Метасистемный подход в управлении - часть 68

 

271 

   

например, [

f↓{v

1

, v

2

}

](0 0) =0.312195+0.111628=0.423823 не равно 

1

f

(0 0)=0.4, 

так что требование для проекций (Г.27) не выполняется. Следовательно, не-
обходимо использовать итеративную процедуру соединения. Последователь-
ность  порождаемых  процедурой  функций  поведения  сходится  к  несмещен-
ной реконструкции. Она приводится в таблице Г.10 для i=1, 2, ...,21. 

 
Таблица  Г.10 - Последовательность  функций  поведения,  полученных  с 

помощью базовой и итеративной процедур соединения, пример Г.16 

 

Базовая процедура соединения

          Итеративная процедура соединения 

v

1

   v

2 

  v

3

   

2

f*

1

f     

3

f*(

2

f*

1

f)      i = 1         i = 2           i = 3        i = 4          i = 5 

0   0   0   0,26   0.312195  0.294647  0.302908  0.309934  0.304982  0.307696 
0   0   1   0.15   0.111628  0.105353  0.099904  0.096561  0.095018  0.093371 
0   1   0   0.075   0.087805  0.095379  0.088024  0.090066  0.092059  0.089834 
0   1   1   0.225   0.188372  0.204621  0.210484  0.203439  0.207941  0.209672 
1   0   0   0.13   0.084211  0.094444  0.097092  0.089019  0.091490  0.092304 
1   0   1   0.06   0.094118  0.105556  0.100096  0.105580  0.108510  0.106629 
1   1   0   0.025   0.015789  0.012977  0.011976  0.010981  0.010418  0.010166 
1   1   1   0.075   0.105882  0.087023  0.089516  0.094420  0.089582  0.090328 

 
    i = 6          i = 7          i = 8         i = 9          i= 10         i = 11       i= 12         i= 13 

0.309608  0.308036  0.308915  0.309511  0.309002  0.309289  0.309481  0.309315 
0.092433  0.091964  0.091444  0.091148  0,090998  0.090829  0.090734  0.090685 
0.090392  0.091011  0.090314  0.090489  0.090688  0.090462  0.090519  0.090584 
0.207567  0.208989  0.209528  0.208852  0.209312  0.209486  0.209266  0.209416 
0.090079  0.090826  0.091085  0.090388  0.090626  0.090711  0.090486  0.090563 
0.108277  0.109174  0.108556  0.109086  0.109374  0.109171  0.109343  0.109*37 
0.009921  0.009761  0.009686  0.009612  0.009561  0.009538  0.009514  0.009498 
0.091723  0.090239  0.090472  0.090914  0.090439  0.090514  0.090657  0.090502 

 
   i = 14        i = 15        i = 16        i = 17        i = 18       i = 19        i= 20         i = 21 

0.309409  0.309472  0.309417  0.309448  0.309469  0.309451  0.309461  0.309468 
0.090630  0.090599  0.090583  0.090565  0.090555  0.090549  0.090543  0.090540 
0.090510  0.090528  0.090550  0.090525  0.090531  0.090538  0.090530  0.090532 
0.209473  0.209401  0.209450  0.209469  0.209445  0.209462  0.209468  0.2C9460 
0.090591  0.090518  0.090543  0.090552  0.090528  0.090536  0.090539  0.090531 
0.109370  0.109427  0.109457  0.109435  0.109454  0.109464  0.109457  0.109463 
0.009490  0.009482  0.009477  0.009476  0.009472  0.009470  0.009470  O.Q0946
0.090527  0.090573  0.090523  0.090531  0,090546  0.090530  0.090532  0.090537 

Результаты проверки на сходимость — шаг 4—алгоритм процедуры со-

единения—  приведены  в  таблице  Г.11.  Отсюда,  если  ∆>0.15067,  то  вы-
полнение  процедуры  завершится  при i=3; если  ∆>0.004128,  то  выполнение 

 

272 

   

завершится при i = 6 и так далее. Так как ∆=0.00002, то процедура завершит-
ся при i = 21. 

