Метасистемный подход в управлении - часть 65

 

259 

   

где 

(

q

N

x

∈

)

.  В  этих  уравнениях  определяются  значения 

x

f(

x

c)

,  значения 

f(с)

 

определяются  для  всех  обобщенных  состояний  входящих  в  уравнения 
переменных. Положим, что 

С

с

∈

 и 

C

c

x

x

∈

 для всех 

(

q

N

x

∈

). 

Чтобы  определить  значения 

f(c)

,  которые  можно  интерпретировать  как 

вероятности  или  возможности  состояний 

с

,  уравнения  (Г.28)  или  (Г.29) 

нужно дополнить требованием, чтобы 

f(c)≥0

 для всех 

С

с

∈

. Несмотря на 

то, что 

f(c)

 должны для вероятностных систем удовлетворять некоторым до-

полнительным требованиям, таким, как  

f(c)≤1 и 

1

=

∈

∑

C

c

)

c

(

f

 

легко увидеть, что эти дополнительные требования учитываются видом этих 
уравнений  и  требованием,  чтобы 

f(c)≥0

  для  всех 

С

с

∈

.  Взаимоотношение 

между  заданной  структурированной  системой  и  соответствующими  обоб-
щенными системами с поведением описывается множеством из  
                                                               

q

N

x

x

|

C

|

∈

∑

 

уравнений вида (Г.28) или (Г.29) с |С| неизвестными, 

f(с)

, удовлетворяющей 

неравенствам 

f(c)≥0

  для  всех 

С

с

∈

.  Обычно  некоторые  из  этих  уравнений 

зависят  от  остальных  и  могут  быть  исключены. Если заданная структуриро-
ванная  система  непротиворечива,  то  полученная  система  уравнений  [то  есть 
система линейно-независимых уравнений вида (Г.28)] имеет по крайней мере 
одно решение в области неотрицательных действительных чисел. 

Идентификация обобщенной системы с поведением по заданной струк-

турированной системе однозначна тогда и только тогда, когда решение огра-
ниченной системы уравнений существует (то есть структурированная система 
непротиворечива) и оно единственно. Это бывает довольно редко. Если реше-
ние не единственно, что бывает значительно чаще, то идентификация неодно-
значна.  По  существу,  это  означает,  что  данная  обобщенная  система,  хоть 
для нее и выполняются все ограничения на переменные структурированной 
системы, содержит некоторую дополнительную информацию. Это и есть кон-
структивное выражение известного утверждения науки о системах, что «целое 
больше суммы составляющих его частей». 

Пример  Г.11.

 

Рассмотрим  структурированную  систему,  элементами  ко-

торой являются системы с поведением без памяти, каждая из которых со-
держит  по  две  из  трех  переменных 

v

1

,v

2

,v

3

. Каждая переменная имеет одно 

из двух состояний 0 или 1. Вероятностные функции поведения элементов 

l

f, 

2

f, 

3

f 

приведены  в  таблице  Г.3.  Легко  убедиться,  что  эта  структурированная 

система локально согласована. Например, вероятность того, что 

v

2

 = 0 рав-

на 0.6 (и 0.4 для v

2

=1) 

независимо от того, вычисляется она как проекция 

l

f 

или 

2

f

. 

Обозначим  через 

р

0

, 

р

1

,...

p

7

  (таблица  Г.4)  неизвестные  вероятности  со-

стояний обобщенных систем с поведением. Тогда реконструктивное семейство 

 

260 

   

данной 

структурированной 

системы 

описывается 

неравенствами 

)

N

i

(

p

,

i

7

0

0

∈

≥

 

и 12 уравнениями вида (Г.28) 

 
Таблица Г.3- Элементы структурированной системы из примера Г.11 

v

1 

v

2

  

1

f(

1

с)

  

v

2

 

v

3

  

2

f(

2

с)

  

  v

1

    

v

3

  

3

f(

3

с)

1

с=0  0  

0.4  

2

с = 0

  0  

0.4  

З

с=0      0   

0.4 

0  1  

0.3  

0  1   0.2  

0       1

 

0.3 

1   0  

0.2  

1   0  

0.1  

1       0

  0.1 

1   1  

0.1  

1   1   0.3  

1       1

 

