Метасистемный подход в управлении - часть 50

 

199 

   

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
носительно  рассматриваемого  значения t) состояние  переменной 

2

v

,  а  пере-

менные 

5

s

 и 

4

s

 будут представлять, например, прошлые состояния перемен-

ной 

3

v

. 

 

Любая  маска  представляет  определенную  точку  зрения,  в  соот-

ветствии  с  которой  представляются  ограничения  на  базовые  переменные. 
Самый простой способ задания определенной маски – это перечисление всех 
полных состояний соответствующих выборочных переменных. В общем виде 
подобный  перечень  является  подмножеством  декартова  произведения  С,  то 
есть  многомерным  отношением,  определенным  на  С.  Это  отношение 
определяется функцией 

{ }

1

,

0

:

→

C

f

B

,    

 

 

 

 (В.9) 

такой, что 

1

)

(

=

c

f

B

, если состояние 

c

 входит в перечень, и 

0

)

(

=

c

f

B

 в про-

тивном случае. Таким образом. функция 

B

f

 - это типичная функция выбора. 

=

=

5

,

4

7

,

8

ϑ

s

в) 

1

v

2

v

3

v

4

v

5

v

1 

2 

3

4

5

6

8

9

… 

t = 

0 

0 

1

2

2

0

1

1

3 

2 

2

1

2

3

3

2

0

0 

0 

0

1

1

1

0

0

0

0 

0 

1

2

3

0

0

1

2

2 

2 

2

0

1

2

2

2

1

Матрица данных d

Справочник

7

в)

Рисунок В.2 - Пояснение понятия маски для полностью упорядоченных парамет-

рических множеств 

2

1

Справочник 

Маска  

k

0

5

4

3

2

1

−

1

=

i

2

−

=

ρ

2 

1

3 

4 

8

9 

10 

5

7 

6

б)

=

=

8

,

2

7

,

4

v

s

=

=

7

,

4

7

,

10

v

s

=

=

6

,

3

7

,

6

v

s

=

=

7

,

1

7

,

2

v

s

=

=

6

,

1

7

,

1

v

s

2 

0 
3 
2 

3 

0 

1 

1 

0 

2 

Состояние d 
для М при t=7 

=

=

7

,

2

7

,

3

v

s

=

=

5

,

3

7

,

5

v

s

=

=

7

,

3

7

,

7

v

s

=

=

7

,

3

7

,

8

v

s

=

=

7

,

4

7

,

9

v

s

а) 

 

200 

   

Она  выбирает  состояния  выборочных  переменных  из  множества  всех 
потенциальных состояний (из декартова произведения С). Так как подобный 
выбор  дает  по  крайней  мере  некоторые  сведения  о  поведении  этих 
переменных,  функцию 

B

f

 обычно  называют 

функцией  поведения (behavior). 

Функция,  определяемая  уравнением  (В3),  задает  только  один  из 
существующих 

типов 

функций 

поведения, 

разными 

способами 

описывающих  ограничения  на  переменные.  В  следующем  разделе  вводятся 
разные функции поведения, которые рассматриваются как методологические 
отличия. В этом разделе мы ограничимся выбирающей функцией поведения, 
определяемой (В1). 

Обратите  внимание  на  то,  что  функция 

B

f

 определяет  реально  встре-

чающиеся  состояния 

c

,  но  не  определяет  значение  параметра,  при  котором 

они имеют место. Таким образом, эта функция является параметрически ин-
вариантной. Обратите также внимание на область определения 

B

f

. Она оди-

накова для всех типов функций поведения и определяется через маску, кото-
рая, в свою очередь, определяется через переменные и параметры представ-
ляющей  системы.  Отсюда  следует,  что  некоторая  система,  скажем  система 

B

F

, характеризующая параметрически инвариантное ограничение на множе-

ство переменных через функции поведения, определяется тройкой 

                                              

)

,

,

(

B

B

f

M

I

F

=

,  

 

 

 

(В.10) 

где I – обобщенная  представляющая  система;  М-  маски,  определенная  на I; 

B

f

 - функция поведения, определенная через М и I. Будем такую систему на-

зывать 

системой с поведением

. 

