Метасистемный подход в управлении - часть 53

 

211 

   

                                

( )

(

)

( )

( )

( )

∑

∈

−

=

=

∈

X

x

x

f

x

f

x

H

X

x

x

f

H

2

log

|

.                  (В.37) 

Обычно функцию (В.37) называют шенноновской энтропией. Она изме-

ряет нечеткость в единицах, называемых битами. 

Рассмотрим теперь порождающую нечеткость в системах, описываемых 

с помощью функций распределения возможностей. Пусть П – это множество 
всех распределений возможностей, имеющих по крайней мере одно ненуле-
вое значение, которые можно определить на конечных множествах альтерна-
тивных  исходов.  Тогда  возможностная  мера  нечеткости  представляет  собой 
функцию 

                                               

[ ]

∞

→ ,

0

: П

U

,                                        (В.48) 

обладающую  определенными  свойствами.  Прежде  чем  рассматривать  эти 
свойства, нужно сначала ввести некоторые понятия, связанные с распределе-
ниями возможностей. 

1 Распределение возможностей 
                                            

(

)

П

N

i

f

X

∈

∈

=

|

|

|

ϕ

,                                     (В.51) 

определенное на конечном  множестве X альтернативных исходов x на-

зывается  нормализованным  распределением  возможностей  тогда  и  только 
тогда, когда 

                                                   

1

max

=

i

i

ϕ

;                                          (В.52) 

понятно,  что 

)

(x

f

i

=

ϕ

 для  некоторого  взаимнооднозначного  соответствия 

между N

|X|

 и X. 

2  Пусть  для  любого  распределения  возможностей f, например  для  рас-

пределения, определенного в (49), и для любого действительного 

[ ]

1

,

0

∈

l

 

                                                

[ ]

( )

N

P

П

c

→

× 1

,

0

:

                                  (В.53) 

такая функция, что 
                                                   

( )

}

|

{

,

l

N

i

l

f

c

i

X

≥

∈

=

ϕ

.                              (В.54) 

Эта функция называется функцией l-уровня, а множество 

( )

l

f

c , - множеством 

l- уровня от f. 

3 Для заданного распределения возможностей (49) назовем 
    

                       (В.55) 

уровневым множеством для f. Обозначим через 
                                                   

}

,...,

,

{

2

1

q

f

l

l

l

L

=

           

уровневое  множество  для f, где  l

1

=0, 

f

L

q

=

,  причем  из 

j

i

< следует,  что 

j

i

l

l

< . Пусть для удобства 

                                                       

i

i

f

l

ϕ

max

=

.                                                    

Понятно, что 

f

q

f

L

l

l

∈

=

. Кроме того, 1

=

f

l

 тогда и только тогда, когда f яв-

ляется нормализованным распределением возможностей. 

4 Для любого 

N

m

∈  пусть 

(

)

}

0

)

(

|

{

=

=

∈

=

l

или

l

N

Ei

l

L

i

X

f

ϕ

 

212 

   

                                          

(

)

П

N

i

f

m

i

∈

∈

=

|

1

1

ϕ

, 

                                           

(

)

П

N

i

f

m

i

∈

∈

=

|

2

2

ϕ

, 

два  распределения  возможностей.  Тогда  f

1

 называется  субраспределением 

f

2

тогда и только тогда, когда для любого 

m

N

i

∈

 

                                       

i

i

i

i

ϕ

ϕ

2

1

max

max

=

   и  

i

i

ϕ

ϕ

2

1

≤

. 

Пусть 

f

f

2

1

≤ означает,  что  f

1

 является  субраспределением  f

2

.  Понятно,  что 

отношение « f

1

 субраспределение  f

2

» представляет собой частичное упоря-

дочение, определенное на любом множестве распределений возможностей с 
числом элементов, равным m. Обозначим это множество  П

m

. Далее ( П

m

, 

≤ ) 

–  это  решетка  с  объединением  и  пересечением,  определяемыми  соответст-
венно как  
                                            f

1

∨

f

2

[

]

(

)

m

i

i

N

i

∈

=

|

,

max

2

1

ϕ

ϕ

, 

                                            f

1

∨

f

2

[

]

(

)

m

i

i

N

i

∈

=

|

,

min

2

1

ϕ

ϕ

 

для любых  f

1

, f

2

П

m

∈

. 

Теперь, располагая определенными понятиями, связанными с рапсреде-

лениями возможностей, можно вернуться к обсуждению главного вопроса – о 
мере возможностной нечеткости. Хотелось бы, чтобы возможностные анало-
ги свойств Н1 – Н5, которыми обладает  шенноновская  энтропия, также вы-
полнялись бы и для возможностной меры нечеткости. Возможностные анало-
ги  этих  свойств  можно  сформулировать  точно  так  же,  как  Н1-Н5,  за  тем 
только исключением, что слово «вероятность» нужно везде изменить на сло-
во «возможность». Функция вида (48), удовлетворяющая этим свойствам, из-
вестна. Ее можно представить в виде 

                                      

( )

(

)

∑

−

=

+

+

−

=

1

1

1

1

,

log

)

(

1

q

k

k

k

k

f

l

f

c

l

l

l

f

U

,                  (В.56) 

или в более простом виде 

                                                       

( )

( )

∫

=

f

l

f

dl

l

f

c

l

f

U

0

2

,

log

1

.                         (В.57) 

Эта  функция  называется  U – нечеткостью.  Помимо  возможностных 

аналогов  свойств  Н1-Н2,  U – нечеткость  обладает  некоторыми  другими  по-
лезными  свойствами.  Важнейшим  из  них  является  монотонность:  для  лю-
бых 

(

)

N

m

П

f

f

m

∈

∈

2

1

,

, если 

f

f

2

1

≤ , то 

( ) ( )

f

U

f

U

2

1

≤

. 