0.2 

 
Таблица  Г.4 - Обозначения,  исполь-

зуемые в примерах Г.11, Г.12 и Г.14 

v

1

  

v

2

 

v

3 

f(с) 

   с = 0

  

0  

0  

f(000) = р

0 

0  

0  

1  

f(001 )= р

1 

0  

1  

0  

f(010) = р

2

 

0  

1  

1  

f(011) = р

3

1  

0  

0  

f(100) = р

4

 

1  

0  

1  

f(101)=р

5 

1  

1  

0  

f(110)=р

6

 

1  

1  

1  

      f(111)= р

7

 

 
Исследовав  эти  уравнения,  получаем,  что  все  неизвестные  могут  быть 

выражены через одну из них, скажем через 

р

0

. В самом деле, 

из (1): 

р

1

 = 0.4 - р

0

; 

из (5): 

р

4

 = 0.4 - р

0

; 

из (9) : 

р

2

=0.4 - р

0

;  

из (2):

 р

3

 = 0.3 - р

2

= - 0.1+р

0

;  

из (3): 

р

5

 = 0.2 - р4 = - 0.2+р

0

;  

из (6): 

р

7

 = 0.3 - р

3

 = 0,4 - р

0

;  

из (8): 

р

6

 = 0.1 - р

2

 = - 0.3 + р

0

. 

Таким образом, 

p

1 

= p

2 

= p

4 

= p

7 

= 0.4 – p

0 

,  

                                                              (a) 

р

з

 = - 0.1 + 

p

0

,                                                                                     (б) 

р

5

 = - 0.2 + 

р

0

,                                                                                    (в) 

р

6

 = - 0.3 + 

р

0

. 

Из неравенств для каждого из уравнений    получаем следующие огра-

ничения на 

р

0

: 

а) 

p

1

 (или 

р

2

, р

4

, р

7

) ≥ 

0 дает 

p

0 

≤ 0.4; 

б) 

р

з 

≥ 0 дает 

p

0 

≥0.1; 

p

0

+p

1

=0.4 (1),   p

0

+p

4

=0.4 (5)

p

0

+p

2

=0.4 (9), 

p

2

+p

3

=0.3 (2),   p

3

+p

7

=0.3 (6)

p

1

+p

3

=0.3 (10), 

p

4

+p

5

=0.2 (3),   p

1

+p

5

=0.2 (7)

p

5

+p

7

=0.2 (11), 

p

6

+p

7

=0.1 (Г),   p

2

+p

6

=0.1 (8)

p

4

+p

6

=0.1 (12), 

 

261 

   

в) 

p

5 

≥ 0 дает 

p

0 

≥0.2; 

г) 

р

6 

≥ 0

 дает 

p

0

≥0.3. 

Так как должны выполняться все эти ограничения, из неравенств сле-

дует, что 

р

0

 должно принимать значения в диапазоне 

                                           0.3 ≤ 

p

0

 ≤ 0.4 

Если задаться значением 

р

0

 из этого диапазона, то из уравнений а) — 

г)  можно  однозначно  определить  значения  неизвестных.  В  таблице  Г.5 
показано,  как  таким  образом  определяется  реконструктивное  семейство  для 
данного примера. 

v

1

     v

2

         

1

f(

1

c)                                       v

2

    v

3

         

2

f(

2

c) 

————————                                   ———————— 
0       1          0.3                                         0      0         0.1 

1

c =  1       0          0.5                                  

2

c = 0      1         0.4 

1       1          0.2                                         1      1         0.5 
 
Таблица Г.5 - Реконструктивное семейство из примера Г.11 

       v

1

 

 V

2 

    v

3 

     p

i

 =f(с)

  

с =   0  

 0  

    0     0.3 ≤ 

p

0

 ≤ 0.4 

0 

 1  

    1 

   p

1

= 0.4 -

р

0

  

0 

 0  

    0  

   p

2

= 0.4 - 

р

0

  

0 

 1  

    1 

   p

3

= -0.1+

р

0

  

1 

 0  

    0 

   p

4

= 0.4 - 

р

0

  

1 

 1  

    1 

   p

5

= - 0.2 + 

р

0

  

1 

 0  

    0 

   p

6

= -0.3 + 

р

0

  

1 

 1  

    1 

   p

7

= 0.4 - 

р

0

  

