданной структурированной системе с поведением SF из множества 

функций реконструктивного семейства 

F

SF

 выбрать такую функцию поведе-

ния 

f

SF

 , для которой мера нечеткости (шенноновская энтропия для вероятно-

стных систем или U-нечеткость для возможностных) была бы максимальной 
при условии, что выполняются ограничения на проекции (Г.27). 

Для вероятностных систем эта задача оптимизации фигурирует под на-

званием «принцип максимума энтропии». 

Известно, что несмещенная реконструкция единственна и для вероятно-

стных,  и  для  возможностных  систем.  Она  определяет  самое  слабое  из  воз-
можных ограничений на переменные, соответствующие заданной структури-
рованной системе. Для возможностных систем 

f

SF

 это максимальное распре-

деление из реконструктивного семейства 

F

SF

, или, другими словами, это рас-

пределение из множества распределений 

F

SF

, которое представляет наиболь-

шее нечеткое подмножество всех полных состояний переменных систем. 

Несмотря  на  то,  что  несмещенная  реконструкция  эпистемологически 

наиболее  существенна,  поскольку  она  опирается  на  один-единственный  хо-
рошо обоснованный принцип индуктивного вывода, для других целей могут 
лучше подойти другие реконструкции. Совершенно естественным и важным 
примером этого может послужить выбор обобщенной системы, для которой 
минимизирована наибольшая возможная ошибка. Под ошибкой здесь имеет-
ся в виду расстояние между распределением (вероятностным или возможно-
стным)  реконструированной  обобщенной  системы  и  распределением  истин-
ной системы. Такого типа реконструкция - это реконструкция с наименьшим 
риском. Конкретная формулировка полученной оптимизационной задачи за-
висит от того, какой тип расстояния используется. Особую важность из всех 

 

268 

   

возможных типов расстояния имеют те, что оценивают потерю информации. 
Далее в этой главе, в особенности в разделах Г.7 и Г.9, мы рассмотрим такие 
типы расстояний. 

 

ПРОЦЕДУРЫ СОЕДИНЕНИЯ 
 

Одним из важнейших результатов, связанных с задачей идентификации, 

является  то,  что  несмещенная  реконструкция  может  быть  определена  с  по-
мощью относительно простой процедуры, не включающей решение описан-
ной  выше  задачи  оптимизации  (задачи  максимизации  шенноновской  энтро-
пии  или U - нечеткости  при  заданных  ограничениях).  Эта  процедура,  назы-
ваемая процедурой соединения, основана на вероятностном или возможност-
ном  варианте  операции  соединения  довольно  простым  образом  комбини-
рующей  функции  поведения  элементов  заданной  структурированной  систе-
мы.  

Рассмотрим две функции поведения 

                                                   

],

,

[

C

B

:

f

],

,

[

B

A

:

f

1

0

1

0

2

1

→

×

→

×

 

определенные на множествах состояний А, В, С, смысл которых мы поясним 
ниже.  Обратите  внимание,  что  в  множество  В  входит  область  определения 
обеих функций. Соединение 

1

f

 и 

2

f

, обозначаемое как 

l

f

 *

2

f

, это функция 

                                               

],

,

[

C

B

A

:

f

f

1

0

2

1

→

×

×

∗

 

свойства которой зависят от природы функций 

1

f

 и 

2

f

 . Если это функции рас-

пределения вероятностей, то 
                                               

)],

b

|

c

(

f

),

b

,

a

(

f

min[

)

c

,

b

,

a

](

f

f

[

2

1

2

1

=

∗

         (Г.33) 

где 

2

f

(c|b) — условная вероятность с при .заданном b; если это функции рас-

пределения возможностей, то 
                                               

)]

c

,

b

(

f

),

b

,

a

(

f

min[

)

c

,

b

,

a

](

f

f

[

2

1

2

1

=

∗

          (Г.34) 

Обратите внимание, что в отличие от (Г.33) в (Г.34) не используются ус-

ловные возможности. Дело в том, что тут используется соотношение 
                                         

)],

c

,

b

(

f

),

b

,

a

(

f

min[

)

b

|

с

(

f

),

b

,

a

(

f

min[

2

1

2

1

=

 

которое легко может быть доказано. 

