Метасистемный подход в управлении - часть 52

 

207 

   

                                       

( )

( )

∑

∈

=

X

c

B

c

f

X

p

,                                             (В.19) 

где 

( )

C

P

X

∈

. Здесь применен тот же индекс B, что и в описании функ-

ции  поведения,  определенной  в  (В1),  так  как  плотность  вероятности  также 
будет использоваться в качестве функции поведения. 

Мера возможностей – это функция 
                                                

( )

[ ]

1

,

0

:

→

C

P

π

,                                      (В.20) 

удовлетворяющая следующим требованиям: 
(π1)   

( )

( )

;

1

;

0

0

=

=

C

π

π

 

(π2)   

( )

i

i

i

X

X

π

π

max

)

(

=

∪

 

Хорошо  известно,  что  мера  возможности  π  однозначно  определяется 

функцией  распределения  возможностей  f

B

,  имеющей  вид  (В8)  и  определяе-

мой формулой 

                                                

( )

B

X

c

f

X

∈

= max

π

.                                         (В.21) 

 

В.4 От систем данных к системам с поведением 
 

Важный класс системных задач, часто называемый индуктивным моде-

лированием систем, может быть описан в первом приближении как множест-
во  задач,  связанных  с  подъемом  по  эпистемологической  иерархии  систем. 
Все задачи этого класса характеризуются следующим общим описанием: да-
но 

Конкретная  система,  скажем  x  определенного  эпистемологического 

уровня; 

Множество  всех  конкретных  систем  некоего  более  высокого  эпистемо-

логического  уровня,  совместимых  с  системой  x  (то  есть  основанных  на  той 
же  представляющей  системе,  с  теми  же  методологическими  отличиями), 
скажем множество Y; 

Набор соответствующих требований Q относительно неких свойств сис-

тем из множества из множества Y, причем одним из этих требований являет-
ся  требование,  чтобы  данная  система  x  была  аппроксимирована  как  можно 
более  точно  системой  более  высокого  уровня  и  требуется  определить  Y

Q

 – 

подмножество Y, такое, чтобы любая система из Y

Q

 удовлетворяла всем тре-

бованиям, определенным в наборе Q. 

Для демонстрации в данном разделе задачи определения систем с пове-

дением,  представляющих  заданную  систему  данных  и  обладающих  некими 
подходящими дополнительными свойствами, будем считать, что x – это сис-
тема  данных  с  номинальными  переменными  (переменными  с  номинальной 
шкалой), Y – множество  всех  систем  с  поведением  с  вероятностными  или 
возможностными функциями поведения, совместимыми с x, а набор Q состо-
ит из: 

1)  подмножества  Y

r

 – множества Y, определенного  пользователем  или 

УРСЗ (как выбор по умолчанию); 

 

208 

   

2)  требования,  чтобы  несогласованность  между  соответствующими  пе-

ременными  заданной  системы  данных  и  системы  с  поведением  из  Y

Q

  была 

как можно меньшей; 

3)  требования,  чтобы  степень  неопределенности  при  порождении  дан-

ных системой с поведением из множества Y

Q

 была как можно меньшей; 

4) требования, чтобы система из подмножества Y

Q

 была как можно бо-

лее простой; 

5) предпочтения требования 2 требованиям 3 и 4. 
В  этой  общей  формулировке  требование 1 сводится  к  определению 

множества допустимых масок. Если параметрическое множество не упорядо-
чено, то понятие параметрического соседства не определено, и, следователь-
но, существует только одна осмысленная маска. Эта маска, определяемая то-
ждественным правилом сдвига; она называется маской без памяти. Эта зада-
ча сводится к определению для имеющихся данных функции распределения 
вероятностей или возможностей, удовлетворяющих требованию 2. Она реша-
ется полным перебором данных с помощью маски без памяти (в данном слу-
чае  порядок  выбора  не  важен)  и  определения  для  каждого  состояния  выбо-
рочных  переменных 

с

 ( в  данном  случае  они  совпадают  с  основными  пере-

менными) числа N(

c

) их появлений в данных. Числа N(

c

) для всех 

с

∈

С обыч-

но  называются  частотами  состояний 

с

.  Они  используются  для  вычисления 

по  некоторым  правилам  соответствующих  функций  вероятностей  или 
возможностей.  