 

В.6 Поиск подходящих систем с поведением 

 
Располагая  теперь  мерами  нечеткости,  через  которые  выражается  сте-

пень детерминированности, вернемся в данном разделе к типу задач, введен-
ному в разделе 6.4; дана система данных 

D

 с полностью упорядоченным па-

раметрическим множеством и с наибольшей допустимой маской 

М

, совмес-

 

213 

   

тимой с 

D

; требуется определить все системы с поведением, удовлетворяю-

щие  требованиям  согласованности,  детерминированности  и  простоты,  при-
чем требование согласованности более приоритетно, чем остальные два. 

Любая  наибольшая  допустимая  маска 

М

  содержит  набор  корректных 

масок,  каждая  из  которых  является  подмножеством 

М

.  Для  каждой  маски 

может  быть  определена  функция  поведения  (определенного  выбранного  ти-
па),  хорошо  согласующаяся  с  данными,  с  помощью  разреженной  выборки 
данных. Однако на практике достаточно провести выборку только для маски 

М

. Функции поведения для ее подмасок могут быть получены вычислением 

подходящих проекций функции поведения соответствующей маске 

М

. 

Для заданной функции f

B

, определенной через полные состояния неких 

выборочных  переменных,  любая  из  ее  проекций  также  является  функцией 
поведения, соответствующей f

B 

в смысле субсостояний, основанных на опре-

деленном подмножестве выборочных переменных. Пусть 

)

(

M

k

N

k

s

∈

- выбо-

рочные  переменные,  через  которые  определяются  состояния  f

B

; 

М

 – маска, 

через  которую  выбираются  значения  выборочных  переменных.  Пусть 

[

]

Z

f

B

↓

-  проекция  f

B

,  где  подмножество  множества  N

|M|

  идентификаторов 

выборочных переменных, то есть 

N

Z

⊂ . Тогда 

                                        

[ ]

1

,

0

:

]

[

→

×

↓

∈

k

Z

k

B

S

Z

f

,                                    (В.67) 

так что 
                                            

[

]

( )

( )

})

|

({

x

c

c

f

a

x

Z

f

B

f

=

↓

,                              (В.68) 

где а – некая агрегирующая функция, определяемая характером функции f

B

. 

Например, 
                                                  

[

]

( )

( )

∑

=

↓

x

c

B

B

c

f

x

Z

f

f

,                                    (В.69) 

где f

B

 – распределение вероятностей; соответственно для распределения воз-

можностей, 
                                                  

[

]

( )

( )

x

c

B

B

c

f

x

Z

f

f

max

=

↓

.                                  (В.70) 

Будем в контексте любой конкретной задачи через 

B

f

1

 обозначать функ-

цию  поведения  для  наибольшей  приемлемой  маски 

М

.  Через

(

)

,...

3

,

2

=

i

f

B

i

, 

будем обозначать функции поведениядля ее различных осмысленных подма-
сок  M

i

,  каждая  из  которых  связана  с  множеством 

M

i

N

Z

⊂

 идентификато-

ров выборочныз переменных. 

За  исключением  очень  небольших  наборов  данных,  с  точки  зрения  вы-

числений  проще  определять  функции  поведения  с  помощью  проекций,  а  не 
через выборки данных. Чем больше объем данных, тем больше вычислитель-
ного времени экономится. Таким образом, лучше производить выборку толь-
ко однажды для наибольшей приемлемой маски, а затем определять функции 
поведения  для  всех  содержательных  подмасок  как  соответствующие  проек-
ции. 

Пример  В.4  Определим  проекцию  вероятностной  функции  поведения, 

 

214 

   

приведенной в таблице В.1 и возможностной функции поведения, приведен-
ной в таблице В.2 для Z ={1,2}. 

 
Таблица В.1 

 

S

1 

S

2 

S

3 

S

4 

f(c) 

0 0 0 0 0.2 
0 0 0 1 0.2 
0 0 1 0 0.1 
0 1 0 1 0.1 
1 0 0 0 0.1 
1 0 1 0 0.1 
1 1 0 1 0.1 

С= 

1 1 1 0 0.1 

 
Таблица В.2 

 

S

1 

S

2 

S

3 

f(c) 

0 0 0 1.0 
0 0 1 

0.25 

0 1 1 

0.25 

1 0 0 0.5 

С= 

1 1 1 0.5 

 
Применив формулу (В.58) для вероятностной функции, получим: 
 

 

S

1 

S

2 

[f↓{1,2}](x) 

0 0 

0.5(=0.2+0.2+1) 

0 1 

0.1 

1 0 

0.2(=0.1+0.1) 

x= 

1 1 

0.2(=0/1+0/1) 

 
Для возможностной функции по формуле (В.59) имеем 
 

 

S

1 

S

2 

[f↓{1,2}](x) 

0 0 

1.0 

0 1 

0.25 

1 0 

0.5 

x= 

1 1 

0.5 

 
Для  заданной  системы  данных 

D

  и  наибольшей  допустимой  маски 

М 

требование соответствия приводит к ограниченному множеству 

                    

(

)

)}

,

(

,...,

2

,

1

|

,

,

{

M

n

N

i

f

M

I

F

Y

i

i

B

i

r

∆

=

=

=

, 

содержащему по одной системе с поведением для каждой осмысленной мас-
ки 

M

M

i

⊆

;  пусть  для  удобства 

M

M

=

1

.  Следующим  шагом  решения  рас-