Метасистемный подход в управлении - часть 66

263

≤

Область значений для

, определяемая этими уравнениями, пока-

зана на рисунке Г.14; это выпуклое множество, натянутое на четыре точки
(0.06, 0.17), (0.17, 0.17), (0.18, 0.16), (0.18, 0.05). Для любой пары значений

из этой области значения остальных неизвестных однозначно опре-

деляются следующим образом:

= 0.34 -

= - 0.04 +

= - 0.05 +

= - 0.023 +

= 0.18 –

= 0.23 –

= - 0.17 +

= 0.20 –

= 0.17 –

= 0.37 –

Пример Г.14. Рассмотрим структурированную систему, элементами ко-

торой являются возможностные системы с поведением с теми же наборами
переменных, что и в примере Г.12. Функции поведения элементов приве-
дены в таблице Г.8. Как видно, они не нормализованы.

0.05

0.1

0.15

0.25

0.3

0.35

0.2

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Рисунок Г.14 – Описание реконструктивного семейства из примера Г.13

(0.06 – 0.17)

(0.17 – 0.17)

(0.18 – 0.16)

(0.18 – 0.05)

264

Для описания реконструктивного семейства этой структурированной сис-

темы снова воспользуемся обозначениями из таблицы Г.4. Тогда реконструк-

Таблица Г.8 - Элементы структурированной системы из примера Г.14

(

с)

с = 0

0 0.8

c = 0

0 0.8

0.5

1 0.9

0 0,9

0 0.8

1 0.8

1 0.6

тивное семейство определяется неравенствами

≥

0 (

0 ,

∈

)

и следующи-

ми восемью уравнениями в виде (Г.29):

max(p

, p

)= 0.5, (1) max( p

, p

)= 0.8, (5)

max(p

, p

)= 0.6, (2) max( p

, p

)= 0.8, (6)

max(p

, p

)= 0.8, (3) max( p

, p

)= 0.9, (7)

max(p

, p

)= 0.8, (Г) max( p

, p

)= 0.9, (8).

Из уравнения (1) следует, что ни

, ни

не могут быть больше 0.5;

следовательно, из (6) следует, что

= 0.8, а из уравнения (2), что

= 0.6.

Из уравнения (5) следует, что

не может быть больше 0.8, а значит, из

уравнения (7) следует, что p

= 0.9. Согласно этим результатам данная сис-

тема может быть сведена к двум независимым подсистемам уравнений

max(p

, p

)= 0.5,

max(p

, p

)= 0.8,

max( p

, p

)= 0.8

Единственное уравнение при условии, что

≥ 0 и

≥ 0, имеет решение

=0.5 и 0 ≤

≤0.5

или

=0.5 и 0 ≤

≤0.5.

Пара уравнений, при условии, что

≥ 0,

≥ 0 и

≥ 0, имеет решение

=0.8 и 0 ≤

≤0.8, а также 0 ≤

≤0.8

или

p4=

0.8, и 0 ≤

≤0.8.

B данном реконструктивном семействе легко выделить одно максималь-

ное и четыре минимальных распределения возможностей. Они приведены в
таблице Г.9, где через f

и f

SFi

(

∈

) обозначены соответственно макси-

мальное и минимальные распределения, а через SF — рассматриваемая cтр-
уктурированная система. Реконструктивное семейство состоит из этих четы-
рех распределений, а также из всех распределений, находящихся между мак-
симальным распределением и любым из четырех минимальных.

Для возможностных структурированных систем известно, что в общем

случае их реконструктивные семейства всегда имеют вид, что и в примере

265

Г.14. То есть реконструктивное семейство всегда содержит одно максималь-
ное семейство (предполагается, что данная структурированная система согла-

Таблица Г.9 - Максимальное и минимальные распределения возможностей
для реконструктивного семейства из примера Г.14