При определении реконструктивного семейства этой системы будем ис-

пользовать для неизвестных те же обозначения, что и в примере Г.11. То-
гда  реконструктивное  семейство  будет  описываться  неравенствами 

(

)

7

0 ,

i

N

i

p

∈

≤

 

и следующими восемью уравнениями: 

p

0

 + p

1

 = 0.0, (1)                                      p

0

 + p

4

 = 0.1, (5) 

p

2

 + p

3

 = 0.3, (2)                                      p

1

 + p

5

 = 0.4, (6) 

p

4

 + p

5

 = 0.5, (3)                                      p

2

 + p

6

 = 0.0, (7) 

p

6

 + p

7

 = 0.2, (Г)                                      p

3

 + p

7

 = 0.5, (8) 

Из уравнений (1), (7) и неравенств имеем 

р

0

 = 

р

1

 = 

р

2 

= 

р

6

 = 0. Отсюда 

просто  определить  оставшиеся  вероятности: 

р

3

 = 0.3, 

р

4

 = 0.1, 

р

5 

= 0.4, 

р

7

 = 

0.2.  Следовательно,  в  данном  случае  идентификация  однозначна.  То  есть 
данный  пример — это  пример  одного  из  тех  редких  случаев,  когда  «целое 
равно сумме составляющих его частей». 

Пример  Г.13.  Чтобы  продемонстрировать  более  общий  тип  ре-

конструктивного семейства, рассмотрим структурированную систему из трех 

(степень свободы) 

 

262 

   

элементов, причем каждый элемент содержит три переменных 

v

1

,v

2

,v

3

.

 Пусть 

v

1

 и

 v

2

 

принимают состояния из множества {0, 1}, а v

3

 – из множества  {0 1, 

2}. Элементы представляют собой вероятностные системы с поведением без 
памяти. Их функции поведения 

l

f, 

2

f

, 

3

f

 приведены в таблице Г.6. 

Таблица Г.6 - Элементы  структурированной  системы  из  примера Г.13.  

 

     v

1 

 v

2 

  

1

f(

1

c)

 

      v

2 

 v

3

 

2

f

(

2

с)  

     v

1 

 v

3 

 3

f

(

3

с)

1

c = 0    0     0.25  

2

с =0   0   0.17  

3

с= 0 

 0  0.11 

  0     1     0.18  

 0    1   0.16        0 

 1  0.14 

  1     0     0.20  

 0   2   0.12        0  

 2  0.18 

  1     1     0.37 

 1   0   0.14  

  1  

 0  0.20 

 

 1   1   0.18  

1  

 1  0.20 

 

 1   2   0.23  

1  

 2  0.17 

 
Будем  использовать  приведенные  в  таблице  Г.7  обозначения  неизвест-

ных вероятностей состояний полной системы.  

 
Таблица Г.7- Обозначения, используемые в примере Г.13 

       v

1

 

 v

2 

    v

3 

    f(с)

  

с =   0  

 0  

    0      

f(000)

 = 

p

0 

0 

 0  

    1 

   f(001) = p

1

  

0 

 0  

    2  

   f(002) = p

2

 

0 

 1  

    0 

   f(010)

 = 

p

3

  

0 

 1  

    1 

   f(011)

 = 

p

4

  

0 

 1  

    2 

   f(012)

 = 

p

5

  

1 

 0  

    0 

   f(100)

 = 

p

6

  

1 

 0  

    1 

   f(101)

 = 

p

7

  

1 

 0  

    2 

   f(102)

 = 

p

8

  

1 

 1  

    0 

   f(110)

 = 

p

9

  

1 

 1  

    1 

   f(111)

 = 

p

10

  

1 

 1  

    2 

   f(112)

 = 

p

11

  

 
Составление уравнений, описывающих   реконструктивное семейство, и 

определение  их  решений    при  ограничениях 

p

i 

≥ 

0 (

1

0 ,

N

i

∈

)  предоставим 

читателю. Скажем только, что система  из 16 исходных уравнений с 12 не-
известными сводится к 10 линейно-независимым уравнениям с двумя степе-
нями свободы. Если предположить, что свободными являются неизвестные 

р

10

 и 

р

11

, то мы получим следующие неравенства: