Метасистемный подход в управлении - часть 43

 

171 

   

ние слова в тексте. 

Если смысл свойств и баз и их взаимоотношения поняты правильно, то 

ясно, как формально определить систему, заданную на объекте, иначе систе-
му объекта. Она представляет собой множество  свойств,  с каждым  из кото-
рых связано множество его проявлений, и множество баз, с каждой из кото-
рых связано множество ее элементов. 

Формально система объекта – это 
                                   

(

)

{

}

{

}

(

)

m

j

j

n

i

i

N

j

B

b

N

i

A

a

О

∈

∈

=

|

,

,

|

,

,                           (Б.1) 

где 

{

}

,

,...,

2

,

1

n

N

n

=

 а 

{

}

m

N

m

,...,

2

,

1

=

; 

a

i

  и 

A

i

 - соответственно свойство и множе-

ство его проявлений;  

b

j

 и B

j

  - база и множество ее элементов; 

О – система 

объекта. 

Необходимо понимать, что система объекта может приобрести содержа-

ние только благодаря заданию конкретных процедур наблюдения  или изме-
рения,  с  помощью  которых  создаются  образы  свойств.  Таким  образом,  сис-
тема объекта должна рассматриваться как компонент большей системы; рас-
сматривать систему объекта саму по себе практически бесполезно. 

 
Б.2 Переменные и параметры 
 
Переменной здесь называется операционное представление свойства, то 

есть образ свойства, определяемый конкретной процедурой наблюдения или 
измерения.  Каждая  переменная  имеет  определенное  имя  (метку),  отличаю-
щее ее от других, и связывается с определенным множеством величин, через 
которые  она  себя  проявляет.  Эти  величины  обычно  называют 

состояниями 

(или значениями) переменной, а все множество – 

множеством состояний. 

Аналогично 

параметром называется операционное представление базы. 

Каждый параметр имеет уникальное имя, и с ним связывается некое множе-
ство. Оно называется 

параметрическим множеством, а его элементы – зна-

чениями параметра. 

На отдельных множествах состояний или параметрических множествах 

могут  быть  определены  некоторые  математические  отношения,  например, 
отношения порядка или расстояние. Они отражают фундаментальные харак-
теристики свойств и баз в той степени, в какой они присущи соответствую-
щим измерительным процедурам. Различия в подобных свойствах среди пе-
ременных  или  параметров,  которые  имеют  существенное  методологическое 
значение, называют методологическими отличиями. 

В  дополнение  к  конкретным  переменным  и  параметрам,  представляю-

щим соответственно определенный признак или базу, рассматриваются так-
же 

обобщенные переменные и параметры. 

Обобщенной переменной дается интерпретация, когда множество ее со-

стояний отображается изоморфно (то есть отображается один в один с сохра-
нением  всех  существенных  математических  отношений,  определенных  на 
нем) в элементы множества состояний конкретной переменной; то же отно-
сится к обобщенным и конкретным параметрам и их параметрическим мно-

 

172 

   

жествам.  Отображение  такого  рода  называют 

конкретизацией  обобщенной 

переменной (или обобщенного параметра), а обратное отображение – 

абст-

рагированием конкретной переменной (или конкретного параметра). 

Для формализации понятий обобщенных координат и конкретных пере-

менных  и  их  параметров  введем  следующие  обозначения: ,

,

i

i

V

v

V

i

  –

соответственно обобщенная переменная, ее множество состояний и множест-
во математических свойств, определенных на 

i

v . Обозначим через 

,

,

i

i

V

v

&

&

V

’

i

 те 

же характеристики конкретной переменной, являющиеся конкретизацией пе-
ременной 

i

v .  Обозначим  через 

,

,

j

j

W

w

W

j

  соответственно  обобщенный  пара-

метр, его множество состояний и множество математических свойств, опре-
деленных  на  параметре 

,

j

w а  через 

j

j

W

w

&

& ,

,W

’

j

 - те  же  характеристики  кон-

кретного параметра, полученные конкретизацией параметра

j

w . 