Таблица Г.11. Проверка на сходимость — шаг 4 итеративной процедуры 

соединения из примера Г.16 
                                            

)

q

(mod

i

|,

f

)

c

(

f

|

q

i

i

0

=

−

−

 

————————————————————————————————— 

v

1 

 v

2  

 v

3

     i = 3          i = 6          i = 9          i = 12        i = 15       i = 18       i = 21 

0   0   0  0.002261  0.000326  0.000097  0.000030  0.000009  0.000003  0.000001 
0   0   1  0.015067  0.004128  0.001285  0.000414  0.000135  0.000044  0.000015 
0   1   0  0,002261  0.000326  0.000097  0.000030  0.000009  0.000003  0.000001 
0   1   1  0.015067  0.004128  0.001285  0.000414  0.000135  0.000044  0.000015 
1   0   0  0.004808  0.001060  0.000309  0.000098  0.000032  0.000010  0.000003 
1  0   1  0.011462  0.002697  0.000809  0.000257  0.000084  0.000027  0.000009 
1   1   0  0.004808  0.001060  0.000309  0.000098  0.000032  0.00001 0.000003 
1   1   1  0.011462  0.002697  0.000809  0.000257  0.000084  0.000027  0.000009 

 

Г.7 Задача реконструкции 
 

Разбиение  воспринимаемого  мира 
на  части  удобно  и,  возможно,  не-
обходимо,  но  неизвестно  точно, 
как, оно должно быть сделано.

 

Г. Бейтсон 

 
Задача  реконструкции  может  быть  сформулирована  следующим  обра-

зом:  дана  система  с  поведением,  рассматриваемая  как  обобщенная  система; 
требуется  определить,  какие  наборы  ее  подсистем,  а  каждый  такой  набор 
рассматривается  как  гипотетическая  реконструкция,  подходят  для  реконст-
рукции  заданной  системы  с  заданной  точностью,  причем  реконструкция 
должна  производиться  только  по  той  информации,  что  содержится  в  этих 
подсистемах. 

Укажем,  прежде всего, на то, что согласно такой формулировке задачи 

понятие «реконструкция» становится более конкретным: при реконструкции 
используется вся информация, полученная из подсистем, но только она. Это 
означает,  что  требуется,  чтобы  реконструкция  была  несмещенной  в  том 
смысле, как это определилось в разделе Г.6, и, следовательно, можно исполь-
зовать для ее получения соответствующую процедуру соединения. 

В  задаче  идентификации  несмещенная  реконструкция  представляет  со-

бой  хорошо  обоснованную  гипотезу  (оценку)  относительно  неизвестной 
обобщенной  системы  причем  гипотеза  эта  строится  по  заданной  структури-
рованной  системе.  Поскольку  истинная  обобщенная  система  неизвестна,  то 
невозможно определить, насколько близка к ней эта гипотетическая система 
В задаче реконструкции несмещенная реконструкция описывает реконструк-
тивные  возможности  рассматриваемой  гипотезы  относительно  заданной 

 

273 

   

обобщенной  системы.  Чем  ближе  несмещенная  реконструкция  к  истинной 
(заданной) системе, тем лучше гипотеза. 

В общем  случае близость двух сопоставимых  систем  с поведением  мо-

жет быть выражена через метрическое расстояние между их функциями по-
ведения.  Существует  много разных типов метрических расстояний. Так, на-
пример, класс расстояний Минковского определяется следующей формулой: 
                                            

∑

∈

−

=

C

c

p

/

h

h

p

,

|

)

c

(

f

)

c

(

f

|

[

)

f

,

f

(

1

δ

 

          (Г.39) 

где 

f

, 

f 

h

- соответственно функция поведения заданной системы и несмещен-

ная  реконструкция  по  гипотезе h, a 

N

p

∈

 -  параметр  функций  расстояния. 

При 

р 

= 1- это расстояние Хэмминга, при 

p

 = 2 - Евклида, при 

р

 = ∞ - верхняя 

граница расстояний. 

Расстояния по Минковскому вычисляют по точечным разностям 
                                                

|

)

c

(

f

)

c

(

f

|

h

−

 

распределение  вероятностей  или  возможностей  в  соответствии  с  формулой 
(Г.39) . Несмотря на то, что поточечное описание близости 

f

 и 

f 

h

 полезно для 

многих  приложений,  теоретически  оно  недостаточно  хорошо  обосновано. 
Более обосновано рассматривать близость как разности информации, содер-
жащейся в 

h

 относительно 

f

, или, другими словами, как потерю информации 

при замене 

f

 на 

h

 (на множество проекций 

f 

). 

Меру  подобной  потери  информации  будем  называть  информационным 

расстоянием  и  обозначать 

D(f, f 

h

)

-  Для  вероятностных  систем  она  задается 

хорошо известной формулой 

                        

∑

∈

=

C

c

h

h

,

)

c

(

f

)

c

(

f

log

)

c

(

f

|

C

|

log

)

f

,

f

(

D

2

2

1

                      (Г.40) 

где константа  l/log

2

|C| — нормирующий коэффициент, обеспечивающий вы-

полнение соотношения  
                                                       0 ≤

 D(f, f 

h

) ≤ 1.

