Метасистемный подход в управлении - часть 58

 

231 

   

ва идентифицируют отдельные сущности разных множеств (переменные, 
свойства, каналы), причем предполагается, что соответствующие друг дру-
гу обобщенные переменные, конкретные переменные и свойства помеча-
ются  одним  и  тем  же  элементом  индексного  множества  (так  же,  как  в 
формальном  определении  исходных  систем  в  главе 5. Пусть  перемен-
ные, свойства и другие характеристики систем 

x

S

, 

y

S 

помечены (идентифи-

цированы)  соответственно  индексными  множествами 

x

J

, 

у

J. 

Тогда  отно-

шение 

x

S

 — подсистема 

y

S 

«полностью»  описывается  отношением  вклю-

чения 

J

J

y

x

⊆

 

для их индексных множеств. Обычно считается, что 

n

y

N

J

⊆

 

Пример Г.1. Пусть 

1

S — исходная система из примера Б.1 (состояние 

деловой  древесины).  Тогда 

1

J=N

7

.

 

Пусть 

2

S — исходная  система,  опреде-

ленная как подсистема 

1

S(

2

S

p

1

S) с помощью индексного множества 

2

J={1, 

2, 3, 

7}. 

Тогда 

2

S  будет  состоять  из  всех  элементов,  входящих  в 

1

S,  за 

исключением 

i

i

i

i

i

i

i

i

e

,

o

,

A

,

a

,

V

,

v

,

V

,

v

&

&

 

при 

i

=4, 5, 6. 

Для  направленных  исходных  систем  отношение  «подсистема»  нахо-

дит  отражение  и  в  соответствующих  идентификаторах  входов-выходов. 
Пусть 

x

S, 

y

S 

— направленные исходные системы, такие, что 

x

S

p

 

y

S, и пусть  

( )

(

)

J

j

|

j

u

u

x

x

x

∈

=

, 

( )

(

)

J

j

|

j

u

u

y

y

y

∈

=

 

- идентификаторы их входов-выходов. Тогда 

x

u(j)=

y

u(j) 

для  всех 

J

j

x

∈

.  Для  отслеживания  значений,  связанных  с  от-

дельными компонентами 

х

и 

и 

у

и, 

удобно считать, что для любого иденти-

фикатора входа-выхода элементы 

u(j) 

упорядочены в порядке возрастания 

значений 

j

. 

Определенное  для  исходных  систем  отношение  «подсистема»  легко 

может  быть  распространено  на  системы  данных.  Понятно,  что  для  двух 
сравнимых систем данных 

x

D, 

y

D, которым соответствуют исходные систе-

мы 

x

S

, 

y

S, 

x

D является подсистемой данных 

y

D, то есть 

x

D

p

y

D, тогда и толь-

ко  тогда,  когда 

x

S

p

y

S  и 

x

D  содержит  только  данные,  содержащиеся  в 

y

D

 

и 

относящиеся  к  переменным,  входящим  в 

x

S.  Существенно,  чтобы  массивы 

данных  были  помечены  таким  образом,  чтобы  для  каждого  элемента 
можно было однозначно определить, к какой конкретной переменной он от-
носится. 

Теперь  остается  только  определить  отношение  «подсистема»  для  двух 

вариантов порождающих систем и систем с поведением. Пусть 

                                            

(

)

(

)

B

y

y

y

B

y

B

x

x

x

B

x

f

M

S

F

f

M

S

F

,

,

,

,

=

=

                                                                  

- 

сравнимые системы с поведением и пусть 

x

J, 

y

J

 — множества идентифика-

торов переменных, соответствующих исходных систем 

x

S, 

y

S. 

 

232 

   

 

Тогда 

x

F

B

 

является 

подсистемой системы с поведением 

y

F

В

, 

то есть 

B

y

B

x

F

F p

 

тогда и только тогда, когда выполнены следующие три условия: 
1) 

J

J

y

x

⊆ , 

так что 

S

S

y

x

p

; 

2) 

M

M

y

x

⊆

, 

так  что 

( )

M

r

x

j

i

∈

,

υ

 тогда  и  только  тогда,  когда 

( )

M

r

y

j

i

∈

,

υ

 

и 

J

j

x

∈

; 

3) 

[

]

K

f

f

x

B

x

B

x

↓

=

,  где 

x

K

 – множество  идентификаторов  выборочных 

переменных, соответствующих 

x

М, 

т. е. 

x

f

B

 

является проекцией

 

y

f

B

 

для выбо-

рочных переменных системы 

x

F

B

. 

Пример Г.2. Рассмотрим отношение подсистема-суперсистема для двух 

систем с поведением, изображенных на рисунке Г.2. Обе системы определе-
ны на одном и том же полностью упорядоченном параметрическом множест-
ве.  Их  представляющие  системы 

1

I, 

2

I

  содержат  соответственно  перемен-

ные

4

3

2

1

,

,

,

υ

υ

υ

υ

 и 

4

1

,

υ

υ

,  каждая  из  которых  имеет  два  состояния.  Им  может 

быть  дана  некоторая  интерпретация  (каналы  конкретизации  и  наблюдения), 
однако в данном примере эта интерпретация несущественна. Функциями по-
ведения  систем  являются  распределения  вероятностей.  Система 

2

F

B

  удовле-

творяет трем условиям, определяющим, что 

2

F

B

 является подсистемой систе-

мы 

1

F

B

, то есть 

2

F

B

<

1

F

B

. Поскольку эти системы вероятностные, то при про-

ецировании 

{

}

[

]

6

,

2

,

1

1

↓

B

f

 в  качестве  агрегирующей  функции  используется 

сумма. Например, значение для 

( )

000

2

B

f

 получается суммированием первых 

трех вероятностей из таблицы для 

1

f

B

.

