Метасистемный подход в управлении - часть 19

 

75

 
                                  
 
 

                                

 

                              

σ

1 

                            ∆

Σ

1

  

 

 

                           ∆

Σ

2

 

σ

2

 

 

∆A                     ∆A                           A 

Виртуальная работа 

 

Рисунок 4.5 – Схема перераспределения управляющих ресурсов 

 

                               

( )

(

)

(

)

.

;

0

2

*

1

2

*

1

*

1

2

*

1

2

C

C

C

C

αβ

α

σ

α

σ

α

β

α

ασ

σ

±

=

=

−

−

−

−

                         (4.40) 

Считая  коэффициенты 

1

>

α

и 

1

>

β

и  учитывая,  что 

*

1

σ

 всегда  положи-

тельно, имеем единственное решение 

                                            












+

=

+

=

.

;

*

2

*

1

C

C

αβ

β

σ

αβ

α

σ

                                           (4.41) 

При этом минимальная сумма равна 

                                        

(

)

C

2

*

2

*

1

β

α

σ

σ

+

=

+

.                                  (4.42) 

Если бы мы потребовали совпадения точек оптимальности, то уравнение 

(4.37) приняло бы вид: 

                                           

2

*

*

1

σ

β

σ

β

σ

α

σ

α

−

=

−

 .                                   (4.43) 

Его решение 

                                            

(

)

1

2

2

1

*

βσ

ασ

σ

σ

β

α

σ

+

+

=

.                                      (4.44) 

При этом минимальная сумма равна 2

σ

*

. 

Д

ис

перс

ия

 

 

76

Определяя  разность  двух  минимальных  сумм,  убеждаемся,  что  она  по-

ложительна 

               

(

)

(

)

(

)

0

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

>

+

−

=

+

+

−

+

+

βσ

ασ

β

α

βσ

ασ

σ

σ

β

α

βσ

ασ

σ

σ

β

α

.         (4.45) 

Если погрешность, равная этой разности для двух параметров устраива-

ет проектировщика системы, то можно, последовательно добавляя опасности 
отклонений  следующих  параметров,  определить  единственное  псевдоопти-
мальное значение 

σ

*

 и минимальную сумму 

                                                

.

*

1

*

σ

σ

N

N

i

i

=

∑

=

                                           (4.46) 

Находя  разность  этого  значения 

σ

*

  с  каждой  опасностью  отклонения, 

можно добиться раздельного поканального управления подсистемами. 

Если же эта разность нас не устраивает, тогда проведем более тонкое ис-

следование. Очевидно, что перераспределение управляющих ресурсов можно 
прекратить, когда разность (4.36) равна 0. 

Ограничиваясь конечными приращениями 

                                   

;

1

1

∆Α

Α

∂

Σ

∂

=

∆Σ

,

2

2

∆Α

Α

∂

Σ

∂

=

∆Σ

                            (4.47) 

видим, что перераспределение ресурсов дает эффект, пропорциональный ча-
стным  производным.  В  таком  случае  можно  организовать  следующий  алго-
ритм. 

1  Вычислить  частные  производные  дисперсий  всех  управляемых  вели-

чин по ресурсу в данных точках (

σ

1

, 

σ

2

…

σ

N

). 

2 Отсортировать производные в порядке убывания. 

3  Перераспределить  ресурс  величиной  ∆А  от  управления  параметром  с 

максимальным  значением  производной  на  управление  параметром  с  мини-

мальной производной. 

4  Пересчитать  производные,  изменившиеся  в  результате  выполнения 

п.3. 

5  Определить  максимальную  разность  производных (max-min) и,  если 

она больше некоторого значения 

δ, перейти к п. 2. 

6 Конец работы. 
Значение 

δ определяется здесь по минимальному изменению производ-

ной на краю диапазона при заданном изменении ресурса ∆А. Этот алгоритм 
работает тем точнее, чем ∆А меньше. Однако, при этом возрастает время его 
работы. 

Таким образом, при проведении такой координации мы сводим суммар-

ную дисперсию управляемых величин к минимуму или можем экономить ре-
сурсы управляющих воздействий (в зависимости от того, что выгоднее). 

