Метасистемный подход в управлении - часть 51

 

203 

   

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
переменной 

4

s

 - это 0, 1, 2, 3, так как уравнение для 

4

s

 берется по модулю 4; 

порождающая переменная 

3

s

 имеет то же множество состояний, что и 

4

s

, так 

как обе эти  переменные определены через одну и ту же переменную пред-
ставляющей системы (то есть 

2

4

3

V

S

S

=

=

).  Первой осмысленной позицией 

5

v

4

v

3

v

2

v

1

v

t = 

1 

2 

3

4

5 

…

а) 

6 

Справочник

 

1 

 1 

 
 

1 

 1 

 

 

 

 

1 

1 

 5 

 

 

1 

 5 

1 

 

 

 

 

 

 

 5 

 

 

 

б)

5

v

4

v

3

v

2

v

1

v

t =

1

2

3

4

5 

6 

Справочник

…

1

1

1

1

1

1

5

1

1

5

5

1

1 

2

0

9

7

5

v

4

v

3

v

2

v

1

v

t = 

1 

2 

3 

4

5

в) 

6 

Справочник

…

1 

1

1 

1 

1 

1

1 

1 

5 

1 

1 

5 

0

9

5 

0 

2 

2

5 

4 

0 

5

v

4

v

3

v

2

v

1

v

t =

1

2

3

4 

5

6

г) 

Справочник

7

1

1

1

0 

1

1 

1

2 

1

1

2

5

0 

1

1

5

5 

0

9

5

0 

0

4 

8

…

4 

4 

9

5

v

4

v

3

v

2

v

1

v

t =

1

2

3

4

5

6

д)

Начальное условие 

7

1 

1

1 

0 

0 

1

0

8

1

0

1

0

0

0 

0 

0 

0

t =

10

11

12

13

14

15

16

17

…

 

1

1 

1 

2 

0

1

0

3

0

0

1

0 

2 

0 

2

1 

1 

2

5 

0 

4 

2

5

0

5

6

5

2

0 

3 

5 

3

1 

1 

0

5 

5 

4 

0

3

7

3

4

3

7

5 

1 

3 

1

 

9

5 

4 

4 

9

2

7

2

3

2

6

4 

0 

2 

0

Рисунок В.3 - Данные, порожденные в порядке возрастания значений пара-

метра t (пример В.1) 

 

204 

   

маски на матрице данных ( позиция  определяется  положением  справочника 
маски) является позиция 

3

=

t

; позиции 

1

=

t

 и 

2

=

t

 смысла не имеют, так как 

состояния некоторых выборочных переменных для этих позиций не опреде-
лены (

ρ

+

t

 не входит в множество 

T

). Начальное  условие состоит из шести 

элементов матрицы данных: 

2

,

1

v

, 

3

,

2

v

, 

1

,

3

v

, 

1

,

4

v

, 

2

,

4

v

. Пусть, например, все эти 

элементы равны 1. Ещё пять элементов матрицы данных - 

1

,

1

v

, 

1

,

2

v

, 

2

,

2

v

, 

1

,

5

v

, 

2

,

5

v

 - не могут быть порождены, а могут быть заданы пользователем, но для 

порождения данных эти переменные не нужны. На рисунке В.3а, б, в, г под-
робно  показано  порождение    состояний  соответственно  для t = 3, 4, 5, 6; 
кружками  обведены  порожденные  состояния.  На  рисунке  В.3д  показано  на-
чальное условие и несколько больший фрагмент порожденной матрицы дан-
ных.  

Если данные порождаются в порядке убывания t (смотри рисунок В.4), 

то порождаемыми переменными являются переменные, представляющие ле-
вый  край  маски,  то  есть  переменные 

1

s

, 

3

s

, 

5

s

, 

8

s

, 

10

s

.  Данные  в  матрице 

данных  порождаются  справа  налево.  Предположим  теперь,  что 

GB

f

 опреде-

ляется уравнениями 

t

t

t

t

t

t

k

s

s

s

s

s

s

,

9

,

7

,

6

,

4

,

2

,

+

+

+

+

=

 (mod k+1) 

при k = 1, 3, 5, 8, 10. Порождение данных при t = 98, 97, 96, 95 подробно по-
казано на рисунке 3.4а, б, в и г. На рисунке В.4д показано начальное условие 
и несколько больший фрагмент порожденной матрицы. 
 

В.3 Методологические отличия 
 
Хотя  функция  выбора  является,  вероятно,  наиболее  подходящим  фор-

мальным  аппаратом  для  задания  ограничений  в  детерминированных  систе-
мах, в которых порождение данных удобно описывать с помощью функции 
(В.16), для работы с недетерминированными системами функции выбора не 
годятся. 

Традиционно  с  недетерминированными  системами  работают  в  теории 

вероятностей. Несмотря на то, что это наиболее развитый и важнейший ма-
тематический инструмент, в настоящее время вероятностная мера рассматри-
вается только как частный случай более общего класса мер, называемого не-
четкими мерами. 