 

Понятия  подсистемы  с  поведением  достаточно  легко  распространить  и 

на другие типы порождающих систем (порождающие системы с поведением, 
направленные  системы  с  поведением  и  так  далее).  Нужно  только  подходя-
щим образом идентифицировать порождающие, порождаемые и входные пе-
ременные для обеих рассматриваемых систем. 

 
Г.3.  Структурированные  исходные  системы  и  структурирован-

ные системы данных 

 

Как  уже  указывалось  выше,  структурированные  системы — это  мно-

жества  исходных  систем,  систем  данных  или  порождающих  систем.  Они 
нужны для объединения нескольких систем в большие. Для того чтобы та-
кое  объединение  было  осмысленным,  необходимо,  чтобы  отдельные  сис-
темы — элементы структурированной системы, были совместимы, т. е. бы-
ли одного типа и определены на одном и том же параметрическом множе-
стве. По существу, это то же условие 

совместимости, 

выполнение которого 

требуется для отношения «подсистема» (раздел Г.2). 

Кроме условия совместимости нужно еще потребовать, чтобы никакой 

элемент не был подсистемой другого элемента  той  же  структурированной 

 

233 

   

Рисунок Г.2 - Пример отношения подсистема с поведени-

ем/суперсистема с поведением (пример Г.2) 

 

системы.  Выполнение  этого  требования  позволяет  избежать  перемешива-
ния  уровней  отдельных  структурированных  систем  для  того,  чтобы  они 
были  иерархически  упорядочены,  как  об  этом  говорится  в  разделе  Г.1. 
Более того, в структурированной системе подсистемы, состоящие из лю-
бых  элементов,  полностью  избыточны  в  том  смысле,  что  любая  содержа-
щаяся  в  них  информация  также  может  быть  выведена  из  элементов  их 
суперсистем.  Таким  образом,  в  структурированных  системах  они  беспо-
лезны. Назовем это требование 

требованием неизбыточности.

 

Избыточные  элементы  часто  используются  в  технических  системах 

для  обнаружения  и  коррекции  ошибок.  Как  показано  в  разделе  Г.4 
(пример Г.8), требование неизбыточности никоим образом не исключает из 
рассмотрения системы такого типа. 

Для  формального  определения  структурированных  систем  пред-

положим,  что  нейтральная  структурированная  система  состоит  из 

q 

элементов  (нейтральных  систем  того  же  типа),  удовлетворяющих  тре-

 

234 

   

бованиям  совместимости  и  неизбыточности.  Элементы  идентифици-
руются индексом 

х, 

где 

q

N

x

∈

. Пусть, кроме того, 

                                                  

{

}

n

i

N

i

|

v

V

∈

=

                                         (Г.1) 

является  множеством  всех  переменных,  входящих  в  элементы  системы,  и 
пусть 

V

x

- 

множество переменных элементов 

х (

q

N

x

∈

). 

Тогда 

                                                    

V

V

x

N

x

q

∈

∪

=

.

 

                                (Г.2) 

Будем для удобства обозначений переменные из множеств 

x

V 

идентифици-

ровать с помощью того же индекса i, что и переменные из полного мно-
жества 

V, 

определенного в (Г.1). Тогда любой элемент однозначно иденти-

фицируется множеством своих переменных 

x

V.

 

Различные  типы  структурированных  систем  будем  обозначать  стан-

дартным для этого типа символом с префиксом S. Так, через SS, SD, 

SF

B

 

обозначены  структурированные  системы,  элементами  которых  являются 
соответственно  нейтральные  исходные  системы,  направленные  системы 
данных  и  нейтральные  системы  с поведением. Таким образом,  префикс 
S  используется  как  оператор,  показывающий,  что  несколько  систем  оп-
ределенного типа объединено в большую систему. 

Элементами  структурированных  систем  простейшего  типа  являются 

нейтральные  исходные  системы.  Системы  этого  типа  определяются  как 
множество 

                                      SS={(

x

V, 

x

S) |x

q

N

∈

},

 

                     (Г.3) 

где 

x

S для каждого 

x

q

N

∈

 

— нейтральная исходная система (элемент SS); 

через 

x

V 

обозначено множество переменных, входящих в *S; это обозна-

чение  удобно  использовать  как  идентификатор  элементов  структуриро-
ванной  системы.  Разумеется,  исходные  системы 

x

S  из  (Г.3)  должны  удов-

летворять требованиям совместимости и неизбыточности, но только этим 
требованиям. 

Если два элемента SS, скажем элементы, идентифицированные как 

х,y

q

N

∈

, 

имеют общие переменные, то есть 

                                                

0

≠

∩ V

V

x

x

,

 

                                (Г.4) 

то  эти  элементы  соединены.  Будем  это  множество  общих  переменных на-
зывать 

соединением 

элементов 

х 

и 

у, 

а  переменные  из  этого  множества — 

соединяющими  переменными. 

Соединения — это  важные  характеристики 

структурированных систем, так как они определяют взаимодействия между 
их элементами. Понятно, что для нейтральных структурированных систем 
соединения  симметричны,  то  есть  не  зависят  от  порядка,  в  котором  рас-
сматриваются элементы. Для удобства соединение между нейтральными 
элементами 

х 

и 

у 

структурированной   системы    будем обозначать как 

                                              C

x,y

=V.                                               

   (Г.5)