Назовем 

каналом наблюдения любую операцию, вводящую конкретную 

переменную  как  образ  свойства.  Канал  наблюдения,  с  помощью  которого 
свойство a

i

 представляется переменной 

i

v

&

, реализуется функцией 

                                                         

i

i

i

V

A

o

&

→

:

.                                           (Б.2) 

Эта  функция  гомоморфна  относительно  предполагаемых  свойств  мно-

жеств 

A

i

 и 

i

V&

. Аналогичная функция 

                                                      

j

j

j

W

B

&

→

:

ω

                                            (Б.3) 

задает  представление  базы 

b

j

  параметром 

j

w&

,  она  также  должна  быть  гомо-

морфной относительно соответствующих свойств базы (например,  времени) 
и свойств множества 

j

W&

. 

 
Б.3 Методологические отличия 
 
Термин 

методологическое  отличие  используется  для  выявления  отли-

чий типов системных задач внутри одного эпистемологического уровня. Для 
исходных систем методологические отличия касаются переменных и введен-
ных параметров. 

Одним  из  фундаментальных  методологических  отличий  является  от-

сутствие  математических  свойств  у  множества  состояний  или  соответст-
вующего  параметрического  множества.  Такие,  например,  переменные  как 
семейное  положение  (одинокий,  женатый,  разведенный,  вдовец), 
политическая  принадлежность  (демократ,  республиканец,  независимый), 
группа  крови  (А,  В,  О,  АВ)  или  пол  (мужской,  женский),  заданные  на 
элементах  какой – либо  общественной  группы,  демонстрируют 
существенность этого методологического отличия. 

Другим  фундаментальным  свойством  множеств  является  упорядочен-

ность. Методологически следует различать два типа упорядоченности – час-
тичную и линейную. 

Частичная  упорядоченность – это  бинарное  отношение  на  множестве, 

являющееся  рефлексивным,  антисимметричным  и  транзитивным. 

Линейная 

 

173 

   

упорядоченность сильнее частичной, так как под ней понимается частичная 
упорядоченность, обладающая свойством связности (то есть любая пара эле-
ментов множества так или иначе упорядочена). 

Формально частичная упорядоченность Q, например, множества V

i

 – это 

бинарное отношение 

                                               

i

i

V

V

Q

+

⊂

,                                                (Б.4) 

удовлетворяющее следующим требованиям: 

1 Q

)

y

,

x

(

∈  (рефлексивность); 

2 если 

Q

)

y

,

x

(

∈  и 

Q

)

x

,

y

(

∈ , то x=y (антисимметричность); 

3 если 

Q

)

y

,

x

(

∈  и 

Q

)

z

,

y

(

∈ , то 

Q

)

z

,

x

(

∈  (транзитивность). 

Если 

Q

)

y

,

x

(

∈ , то x называется предшественником y, а y – преемником 

x. Если 

Q

)

y

,

x

(

∈  и не существует 

Q

z

∈ , такого, что 

Q

)

z

,

x

(

∈  и 

Q

)

x

,

z

(

∈ , то  

x называется 

непосредственным предшественником y, а y – непосредствен-

ным  преемником  x.  В  дополнение  к  требованиям  рефлексивности,  антисим-
метричности  и  транзитивности  отношение  линейной  упорядоченности 
удовлетворяет следующему  требованию связности: для всех 

i

V

)

y

,

x

(

∈ , если  

x≠y, то или 

Q

)

y

,

x

(

∈ , или 

Q

)

х

,

y

(

∈ . 

Примерами  переменных  с  частично  упорядоченным  множеством  со-

стояний являются служебное положение или образование человека (опреде-
ленные, например, на группе государственных служащих). Примерами пере-
менных с линейно упорядоченными множествами состояний являются шкала 
твердости  Мооса,  высота  как  характеристика  звука  или  экзаменационные 
оценки, определенные на группе студентов. Прекрасным примером упорядо-
ченности параметрического множества является время. Хотя в большинстве 
случаев такое упорядочение линейно, имеют смысл и частично упорядочен-
ные  временные  множества,  например  при  исследовании  отдельных  про-
странственно  разделенных  процессов  (таких,  как  распределенные  вычисли-
тельные машины, которые обмениваются друг с другом информацией и для 
которых задержка при передаче сообщения сравнима со временем изменения 
состояний переменных из отдельных процессов). Полезно определить упоря-
дочение и для некоторых групп. Например, группа людей может быть упоря-
дочена по таким отношениям, как «быть старше», «быть потомком», «зани-
мать более высокое положение по работе». Обычно частичные упорядочения 
и их существенность зависит от характера группы и всего контекста задачи. 
Переменные с линейно упорядоченными множествами состояний называют-
ся переменными с упорядоченной шкалой. 
 

