Метасистемный подход в управлении - часть 54

 

215 

   

сматриваемой задачи должно быть вычисление степеней недетерминирован-
ности и сложности для всех систем из множества 

r

Y

. 

Как  было  показано  в  разделе  В.5,  степень  недетерминированности  за-

дается  соответствующей  мерой  порождающей  нечеткости,  определяемой 
для  вероятностных  систем  шенноновской  энтропией,  а  для  возможностных 
систем U – нечеткостью. Для определения порождающей нечеткости требу-
ется, чтобы был определен порядок порождения (и соответствующее разбие-
ние любой маски). Если допускается несколько порядков порождения, то для 
каждой маски мы берем порядок с наименьшей порождающей нечеткостью.  

Что  касается  меры  сложности,  то  тут  возможно  много  вариантов.  

Возьмем  для  примера  простую,  но  содержательную  меру – размер  (мощ-
ность) маски. Пусть ,...)

2

,

1

(

=

i

q

u

i

 - значение соответствующих порождающих 

нечеткостей  для  систем  с  поведением 

B

i

F

 из  ограниченного  множества  Y

r

. 

Поскольку любая система F

B

 однозначно идентифицируется своей маской М, 

мощность  которой  M

i

 задает  ее  сложность,  статус  системы 

B

i

F

в  смысле 

порождающей  нечеткости  и  сложности  удобно  описывать  парой

(

)

u

i

i

q

M

,

. 

Теперь  рассматриваемую  задачу  можно  обсуждать  в  терминах  масок  M

i

,  а 

не соответствующих систем с поведением 

B

i

F

. 

Численное упорядочение масок  M

i

, идентифицирующих системы из Y

r

 

по  их  мощности,  задает  упорядочение  сложности 

с

≤  на  множестве  Y

r

.  Чис-

ленное  упорядочение  значений 

u

i

q

 определяет  упорядочение  по  нечеткости 

u

≤  на множестве Y

r

.  В то время, как упорядочение по сложности полностью 

определяется самими масками, упорядочение по нечеткости может быть оп-
ределено только после оценки масок. Для любого множества порождающих 
масок  мы  можем  определить  частичное  упорядочение

G

j

G

i

M

M

≤

 тогда  и 

только тогда, когда 
                                         

g

g

и

g

g

i

i

i

i

<

=

.                                      (В.60) 

(или 

e

e

i

i

<  для  направленных  систем),  которое  мы  будем  называть  упо-

рядочением  подмасок.  Это  упорядочение  часто  оказывается  полезным  при 
разработке различных эвристических процедур поиска на множестве систем 
Y

r

.  

Пример  упорядоченности  по  сложности  и  упорядоченности  подмасок 

для наибольшей допустимой маски М при n=3 u ∆M=2 приведен далее... Из 
этого примера видно, что упорядочение по сложности – это связное квазиу-
порядочение  (рефлексивное  и  транзитивное  отношение,  определенное  для 
любой пары систем). 

Упорядочение по подмаскам – это частичное упорядочение, но решетки 

оно не образует. Однако оно представляет собой набор решеток по одной для 
каждого множества порождаемых выборочных переменных (в нашем приме-

 

216 

   

ре это крайние правые элементы масок). 

Упорядочение по нечеткости связное, но из-за того, что несколько раз-

ных систем могут иметь одинаковую порождающую нечеткость, это отноше-
ние  не  является  антисимметричным.  Следовательно,  в  общем  случае  это 
связное  квазиупорядочение,  которое  в  некоторых  частных  случаях  оказыва-
ется полным упорядочением. 

Таким образом, на множестве Y

r 

определены два связных квазиупорядо-

чения – по сложности и по нечеткости. Было бы желательно объединить их 
неким  подходящим  образом.  Поскольку  для  рассматриваемого  типа  задач 
требуется, чтобы и сложность и порождающая нечеткость систем во множе-
стве  решений  Y

Q

,  были  минимизированы.  Соответствующее  объединенное 

упорядочение

 

*

≤  определяется следующим образом: 

B

j

B

i

F

F

*

≤

 тогда и только тогда, когда 

                                             

M

M

j

c

i

≤

   и   

u

j

u

u

i

q

q

≤

,                                    (В.61) 

где 

r

B

j

B

i

Y

F

F

∈

,

.  Это  упорядочение  не  является  связным,  поскольку  пары 

B

j

B

i

F

F

,

,  для  которых 

M

M

j

i

<

 и 

u

j

u

i

q

q

>

 или 

M

M

j

i

>

 и 

u

j

u

i

q

q

<

 (подоб-

ные пары, разумеется, могут существовать), несравнимы. Оно также неанти-
симметрично, так как не исключена возможность того, что 
                                                        

M

M

j

i

=

 и 

u

j

u

i

q

q

=

 

для некоторых i ≠ j. Следовательно объединенное упорядочение – это общего 
вида квазиупорядочение (рефлексивное и транзитивное отношение) на Y

r

.