Вычислять  распределение  вероятности  или  возможности  по  частотам 

можно  разными  способами.  Выбор  способа  зависит  от  того,  какой  смысл 
придает пользователь этим вероятностям или возможностям. Так, например, 
если  вероятности  рассматриваются  как  характеристики  данных,  то  обычно 
вычисляются  относительные  частоты,  то  есть  отношения N(

с

)  к  общему 

числу имеющихся выборок из данных по используемой маске. Отсюда 

                                         

( )

( )

( )

∑

∈

=

C

B

N

c

N

c

f

α

α

.                                             (В.31) 

Если,  однако,  вероятности  рассматриваются  как  оценки  частот  по  уже 

имеющимся результатам наблюдения, то они вычисляются по формуле 

                                

( )

( )

(

)

( )

)|

|

(

1

∑

∈

+

+

=

C

B

C

N

c

N

c

f

α

α

.                           (В.32) 

Поскольку  распределения  возможностей  менее  ограничены,  чем  их  ве-

роятностные аналоги (например, к ним не надо добавлять 1), существует еще 
больше возможных правил для вычисления их по частотам N(

c

). Естествен-

ный  способ  вычислений  распределения  возможностей,  который  можно  счи-
тать аналогом формулы (42) – это считать значение возможности равной от-
ношению частоты N(

c

) к максимальной зафиксированной частоте, то есть 

                                         

( )

( )

( )

α

α

N

c

N

c

f

C

B

∈

=

max

.                               (В.33) 

По  другой  формуле  распределение  возможности  вычисляются  по  соот-

ветствующим  вероятностям.  Пусть 

( )

c

f

B

 и 

( )

c

f

B

′

 -  это  соответственно  воз-

 

209 

   

можность и вероятность состояния 

с

 

(

)

C

c

∈

. 

Тогда 
                                         

( )

( ) ( )

[

]

∑

∈

′

′

=

C

B

B

B

f

c

f

c

f

α

α

,

min

.                          (В.34) 

По  этой  формуле  распределение  возможностей  выражается  через  верх-

ние границы значений вероятностей. 

Предположим  теперь,  что  параметрическое  множество  полностью  упо-

рядочено. В этом случае из одной и той же системы данных можно получить 
множество систем с поведением, отличающихся масками. Если для заданных 
данных они определены достаточно корректно, то они одинаково хорошо от-
вечают  требованию  согласованности.  Точнее,  выражение  «достаточно  кор-
ректно» означает, что функция поведения хорошо согласуется с данными (и, 
возможно, с некоторой дополнительной информацией) с точки зрения маски 
и типа выбранных ограничений. 

Всякая  маска  представляет  собой  некоторое  окно,  через  которое  отби-

раются рассматриваемые данные из матрицы данных (или из массива более 
высокого  порядка).  При  движении  этого  окна  вдоль  всей  матрицы  данных 
частоты состояний соответствующих выборочных переменных определяются 
подсчетом того, как часто наблюдается каждое состояние. 

Число  столбцов  в  маске  называют  глубиной  маски  и  обозначают  ∆М. 

Есть  по  крайней  мере  два  соображения,  по  которым  применение  масок  с 
большой глубиной в общем случае не желательно. Во-первых, если маска ис-
пользуется для порождения данных, то чем больше ее глубина, тем большее 
требуется начальное условие. Это, вообще говоря, не желательно. Во-вторых, 
если  маска  используется  для  выборки  данных,  то  число  неполных  выборок 
равно 2(∆М-1). Это означает, что с ростом глубины маски все меньше имею-
щихся  данных  используется  для  определения  функции  поведения.  Следова-
тельно, с увеличением глубины маски сужается эмпирическая основа, на ко-
торой строится функция поведения. 