 

Поскольку,  если 

f 

h

(с) = 0, то 

f

(с) = 0, вероятностное  информационное 

расстояние  определено  всегда.  Это,  однако,  не  метрическое  расстояние,  так 
как оно асимметрично, более того, 

D(f 

h

, f)

 может быть не определено для не-

которых 

f

 и 

f 

h

 [когда 

f 

h

(с) > 0 и 

f

 (c) = 0 для некоторого с 

∈

 С]. 

При применении вероятностного расстояния к порождающей системе с 

поведением уравнение (Г.40) приобретает следующий вид: 

                      

.

)

g

|

g

(

f

)

g

|

g

(

f

log

)

g

|

g

(

f

)

g

(

f

|

G

|

log

)

f

,

f

(

D

h

G

g

G

g

h

G

∑

∑

∈

∈

=

2

1

         (Г.41) 

 

Модификация уравнений (Г.40) и (Г.41) для направленных систем с по-

ведением очевидна. 

Для возможностных систем информационное расстояние рассчитывает-

ся по формуле 

                                      

∫

=

1

0

2

2

1

)

l

,

f

(

c

)

l,

f

(

c

|

log

|

C

|

log

)

f

,

f

(

D

h

h

,                         (Г.42) 

 

274 

   

представляющей собой аналог вероятностного информационного расстояния 
(Г.40) для 

U 

- нечеткости. 

Далее в этом разделе, после соответствующего описания свойств рекон-

структивных  гипотез,  будет  описано  применение  информационных  расстоя-
ний для сравнения этих гипотез. 

Реконструктивная  гипотеза  для  заданной  обобщенной  системы  с  пове-

дением  представляет  собой  набор  ее  подсистем.  Если  обобщенная  система 
состоит  из 

n

  переменных,  то  число  ее  подсистем,  содержащих  по  крайней 

мере одну переменную равно 2

n

 - 1, а общее число наборов таких подсистем, 

содержащих не менее одной подсистемы, равно 

.

n

1

2

1

2

−

−

 С ростом 

n

 это чис-

ло|  растет  очень  быстро.  Однако  без  потери  общности  его  можно  су-
щественно  уменьшить,  если  рассматривать  только  неизбыточные;  наборы 
подсистем (смотри раздел Г.3). 

Для  многих  системных  исследований  очень  перспективным  является 

другой  способ  сокращения  числа  реконструктивных  гипотез.  Он  состоит  в 
исключении наборов подсистем, не содержащих всех переменных обобщен-
ной системы. Это требование, обычно называемое условием покрытия, фор-
мально выглядит так: 
                                                              

S

S

k

k

=

∪

, 

где 

k

S

 — множество переменных из подсистем реконструктивной гипо-

тезы, а 

S

 – множество переменных обобщенной системы. Это условие объяс-

няется  прежде  всего  необходимостью  использовать  в  реконструктивной  ги-
потезе  информацию  обо  всех  переменных  обобщенной  системы  для  того, 
чтобы  реконструкция  была  логически  возможна.  Поскольку  вопрос  о  вклю-
чении  или  исключении  выборочных  переменных  из  обобщенной  системы 
решается в результате анализа маски (смотри раздел В.6), выполнение усло-
вия покрытия общности не нарушает. 

Далее под реконструктивной гипотезой будут пониматься только такие 

наборы подсистем заданной обобщенной системы, которые удовлетворяют и 
требованию неизбыточности, и условию покрытия. Таким образом, реконст-
руктивная гипотеза — это структурированная система с поведением, сравни-
мая с обобщенной системой с поведением. Однако иногда бывает нужно ра-
ботать  со  всеми  наборами  подсистем,  которые  удовлетворяют  только  тре-
бованию  неизбыточности.  Будем  такие  наборы  подсистем  называть  обоб-
щенными  реконструктивными  гипотезами.  Понятно,  что  для  данной  обоб-
щенной  системы  с  поведением  множество  ее  реконструктивных  гипотез  яв-
ляется  подмножеством  множества  ее  обобщенных  реконструктивных  гипо-
тез. 

Любая  реконструктивная  гипотеза  (равно  как  и  любая  обобщенная  ре-

конструктивная гипотеза) полностью описывается: 

1) семейством подмножеств входящих в нее переменных, 
2)  функциями  поведения,  соответствующими  отдельным  под-

множествам переменных.