Пусть  операция  соединения  применяется  к  двум  элементам  структури-

рованной системы с выборочными переменными из множеств 

1

S и 

2

S и функ-

циями поведения 

l

f

 и 

2

f

. Тогда необходимо преобразовать области определе-

ния функций 

1

f

 и 

2

f 

 к виду А

×

 В и В

×

С соответственно, где 

А - множество  совокупных  состояний  переменных,  входящих  только  в 

первый элемент, то есть переменных из множества 

1

S - 

);

S

S

(

2

1

∩

 

В - множество совокупных состояний переменных, входящих в оба эле-

мента, то есть переменных из 

;

S

S

2

1

∩

 

С - множество совокупных состояний переменных, входящих только во 

второй элемент, т. е. переменных из множества 

2

S - 

)

S

S

(

2

1

∩

. 

 

269 

   

Для  определения  несмещенной  реконструкции  данной  струк-

турированной системы операция соединения должна быть выполнена для пар 
элементов этой системы. При каждом ее выполнении два элемента сливаются 
(объединяются) в один больший элемент новой структурированной системы. 
Пусть операция соединения всегда выполняется в таком порядке, чтобы ре-
зультат ранее выполненных операций соединения входил в операцию соеди-
нения в качестве второго элемента. Эта процедура заканчивает свою работу 
тогда, когда все элементы сливаются в одну обобщенную систему. 

Будем называть эту процедуру базовой процедурой соединения. Прежде 

чем  ее  формализовать,  нужно  рассмотреть  два  вырожденных  случая,  чтобы 
все содержательные ситуации были описаны. В первом случае все перемен-
ные из первого элемента (соответствующего 

1

f

) могут быть включены во вто-

рой элемент (соответствующий 

2

f

). Это может быть, поскольку, вообще гово-

ря, второй элемент получен в результате выполнения неких операций соеди-
нения. В  этом случае  множество А является пустым, a 

l

f

 принимает вырож-

денный вид 
                                               

].

,

[

B

:

f

1

0

1

→

 

Во втором случае элементы не соединены. Это значит, что множество В 

является пустым, а функции поведения имеют вырожденный вид 
                                               

],

,

[

A

:

f

1

0

1

→

 

                                               

].

,

[

B

:

f

1

0

2

→

 

Обратите  внимание  на  то,  что  вследствие  требования  неизбыточности 

для структурированных систем (смотри раздел Г.3) и договоренности о том, 
что  результат  предшествующих  операций  соединения  всегда  выступает  как 

2

f

,  множество  С  не  может  быть  пустым.  Для  вероятностных  систем  вырож-

денные операции соединения определяются так: 
                                               

)

b

|

c

(

f

)

b

(

f

)

c

,

b

](

f

f

[

2

1

2

1

⋅

=

∗

                        (Г.35) 

для А=0 и 
                                               

)

c

(

f

)

a

(

f

)

c

,

a

](

f

f

[

2

1

2

1

⋅

=

∗

                             (Г.36) 

для В=0; для возможностных систем они определяются следующим образом: 
                                               

)],

c

,

b

(

f

),

b

(

f

min[

)

c

,

b

](

f

f

[

2

1

2

1

=

∗

              (Г.37) 

                                                

)].

c

(

f

),

a

(

f

min[

)

c

,

a

](

f

f

[

2

1

2

1

=

∗

                (Г.38) 

Через 

l

f

 *

2

f

 будем обозначать в зависимости от контекста как обычную, 

так  и  вырожденную  операцию  соединения.  Тогда  базовая  процедура  соеди-
нения описывается следующим алгоритмом. 

Базовая процедура соединения.