 

Несмотря на то, что любая система с поведением, определяемая (В.10), 

неким  конкретным  параметрически  инвариантно  описывает  ограничения  на 
переменные  представляющей  системы,  она  не  содержит  описания  того,  как 
использовать это ограничение для порождения данных. Для разработки тако-
го описания нужно разбить выборочные переменные на два подмножества: 

1)  переменные, состояния которых порождаются из ограничения; назо-

вем их 

порождаемыми переменными;

 

2)  переменные,  состояния  которых  используются  как  условия  в  про-

цессе генерации, назовем их 

порождающими переменными.

 

Для  заданной  системы  с  поведением  одним  из  способов  определения 

порожденных и порождающих переменных является определение для данной 
маски 

M

двух подмасок  

g

M

 и 

g

M

. Будем 

                                                  

)

,

,

(

g

g

G

M

M

M

M

=

,                                      (В.11) 

где 

M

M

M

g

g

⊂

,

,   

M

M

M

g

g

=

∪

,  

0

/

=

∩

g

g

M

M

, 

называть 

маской порождения

, то есть эта маска 

M

 и её разбиение на порож-

даемую подмаску 

g

M

. 

 

По аналогии с разбиением 

M

на 

g

M

 и 

g

M

 множество 

M

M

 идентифи-

каторов k выборочных  переменных  можно  разбить  на  два  подмножества, 
скажем 

g

K

 и 

g

K

,  представляющих  идентификаторы  соответственно  порож-

 

201 

   

даемых  и  порождающих  переменных.  Для  удобства  обозначений  кодирую-
щая функция (В.6) может быть заменена двумя функциями 
                                                                 

g

g

g

K

M

→

:

λ

,                                (В.12) 

                                                                 

g

g

g

K

M

→

:

λ

, 

с помощью которых множества состояний 

G

 и 

G

 соответственно порождае-

мых и порождающих переменных задаются декартовыми произведениями 

                    

k

K

k

S

G

g

∈

×

=

, 

                                           

k

K

k

S

G

g

∈

×

=

.  

 

 

 

          (В.13) 

Теперь  способ  представления  состояния  порождаемых  переменных  (скажем 

G

g

∈

),  определяемого  по  состоянию  порождающих  переменных  (скажем, 

G

g

∈

~

), можно выразить функцией 

                                         

{ }

1

,

0

:

→

× G

G

f

GB

,                                         (В.14) 

где 

(

)

g

g

f

GB

,

= 

 
Назовем эту функцию 

порождающей функцией поведения. 

 

Если маску 

M

и функцию 

B

f

 из (В.2) заменить соответственно на 

G

M

 

и 

GB

f

, то получится альтернативная система 

                                

)

,

(

,

GB

f

G

GB

M

I

F

=

.                                                    (В.15) 

Будем называть такую систему 

порождающей системой с поведением

. 

 

Использование  использующей  системы  с  поведением  для  порождения 

данных включает следующие два этапа: 
 

а)  для  некоторого  значения 

T

t

∈

 задано  состояния 

G

g

~

~

∈

;  для  опреде-

ления состояния 

G

g

∈

 при том же значении используется функция 

GB

f

; 

 

б) значение 

t

 заменяется на новое и повторяется этап а). 

 

Необходимо  прояснить  несколько  вопросов,  связанных  с  двухэтапной  

процедурой порождения. Во-первых, на этапе а) неявно предполагается, что 
при  заданном  значении 

t

 состояние 

g

известно.  При  первом  выполнении 

этого этапа данное состояние определяется пользователем как походящее 

на-

чальное условие.