 

 

77

4.5 Экспериментальное исследование параллельной метасистемы 

 
Модель такой системы включала три параллельно действующих регуля-

тора, характеризующихся систематической погрешностью a

i

 и среднеквадра-

тичным  разбросом 

i

b ,  где  i=1,2,3.  Изменение  во  времени  плотности  рас-

пределения  управляемой  величины 

i

ω

подчиняется  уравнениям  Фоккера-

Планка-Колмогорова 

                                     

i

i

i

i

i

i

i

i

u

y

b

y

a

t

=

∂

∂

−

∂

∂

+

∂

∂

2

2

2

ω

ω

ω

,                             (4.48) 

где y

i

 –управляемая величина,  

       u

i

 – управляющее  воздействие,  изменяющее  точность  регуляторов  (под-

настройка, подналадка).  

Выше  было  проведено  решение  задачи  непрерывного  управления  дис-

персией управляемой величины. Однако на практике поднастройка регулято-
ров проводится в импульсном режиме, то есть время от времени. Подставляя 
импульсное воздействие в правую часть уравнения (4.48), найдем его реше-
ние 

                  

(

)















−

−

−

=

t

b

y

y

t

b

t

b

a

y

b

a

i

i

mo

i

i

i

i

i

i

i

i

4

exp

2

1

)

exp(

2

2

π

ω

.             (4.49) 

Как  видим,  результирующее  решение  представляет  собой  нормальный 

закон с изменяющимся во времени среднеквадратичным отклонением (СКО) 
(в  зависимости  только  от  параметра 

i

b )  и  сносом  по  оси  y

i

  (в  зависимости 

только от 

i

a ). 

Осредненное СКО за некоторый промежуток времени можно вычислить 

по следующей формуле: 

                          

(

)

(

)

t

T

t

b

T

b

d

b

t

T

i

i

T

t

i

ср

−

−

=

∫

−

=

3

2

2

2

2

1

τ

τ

σ

  .                (4.50) 

Процесс  импульсного  управления  моделировался  на  компьютере  при 

следующих параметрах:  a =1, b =1, 

mo

y =1, 

ср

σ

=1. 

В отсутствии управляющих воздействий плотность распределения изме-

ренной  величины  подвержена  сносу  и  размытию,  как  показано  на  рисунке 
4.6. 

Характер  изменения  СКО  во  времени  при  импульсной  поднастройке 

представлен на рисунке 4.7. По горизонтальной оси на рисунке отложен но-
мер шага по времени  (

03

.

0

=

∆t

 сек). 

Для ответа на вопрос об оптимальной частоте поднастроек менялся пе-

риод  их  повторения,  одновременно  вычислялась  виртуальная  работа  с  ис-
пользованием зависимости, изображенной на рисунке 4.5. 

При  этом  была  получена  новая  зависимость  виртуальной  работы  от 

длительности периода, изображенная на рисунке 4.8. 

 

78

Изломы  на  графике  обусловлены  попаданием  целого  числа  периодов  в 

расчетное время. Как следует из данной зависимости, минимальная суммар-
ная виртуальная работа имеет место при непрерывном управлении  (нулевая 
длительность  периода).  С  ростом  длительности  периода  между  поднастрой-
ками  приборов  трудоемкость  обслуживания  комплекса  измерительных  при-
боров резко возрастает. 

Если  же  метасистема  является  многосвязной,  а  не  многомерной  как  в 

предыдущем  исследовании,  то  задача  уже  не  поддается  аналитическому  ре-
шению. 

В  этом  случае  необходимо  синтезировать  конечный  автомат,  работаю-

щий по алгоритму, описанному в предыдущем разделе, и его функциониро-
вание  позволит  определить  оптимальные  значения  дисперсий  управляемых 
величин. 

Многосвязность моделировалась здесь следующим образом. Считалось, 

что  второй  и  третий  регуляторы  имеют  положительное  влияние  на  первый 
(уровень  перетекания  управляющих  воздействий  везде  принимался  равным 
10%).  Первый  и  второй  регуляторы  отрицательно  влияют  на  третий.  Нако-
нец,  первый  регулятор  положительно  влияет  на  второй,  а  третий - отрица-
тельно.  Результаты  такого  эксперимента  представлены  на  рисунке 4.9. На 
графике выделяются три области. Первая – область независимой работы ре-
гуляторов (дисперсия возрастает во всех трех каналах одинаково). Во второй 
области вводится описанная выше взаимосвязь регуляторов, что приводит к