 

Теперь  множество  решений  Y

Q

  можно  определить  как  множество  всех 

систем из Y

r

, которые или эквивалентны, или несравнимы относительно объ-

единенного  упорядочения  (В.61).  Две  системы  из  Y

r

,  скажем  системы 

B

i

F

и 

B

j

F

, несравнимы в смысле обединенного упорядочения, если выполнено од-

но из следующих условий: 

B

i

F

более  сложна  и  менее  детерминирована,  чем 

B

j

F

или 

B

i

F

менее 

сложна и более детерминирована, чем 

B

j

F

. Формально 

                           

)}

)(

(

|

{

*

*

B

j

B

i

B

i

B

j

r

B

j

r

B

i

Q

F

F

F

F

Y

F

Y

F

Y

≤

⇒

≤

∈

∀

∈

=

.            (В.62) 

Системы  из  множества  решений  Y

Q

  будем  называть 

подходящими  сис-

темами с поведением

 для рассматриваемого типа задач. 

Пример  В.5  Чтобы  пояснить  различные  вопросы,  изучаемые  в  данном 

разделе,  рассмотрим  этологическую  систему  данных,  описанную  в  примере 
В.2 (смотри также рисунок В.8). Определим все подходящие в смысле (В.62) 
системы с поведением для этой системы данных в предположении, что поль-
зователь  хочет  получить  описания  вероятностных  систем  с  поведением  и 
использовать их для предсказания. 

Предположим сначала, что ∆

М

 = 2. Тогда имеется восемь содержатель-

 

217 

   

ных масок, которые вместе с их упорядочением подмасок и указанием трех 
уровней  сложности  изображены  на  рисунке  В.6а.  После  выполнения  исчер-
пывающей  выборки  для  наибольшей  приемлемой  маски 

M

M

=

1

 по  опреде-

ленной  пользователем  формуле  по  частотам N(c) вычисляются  вероятности 

( )

c

f

B

, а порождающая нечеткость оценивается как вероятностная. Если для 

вычисления вероятностей используется формула (В.42), то порождающая не-
четкость  равна 1.11. Затем  для  остальных  семи    содержательных  масок  по 
формуле (В.58) определяются соответствующие проекции и вычисляются их 
порождающие нечеткости. Результаты этих вычислений показаны на рисунке 
В.6б (в правом нижнем углу масок). На рисунке В.6б также изображено упо-
рядочение масок по нечеткости. В этом примере упорядочение является пол-
ным, поскольку значения нечеткости у всех разные. Объединенное упорядо-
чение по сложности и нечеткости (61) изображено на рисунке В.6в. Как мы 
видим, минимальными с точки зрения объединенного упорядочения являют-
ся маски с идентификаторами 1,2,6. Следовательно, Y

Q 

={

B

B

B

F

F

F

6

2

1

,

,

}. 

Предположим  теперь,  что  ∆

М

 = 3. Тогда  имеется 40 содержательных 

масок.  После  их  обработки,  аналогичной  обработке  для  случая  ∆

М

 = 2, мы 

получим  пять  подходящих  систем  с  поведением,  маски  которых,  значения 
сложности  и  порождающие  нечеткости  приведены  на  рисунке  В.7а.  остав-
шиеся 35 масок хуже с точки зрения их сложности, как и с точки зрения чет-
кости, и, следовательно, их вовсе не нужно рассматривать.  

Описанный  здесь  поиск  подходящих  систем  с  поведением  может  быть 

реализован  самыми  разными  способами.  Основной  принцип  заключается  в 
том, что содержательные маски получаются с помощью некоторого алгорит-
ма из наибольшей приемлемой маски в порядке уменьшающейся сложности. 
Среди  масок  одинаковой  сложности  выбираются  только  маски  с  минималь-
ной порождающей нечеткостью. При этом если значение этой минимальной 
нечеткости  меньше  или  равно  значению  нечеткости  для  предшествующего 
уровня сложности, то все ранее принятые системы отбрасываются. В резуль-
тате  применения  этой  процедуры  у  нас  остаются  только  подходящие  систе-
мы. 

Важно понимать, что задачи данной категории представляют собой тему 

со многими вариациями. Например, можно многими разными способами вы-
числять  вероятности  или  возможности,  можно  использовать  разные  опреде-
ления сложности, можно выдвинуть дополнительные условия, такие, как за-
дание наибольшей приемлемой четкости.  

 

В.8 Порождающие системы 

 
Термин «порождающая система» используется здесь в качестве общего  
 

 

218 

   

 

 

 

 

Рисунок В.6 – К примеру В.5 

 

Объединенная упорядоченность 
по сложности и по нечеткости 

1

3

2

4

1

3
4

3

2

4

1
2

4

1

3

2

3
4

1

4

3

2

в

1

2

3

4

5

6

7

8

4 
1.11

3 
1.88 

3 
2.53

3 
2.37 

3 
1.97

2 
3.41 

2 
3.65

Упорядоченность по нечеткости 

1

3

2

4

1

3
4

3

2

4

1
2

4

1

3

2

3
4

1

4

3

2

б

1

2

3

4

5

6

7

8

1.11

1.88 

2.53

2.37 

1.97

3.38

3.41 

3.65

1

3

2

4

Упорядоченность подмасок 

1

3
4

3

2

4

3
4

1
2

4

1

3

2

1

4

3

2

а)

1

2

3

6

4

7

5

8

2 
3.38