 Однако после этого все полностью определяется самим про-

цессом  порождения,  то  есть  состояниями 

g

 и 

g

,  связанными  с  предшест-

вующим  значением 

t

.  При  этом  предполагается,  что  значения 

t

 должны  на 

этапе (б) изменяться в соответствии с порядком, заданным на множестве 

T

. 

Таким  образом,  значения 

t

 заменяются  или  на 

1

+

t

,  или  на 

1

−

t

.  В  первом 

варианте начальное условие должно быть определено для наименьшего воз-
можного значения 

t

, а во-втором – наибольшего возможного значения 

t

. 

 

Во-вторых из необходимости порождения данных в одном из двух по-

рядков следует, что существует только два содержательных разбиения маски 
на 

M

 на 

g

M

 и 

g

M

, каждое из которых соответствует одному из двух поряд-

ков  порождения.  Если  данные  порождаются  в  порядке  возрастания  (убыва-

0, если 

g

не может иметь место или если имеет место 

g

 

1, если 

g

может иметь место или если имеет место 

g

 

 

202 

   

ния) 

t

,  то 

g

M

 содержит  ровно  по  одному  элементу  каждой  подмаски 

i

M

 

)

(

n

N

i

∈

,  определенной  в  (В0),  элемент  с  наибольшим  (наименьшим)  значе-

нием 

ρ

;  остальные  элементы 

M

 входят  в 

g

M

.  Таким  образом,  графически 

получается,  что 

g

M

 -  это  множество  самых  правых  элементов 

M

(правый 

край  этой  маски)  или,  наоборот,  множество  самых  левых  элементов 

M

 (ле-

вый край маски). 
 

В-третьих, предполагается, что для любого состояния 

G

g

∈

 имеется по 

крайней  мере  одно  состояние 

G

g

∈

,  допустимое  функцией 

GB

f

 [то  есть 

)

,

(

g

g

f

GB

−

=1].  Если  допускается  только  одно  состояние,  то  для  любого  на-

чального  условия  данные  порождаются  однозначно:  такие  системы  называ-
ются 

детерминированными

. Если допускается более чем одно состояние, то 

порождение данных проблематично, так как порождаемое состояние не все-
гда однозначно определено. Для таких систем выбирающие функции поведе-
ния не подходят. Более содержательно они описываются функциями поведе-
ния  других  типов,  рассматриваемых  далее.  Для  детерминированных  систем 
представление (В4) порождающей функции поведения 

GB

f

 может быть заме-

нено более простым  

                                                

.

:

G

G

f

GB

→

                                          (В.16) 

Пример В.1 Для пояснения процесса порождения данных порождающей 

системой  с  поведением  типа,  определяемого  уравнением  (В.15),  положим, 
что  подобная  система  состоит  из  упорядоченного  параметрического  множе-
ства 

99

N

T

=

 и пяти переменных 

5

1

,...,

v

v

, состояния которых будут определе-

ны ниже. Воспользуемся маской, заданной на рисунке В.2. Данные могут по-
рождаться  или  в  порядке  возрастания,  или  в  порядке  убывания  значений 
параметра 

t

.  Оба  эти  варианта  показаны  соответственно  на  рисунках  В.4  и 

В.5.  В первом случае (рисунок В.3) порождаемые выборочные переменные 
– это переменные, соответствующие правому краю маски, то есть 

2

s

, 

4

s

, 

7

s

, 

9

s

, 

10

s

;  остальные  выборочные  переменные  являются  порождающими.  По-

рождение данных в матрице данных происходит слева направо. Пусть поро-
ждающая функция поведения 

GB

f

, представленная в виде (В.16), определяет-

ся уравнениями 

t

t

t

t

t

t

k

s

s

s

s

s

s

,

8

,

6

,

5

,

3

,

1

,

+

+

+

+

=

 (mod k) 

при k=2, 4, 7, 9, 10. Множества состояний порождаемых переменных опреде-
ляются этими уравнениями, а множества состояний порождающих перемен-
ных – их положением в маске. Например, множество состояний порождаемой