В  нашем  случае  меры  определяются  на  подмножествах  декартового 

произведения С. Отсюда мера определяется функцией 

                                               µ:  Р(С)→[0,1],                                         (В.17) 
где  Р(С) – мощность множества С. Чтобы функция являлась мерой, она 

должна обладать следующими свойствами нечетких мер: 

 

205 

   

( )

( )

( )

0

).

lim(

)

1

(

lim

...,

2

1

...

2

1

)

3

(

);

2

(

)

1

(

,

2

1

2

;

1

)

(

;

0

0

1

→

=

⊇

⊇

⊆

⊆

≤

⊆

=

=

i

Xi

X

то

Х

Х

или

Х

Х

если

Х

Х

то

х

х

если

С

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Требование (µ1) очевидно. Требование (µ2), обычно называемое свойст-

91

t =

99

9

97 

96

9

9

9

9

t = 

9

8

8

8

8

8

8

8

…

t = 

4

v

2

v

4

v

2

v

t = 

5

v

4

v

3

v

2

v

1

v

9

98 

9

9

95 

а) 

9

Справоч-

1 

1 

1 

 

 

 

1 

1 

 

1 

1 

 

 

1 

1 

5 

5 

… 

5 

9

…

5

v

4

v

3

v

2

v

1

v

9

97

9

9

94

б
)

Справоч-

t =

1 

1

1 

1 

 

 

 

1 

5

1

 

1 

1

5

5 

 

1

1

3

0

5

9

9

… 

5

v

4

v

3

v

2

v

1

v

9

9

96

9

94 

в
)

Справоч-

1 

1 

1 

1

1 

1 

 

 

1 

5 

1 

3 

 

1 

1 

0 

5 

5 

9 

1 

3 

3 

6 

4 

9

9

…

5

v

3

v

1

v

9

9

9

94

г)

Справоч-

t =

1 

1

1 

1

1 

1 

1 

3

 

1 

5

1 

3

3

 

1 

1 

0

5

6

5 

4

9 

1

2

4

1

1
0

9

5

v

3

v

1

v

д)

Начальное условие

1 

1

1 

1

0

1

0

1

0

1 

1

1 

1 

1 

0

0 

 

1 

1 

3

1 

2

3

0

1

0

1

1 

1

0 

3 

2 

3

1 

 

1 

5

1 

3

3

4

3

0

3

5 

2

5 

2 

3 

5

5 

 

1 

5

1 

0

6

1

6

3

0

5 

8

8 

2 

6 

8

2 

5 

4

9 

1

4

1

9

8

5

6 

6

9 

0 

7 

4

9 

Рисунок В.4 - Данные, порожденные в порядке убывания значений пара-
метра t (пример В.1) 

95 

 

206 

   

вом монотонности , не допускает, чтобы подмножество другого подмножест-
ва  С  обладало  большей  мерой,  чем  включающее  подмножество.  Согласно 
требованию (µ3), называемому  непрерывностью,  предел  мер  бесконечной  
монотонной последовательности. К дискретным системам, в которых С все-
гда является конечным множеством, требование непрерывности, естественно, 
неприменимо.  

В  литературе  описаны  самые  разные  классы  нечетких  мер,  имеющих 

разные  свойства.  На  рисунке  В.5  приведена  диаграмма,  изображающая  от-
ношение включения для некоторых мер. Так, например, класс вероятностных 
мер входит в класс мер правдоподобия и в класс мер доверия, но не пересе-
кается с классами мер возможности или необходимости. 

Классы  нечетких  мер  рассматриваются  как  методологические  отличия. 

Они используются в порождающих системах и во всех системах более высо-
ких эпистемологических уровней. 

Далее будут рассматриваться только два класса мер. Первый - классиче-

ский и хорошо разработанный класс вероятностных мер, второй – это класс 
возможностных  мер.  Необходимо  отметить,  что  возможные  меры  приложи-
мы только к конечным множествам  и к некоторым частным случаям беско-
нечных  множеств;  в  общем  случае  эти  меры  не  удовлетворяют  требованию 
непрерывности. Таким образом, они наверняка применимы к дискретным, но 
не к непрерывным системам. 

Из теории вероятностей хорошо известно, что любая вероятностная мера 

p, однозначно определяется функцией распределения 

                                            

[ ]

1

,

0

:

→

C

f

B

,                                                (В.18) 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок В.5 – Некоторые классы нечетких мер 

 
которая  должна  удовлетворять  соответствующим  требованиям  согласно 
формуле 

Нечеткие  
меры 

Меры                       
доверия 
(убежденности) 

   
            Меры 
      необходимости 

 
 
 
 

Вероятностные                        Меры прав-    
           меры                             доподобия 

Возможно- 
стные меры 

Четкая воз-

можность

Четкая необ-

ходимость 

(уверенность)