Кроме  частичных  или  линейных  упорядочений  существуют  и  другие 

математические свойства, определение которых для множеств состояний или 
параметрических множеств оказывается во многих случаях очень полезным. 
Одним из наиболее существенных свойств является расстояние между парой 
элементов  изучаемого  множества.  Эта  мера  определяется  функцией,  сопос-
тавляющей любой паре элементов этого множества число, определяющее, на 
каком расстоянии друг от друга находятся эти элементы с точки зрения неко-

 

174 

   

торого фундаментального упорядочения. 

Для данного множества, скажем множества 

i

V

, расстояние определяется 

функцией δ вида 
                                                          

R

V

V

i

i

→

×

:

δ

.                                            (Б.5) 

Однако для того, чтобы эта функция отвечала интуитивному представлению 
о  расстоянии,  она  должна  удовлетворять  следующим  условиям  для  всех 

i

V

z

y

x

∈

,

,

: 

( )

1

δ

 

( )

0

,

≥

y

x

δ

 (условие неотрицательности); 

( )

2

δ

 

( )

0

,

=

y

x

δ

 тогда и только тогда, когда х=у (условие нулевого рас-

стояния, называемое также условием невырожденности); 

( )

3

δ

 

( ) ( )

x

y

y

x

,

,

δ

δ

=

 (симметричность); 

( )

4

δ

 

( ) ( ) ( )

z

y

y

x

z

x

,

,

,

δ

δ

δ

+

≤

 (неравенство треугольника). 

Любая функция, удовлетворяющая  условиям 

( ) ( )

4

1

δ

δ

−

, называется 

 мет-

рическим  расстоянием  на  множестве 

i

V

,  а  пара 

(

)

δ

,

i

V

 - 

метрическим  про-

странством. Метрическое расстояние можно, разумеется, определить как на 
множестве состояний, так и на параметрическом множестве. 
 

Примерами    переменных  с  выраженными  и  существенными  метриче-

скими  расстояниями  являются  почти  все  переменные  в  физике,  например 
длина, масса, давление, электрическая проводимость, напряжение, сила зву-
ка,  однако  и  помимо  физики  есть  множество  примеров  таких  переменных, 
скажем, количество денег, объемы производства, число дефектов,  число не-
счастных случаев и так далее. Совершенно очевидно, что и пространство, и 
время – это  параметры,  к  которым  вполне  естественно  применимо  понятие 
метрического  расстояния.  Однако  редко  удается  определить  метрическое 
расстояние на группах. Одним из таких примеров является группа студентов, 
линейно упорядоченная по показателям их успеваемости. При этом расстоя-
ние для каждой пары студентов определяется как абсолютное значение раз-
ницы между их позициями в упорядоченном списке. Переменные, с множе-
ством  состояний  которых  связано  метрическое  расстояние,  обычно  называ-
ются метрическими переменными. 
 

Еще  одним  свойством  множеств  состояний  и  параметрических  мно-

жеств, имеющим большое значение как методологическое отличие, является 
непрерывность. Это понятие хорошо известно из математического анализа, и 
нет необходимости рассматривать его здесь подробно. Тем не менее уместно 
будет  привести  несколько  замечаний  относительно  некоторых  аспектов  не-
прерывности, которые будут использоваться нами в дальнейшем. 

Необходимым  условием  непрерывности  множества  является  его  упоря-

доченность.  Так  как  линейная  упорядоченность  является  частным  случаем 
частичной упорядоченности, то предпочтительнее определить непрерывность 
через  частичную  упорядоченность.  Это  можно  сделать  несколькими  спосо-
бами.  Одно  из  определений  непрерывного  частичного  упорядочения  опира-
ется на понятие разреза частично упорядоченного множества: разрез частич-
но  упорядоченного  множества,  скажем  множества 

i

V

,  это  разделение  этого