Как  выяснено  выше,  любая  система  определяется  таким  образом,  что 

она хорошо согласуется с заданной системой данных и дополнительной ин-
формацией по маске и принятому типу описания ограничений.  Таким обра-
зом,  требование  согласованности  имеет  более  высокий  приоритет,  чем  ос-
тальные  требования.  Теперь  остается  только  применить  условия 3) и 4) 
обычно  называемые  условием  детерминированности  и  условием  простоты, 
для вывода подмножества решений Y

Q

 ограниченного множества Y

r

. 

Несмотря на то, что в формулировках конкретных типов задач возника-

ют и дополнительные требования, условия детерминированности и простоты 
имеют всеобщее значение. Поэтому обычно они не опускаются. Часто снача-
ла  определяется  множество  решений,  удовлетворяющих  этим  условиям  (и, 
разумеется,  условию  согласованности),  а  затем  входящие  в  это  множество 
системы с поведением изучаются исследователем. Он может использовать их 
в  качестве  вспомогательного  представления  базовых  переменных.  Однако, 
если  необходимо  дальнейшее  сокращение  множества  решений,  исследова-
тельпроизводит  их  оценку  и  сравнение  согласно  некоторым  вспомогатель-

 

210 

   

ным критериям. Эти критерии могут определяться как контекстом, так и вку-
сами исследователя. 

 

В.5 Меры нечеткости                                                   

 
Степень недетерминированности должна измеряться обобщенной нечет-

костью, сопутствующей порождению данных. А значит, она должна быть оп-
ределена  через  порождающие  функции  поведения 

GB

f  и 

GB

f€  для  нейтраль-

ных и направленных систем с поведением. Если эти функции представляют 
собой функции распределения вероятностей, то мера обобщенной нечеткости 
хорошо  известна – это  шенноновская  энтропия,  введенная  К.  Шенноном  в 
1948 году. 

Обозначим  через  Р  множество  всех  распределений  вероятностей,  кото-

рые  могут  быть  определены  на  конечных  множествах  альтернативных  (вза-
имно  исключающих)  исходов.  Тогда  вероятностная  мера  нечеткости – это 
функция 

                                                    

[ ]

∞

→ ,

0

: P

H

,                                        

обладающая  некоторыми  свойствами.  Следующие  свойства  являются  необ-
ходимыми свойствами любой содержательной меры нечеткости: 

Н1  симметричность – нечеткость  инвариантна  относительно  переста-

новки вероятностей; 

Н2 расширяемость – нечеткость не меняется при добавлении к рассмат-

риваемому множеству исходов с нулевой вероятностью; 

Н3  квазиаддитивность – нечеткость  совместного  распределения  веро-

ятностей  не  больше  суммы  нечеткостей  соответствующих  безуслов-
ных распределений его компонентов; 

Н4 аддитивность – для распределений вероятностей любых двух неза-

висимых  множеств  исходов  нечеткость  совместного  распределения 
вероятностей  равна  сумме  нечеткостей  отдельных  распределений  ве-
роятностей; 

Н5  непрерывность – нечеткость – это  непрерывная  функция  на  всех 

своих аргументах. 

Известно, что только функции вида 
                                  

( )

(

)

( )

( )

∑

∈

−

=

∈

X

x

b

x

f

x

f

a

X

x

x

f

H

log

|

 

обладают свойствами Н1-Н5; 

                                                

( )

P

X

x

x

f

∈

∈ )

|

(

 

- это распределение вероятностей для определенного конечного множества X 
альтернативных исходов x, где a – произвольная положительная константа, а 
b- произвольное основание логарифмов. Если потребовать выполнения еще и 
нормализующего свойства 

                                              

(

)

1

5

.

0

;

5

.

0

=

H

 

(нечеткость двух равновероятных исходов равна 1), то мера нечеткости опре-
деляется однозначно: