Метасистемный подход в управлении - часть 44

 

175 

   

множества  на  два  непустых  подмножества,  например 

X

 и 

X

V

Y

i

−

=

,  такое, 

что  или  никакой  элемент 

X

 не  является  предшественником  (согласно  час-

тично упорядочению, определенному на 

i

V

) никакого элемента из 

Y

 и некий 

элемент 

Y

 является  предшественником  какого-либо  элемента 

X

,  или  ника-

кой элемент из 

X

 не является преемником никакого элемента из 

Y

 и некото-

рый  элемент 

Y

 является  преемником  некоторого  элемента 

X

. 

Непрерывное 

частичное  упорядочение 

i

V

 определяется  как  частичное  упорядочение,  для 

которого любой разрез 

 

X

, 

Y

множества 

i

V

 характеризуется неким элементом 

из 

X

,  являющимся  предшественником  элемента  из 

Y

,  такого,  что  или  наи-

большая верхняя граница 

X

 принадлежит 

Y

, или наименьшая нижняя грани-

ца 

Y

 принадлежит 

X

. 

 

Наилучшим примером непрерывного частичного упорядочения являет-

ся отношение «меньше или равно», определенное на множестве действитель-
ных чисел или на его декартовых произведениях. Фактически само понятие 
непрерывной переменной (или непрерывного параметра) опирается на требо-
вание,  чтобы  соответствующее  множество  состояний  (или  параметрическое 
множество) было изоморфно множеству действительных чисел. 
 

Из этого следует, что множество состояний любой непрерывной пере-

менной или параметрическое множество любого параметра бесконечно и не-
счетно.  Тем  самым  альтернативой  непрерывным  переменным  и  параметрам 
являются переменные и параметры, заданные на конечных множествах или, 
возможно.  На  бесконечных  счетных  множествах.  Последние  называются 
дискретными переменными или параметрами. 
 

Непрерывные  переменные  и  параметры  представляются  действитель-

ными числами, а их дискретные аналоги удобно представлять целыми числа-
ми. Это особенно существенно, если множество состояний или параметриче-
ское  множество  значений  дискретной  переменной  или  параметра  линейно 
упорядочено  и,  следовательно,  изоморфно  соответствующим  множествам 
значений целых чисел. Для работы с некоторыми переменными и параметра-
ми могут быть использованы метрическое расстояние, определяемое естест-
венным  образом  как  абсолютное  значение  разницы  между  целыми,  а  также 
целая арифметика. 
 

Для нас такие свойства. Как упорядоченность, метрическое расстояние 

и  непрерывность  множеств  состояний  и  параметрических  множеств,  пред-
ставляют основу для определения наиболее существенных методологических 
отличий на уровне переменных и параметров. Приведем список перенумеро-
ванных альтернатив для этих свойств: 
 

 

Упорядоченность: 

 

 0 – упорядоченности нет 

 

 

 

 

 

 

 

 1 – частичная упорядоченность 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 – линейная упорядоченность 

 

 

Расстояние:     

0 

– 

не определено 

 

 

 

 

 

 

 

 1 – определено 

 

 

Непрерывность: 

   

0 

– 

дискретно 

1  – непрерывно  

 

176 

   

Статус  любой  переменной  (или  параметра)  для  этих  трех  свойств  мо-

жет  быть  однозначно  охарактеризован  триплетом - упорядоченность,  рас-
стояние,  непрерывность,  в  котором  каждое  свойство  представляется  его  оп-
ределенным  значением  (или  его  идентификатором).  Так,  например,  триплет 
(2, 1, 0) описывает дискретную переменную с линейно упорядоченным мно-
жеством состояний, на котором определено метрическое расстояние. 

Хотя  данные  три  свойства  в  принципе  определяют 12 возможных  ком-

бинаций, три из них (0, 0, 1), (0, 1, 0) и (0, 1, 1) смысла не имеют. В самом де-
ле, если на множестве не определена упорядоченность, то на нем нельзя ни 
содержательно определить метрическое расстояние, ни рассматривать его как 
непрерывное. Таким образом, имеется девять осмысленных комбинаций. Бу-
дем называть эти комбинации методологическими типами переменных и па-
раметров.  Они  могут  быть  частично  упорядочены  с  помощью  отношения 
«быть  методологически  более  определенным  чем».  На  рисунке  Б.2(а)  это 
частичное  упорядочение,  образующее  решетку,  представлено  в  виде  диа-
граммы  Хассе.  Упрощенная  решетка  на  рисунке  Б.2(б)  задает  схему  для 
свойств упорядоченности и расстояния, но без непрерывности. 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                       а)                                                          б) 

Рисунок  Б.2 - Решетки  методологических  типов  переменных  или  пара-

метров 

На  уровне  переменных  и  параметров  методологическое  отличие  одной 

переменной представляет собой сочетание методологических типов этой пе-
ременной и соответствующих баз. Каждая из них имеет девять типов. Следо-
вательно, если  есть только  одна база или требуется,  чтобы все базы, входя-
щие  в  комбинацию,  имели  один  методологический  тип  (наиболее  часто 
встречающийся случай), то число методологических отличий будет равно 81 
(так  как  методологические  типы  переменных  и  параметров  не  накладывают 
ограничений друг на друга). Если к тому же в нашей схеме будут учитывать-
ся только дискретные переменные и параметры, методологические типы ко-
торых приведены на рисунке Б.2(б), то число методологических отличий со-
кратится до 25.  Решетка методологических отличий для этого случая приве-
дена в таблице Б.1. 