 Дана локально согласованная структури-

рованная  система  с  поведением SF (вероятностная  или  возможностная)  с 
функциями  поведения 

x

f

  (

x

∈ N

q

).  Для  определения  соединения 

x

f

  для  всех 

x

∈N

q

: 

1) положить k=2 и 

f 

= 

1

f

 ; 

2) произвести соответствующую группировку аргументов 

k

f

 и 

f

 и выпол-

нить  соответствующий  вариант  операции  соединения 

f

f

f

k

→

∗

 (операция 

может быть вероятностной или возможностной, обычной или вырожденной); 

 

270 

   

3) если 

k < q

, то 

k+1 

→ 

k и перейти на шаг 2; 

4) стоп. 
Можно  доказать  следующее  утверждение:  если  базовая  процедура  со-

единения применяется к согласованной возможностной системе SF, то в ре-
зультате  всегда  получается  несмещенная  реконструкция 

f

SF

  (максимальное 

для реконструктивного семейства 

F

SF

 распределение возможностей). Однако 

если  эта  процедура  применяется  к  вероятностной  системе,  то  несмещенная 
(максимум  энтропии)  реконструкция  получается  только  для  определенного 
класса структурированных систем — так называемых ациклических структу-
рированных систем, описываемых в разделе Г.7. 

По  полученному  результату,  не  определяя  типа  данной  струк-

турированной  системы  можно  определить  результат  применения  базовой 
процедуры соединения 

f

 несмещенную реконструкцию или нет. Если 

f

 удов-

летворяет условию для проекции 

                                                

f

]

S

f

[

x

x

=

↓

 

для всех 

x

∈N

q

, то это несмещенная реконструкция, в противном случае 

f

 не 

соответствует данной структурированной системе и должна быть уточнена с 
помощью следующей итеративной процедуры соединения. 

Итеративная  процедура  соединения.

  Дана  локально  согласованная 

структурированная  система  с  поведением SF с  вероятностными  функциями 
поведения 

j

f

 (j

∈

N

0

,

q-1

). Дана также функция 

f

, полученная с помощью базовой 

процедуры  соединения,  примененной  к SF, и  число  ∆

∈

[0, 1]; требуется  с 

точностью  до  ∆  определить  функцию  поведения  несмещенной  реконструк-
ции: 

1) присвоить j=0, i=1 и 

f

0

 = f

; 

2)  сделать  соответствующее  разбиение  аргументов 

j

f

  и 

f

i-1

  и  выполнить 

операцию соединения 

i

i

j

f

~

f

f

→

∗

−1

для вырожденного вида (Г.35); 

3) если i ≠ 0 (mod q), то i + 1 → i, j+1 (mod q) → j,   и   перейти на 2; 
4) если |

)

c

(

f

~

)

c

(

f

q

i

i

−

−

| >∆ для какого-то с

∈

С, то i+1→ i, j+1 (mod q)→ j, 

и перейти на 2; 

5) конец. 
Если  после выполнения итеративной процедуры    соединения 

∑

=

c

i

)

c

(

f

1

, то 

                                      

∆

∆

+

≤

≥

−

)

c

(

f

)

c

(

f

)

c

(

f

SF

i

SF

 

для  всех 

C

c

∈

;  в  противном  случае  данная  структурированная  система SF 

глобально не согласована (смотри раздел Г.11)  и реконструкции SF не суще-
ствует, то eсть   F

SF

 = 0, и, следовательно, SF бессодержательна. 

Пример Г.16. Рассмотрим структурированную систему из примера Г.11, 

определенную  в  таблице  Г.3.  Сначала  используем  для  определения  несме-
щенной реконструкции вероятностный вариант базовой процедуры соедине-
ния. В первых столбцах таблице Г.10 приводятся промежуточный результат 

 

2

f*

1

f 

и окончательный результат 

 f = 

3

f*(

2

f*

1

f)

. Легко видеть, что окончатель-

ный результат 

f

 не соответствует заданной структурированной системе. Так,