SF,1

SF,2

SF,3

SF,4

C = 0 0

0 0.8 0.8 0.8

0 0

1 0.8 0

0.8

0 1

0 0.5 0.5 0

0.5

0 1

1 0.5 0

0.5

1 0

0 0.8 0

0.8

1 0

1 0.9 0.9 0.9

0.9

1 1

0 0.8 0.8 0.8

0.8

1 1

1 0.6 0.6 0.6

0.6

сована) и множество решений, состоящее из возможностных распределений,
находящихся между максимальным решением и одним из нескольких мини-
мальных решений. Более того, возможность любого полного состояния пере-
менных, входящих в любое минимальное решение, равна или возможности
этого состояния в максимальном решении, или нулю. Данный результат, рав-
но как и некоторые другие результаты, связанные с задачей определения ре-
конструктивного семейства для заданной структурированной системы, полу-
чены недавно и для возможностных, и для вероятностных систем.

КОЭФФИЦИЕНТ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ

Часто необходимо иметь подходящую меру для оценки размера рекон-

структивного семейства. Если эта мера является адекватной, то ее можно ис-
пользовать для оценки нечеткости, связанной с реконструкцией обобщенной
системы по заданной структурированной системе, а также как степень иден-
тифицируемости реальной структурированной системы.

Для возможностных систем размер реконструктивного семейства адек-

ватно оценивается произведением

)]

(

[

∈

(Г.30)

где

- максимальный элемент реконструктивного семейства

, а A -

множество всех полных состояний, для  которых степень возможности в ре-
конструктивном  семействе  определяется  не  единственным  образом  [то  есть
множество  полных  состояний,  для  которых  решение  ограниченной  системы
уравнений вида (Г.29) не единственное]. Обратите внимание, что это произ-
ведение  всегда  больше  или  равно 1 и  что  его  значение  пропорционально
мощности  множества  А  и  значениям

(с); оно равно 1 только тогда, когда

множество А пустое (то есть если существует единственное решение.

Если принять произведение (Г.30) в качестве разумной оценки размера

реконструктивного семейства, то естественно было бы определить реконст-

266

руктивную нечеткость

, связанную со структурированной системой SF,

как логарифм этого произведения, то есть

∏

∑

∈

)]

(

[

log

)]

(

[

log

. (Г.31)

Понятно, что

≤

где считается, что |С| - реконструктивная нечеткость всего множества

обобщенных систем, сопоставимых с SF. Можно использовать меру

−

(Г.32)

называемую коэффициентом идентифицируемости, в качестве разумного по-
казателя возможности определения единственной обобщенной системы по
заданной структурированной системе SF. Понятно, что

≤

I = 1 только тогда, когда |

| = 1; I

= 0 только тогда, когда

|А| = |С| , и

(с) = 1 для всех

∈

Коэффициент идентифицируемости бывает полезен при решении неко-

торых системных задач, особенно при сравнительных исследованиях струк-
турированных систем. В общем случае значительно легче определить коэф-
фициент идентифицируемости структурированной системы, чем реконструк-
тивное семейство: для этого достаточно определить максимальное решение и
состояния с единственными решениями (то есть С - А).

Пример Г.15. Определим коэффициент идентифицируемости структури-

рованной системы, определенной в примере Г.14. Отметим, что в этом при-
мере |С|=8, а множество А состоит из первых пяти состояний, перечисленных
в таблице Г.9. Используя значения

(с) для этих состояний, получим рекон-

структивную нечеткость

log

714

Отсюда
I

= 1 — 3,714/8 = 0.536.

ЕДИНСТВЕННЫЙ ВЫБОР ИЗ РЕКОНСТРУКТИВНОГО СЕМЕЙ-

СТВА

Рассмотрим теперь вторую подзадачу задачи идентификации—задачу

выбора из реконструктивного семейства одной обобщенной системы как ги-
потезы о реальной обобщенной системе. Эта задача тривиальна, если рекон-
струкция однозначна (то есть если I

= 1).

В остальных случаях (если данная структурированная система SF со-

гласована и, следовательно

≠ 0, этот выбор совершенно произволен, если

только мы не определим некий критерий и не потребуем, чтобы система, вы-
бранная из реконструктивного семейства, наилучшим образом удовлетворяла
этому критерию. В этом случае задача выбора превращается в задачу опти-
мизации с последующим произвольным выбором из лучших, с точки зрения

содержание .. 64 65 66 67 ..