200 

201 

211 

210 

110

101 

100 

000

20 

11 

21 

10 

00 

 

177 

   

Теперь предположим, что имеется два или более, например m, парамет-

ров. Они могут быть одного, двух, трех (независимо от порядка) и так далее.  

 

Таблица Б.1- Решетка методологических отличий для дискретных перемен-

ных и параметров 

Методологическое отли-

чие 

Непосредственные предшественники в решетке 

00/00 10/00 

00/10 

00/10 

10/10 00/20 00/11 

00/20 

10/20  00/21 

00/11 10/11 

0/21 

00/21 10/21 
10/00 

20/00 11/00 10/10 

10/10 

20/10 11/10 10/20 10/11 

10/20 

20/20 11/20 10/21 

10/11 

20/11 11/11 10/21 

10/21 20/21 

11/21 

20/00 21/00 

20/10 

20/10 

21/10 20/20 20/11 

20/20 21/20 

20/21 

20/11 21/11 

20/21 

20/21 21/21 
11/00 11/10 

21/00 

11/10 

11/20 11/11 21/10 

11/20 11/21 

21/20 

11/11 11/21 

21/11 

11/21 21/21 
21/00 21/10 
21/10 

21/20 21/11  

21/10 21/21 
21/11 21/21 
21/21 none 

 
Предположим, что m ≤ 9 (это довольно разумное предположение), тогда об-
щее число методологических типов полного параметра определяется суммой 
                                                               













+













+













m

9

...

2

9

1

9

.                                 (Б.6) 

типов. 

При  сочетании  этой  суммы  с  девятью  методологическими  типами  пе-

ременных  мы  получим  общее  число  возможных  методологических  отличий 
одной переменной и ее параметра, это число определяется формулой 

                                                            

∑

=













×

m

i

i

1

9

9

.                                               (Б.7) 

 

178 

   

Б.4 Представляющие и исходные системы 
 
Свойства, конкретные и общие переменные, а также базы, конкретные и 

общие  параметры  являются  компонентами  соответственно  трех  примитив-
ных систем – системы объекта, конкретной представляющей (image) системы 
и  общей  представляющей  системы,  которые  вместе  с  отношениями  между 
ними образуют исходную систему. Одна из этих трех систем введена в раз-
деле Б.1 и формально определяется уравнением (Б.1). Оставшиеся  две при-
митивные  системы  имеют  тот  же  вид,  что  и  система  объекта,  но  их  компо-
нентами являются переменные и параметры, а не свойства и базы. 
 

Пусть İ и I – это, соответственно конкретная и общая представляющая 

системы. Тогда 
                                                  

{( )

}

,

|

,

n

i

i

N

i

V

I

∈

=

&

&

&

ϑ

(

)

})

{

m

j

j

N

W

∈

|

, &

&

ϖ

,                      (Б.8) 

                                                  

(

)

{

}

(

n

i

i

N

i

V

I

∈

=

|

,

ϑ

,

(

)

})

{

m

i

i

N

j

W

∈

|

,

ϖ

,                 (Б.9) 

где соответствующие символы имеют тот же смысл, что и в разделе Б.2. 
 

Теперь нужно определить отношения между тремя примитивными сис-

темами O, İ, I. Для  упрощения  нотации  условимся,  что  для  любых 

n

N

i

∈

 и 

m

M

j

∈

 свойство 

i

a

 соответствует  переменным 

i

i

ϑ

ϑ

,

&

,  а  база 

j

b  -  парамет-

рам

j

j

ϖ

ϖ

,

&

. 

 

Отношение  между  системой  объекта  и  конкретной  представляющей 

системой задается в виде полного канала наблюдения, состоящего из отдель-
ных каналов наблюдения, по одному для каждого свойства или базы из сис-
темы объекта. Обозначим через 

Q

 

четкий полный канал наблюдения. Тогда 

                                            

(

)

{(

,

|

,

,

n

i

i

i

N

i

o

V

A

Q

∈

=

&

i

о                                   (Б.10) 

определяется  уравнением  (Б.2)  и  должны    быть 

гомоморфны    относительно 

свойств 

i

A

 и 

}

i

V

&

,

(

)

{

m

j

j

j

N

j

W

B

∈

|

,

,

ϖ

&

, 

i

ϖ

 определяются  уравнением  (Б.3)  и 

должны быть 

гомоморфны относительно свойств 

j

B

 и 

})

j

W

, где все символы 

имеют тот же смысл, что и в разделе Б.2. 

Нечеткий полный канал наблюдения, скажем Q

~

, можно получить, заме-

нив 

i

o~  из  (Б.10)  на 

i

o~ ,  определенное  совместно  со  степенью  достоверности. 

Функции 

j

ϖ

 также  можно  было  бы  заменить  на  функции 

j

ϖ

~

,  также  опреде-

ленные с некоторой степенью достоверности. 
 

Отношение  между  конкретной  и  общей  представляющими  системами 

задаются набором отображений конкретизации (абстрагирования, по одному 
для  каждой    переменной  и  параметра  из  этих  систем).  Будем  называть  этот 
набор 

каналом конкретизации / абстрагирования и обозначать его 

E

. Тогда 

{(

)

n

i

i

i

N

i

e

V

V

E

∈

=

|

,

,

&

, 

i

e  определяют  переход  от  обобщенных  переменных  к 

конкретным  и  должны  быть 

изоморфны  относительно  свойств 

i

V

&

 и 

}

i

V , 

(

)

{

m

j

j

j

N

j

W

W

∈

|

,

,

ε

&

,  

j

ε

 определяют  переход  от  обобщенных  параметров  к 

конкретным и должны быть изоморфны относительно свойств 

j

W&

, 

})

j

W

.