Метасистемный подход в управлении - часть 18

 

71

                                                                                                                       (4.26) 

С  помощью  этого  уравнения  можно  исследовать  динамику  системы 

управления.  Ограничимся  исследованием  установившегося  движения.  Для 

этого, вернувшись к уравнению (4.24) для одномерного случая с постоянны-

ми  коэффициентами  a  и  b,  уберем  производную  по  времени  и  подставим 

вместо плотности вероятности нормальный закон распределения: 

        

)

y

(

u

e

)

y

y

(

a

2

b

)

y

y

(

2

b

2

1

2

уст

2

)

y

y

(

уст

3

3

2

уст

5

=

⋅









−

−

−

−

−

−

σ

σ

σ

σ

π

, (4.27) 

где y

уст

- 

уставка регулятора,  

      u(y)

 - управляющее воздействие. 

Введем  понятие  виртуальной  работы  как  работы,  которую  необходимо 

совершать системе управления для поддержания дисперсии выходной вели-

чины на заданном уровне 

 

( )

( )

dy

e

y

u

A

ус

y

y

2

2

2

2

1

у

р

у

у

)

(

−

−

∞

∞

−

∫

=

. (4.28) 

Пользуясь  формулой (4.27), можно  построить  зависимость  дисперсии 

выходной величины от виртуальной работы, имеющей гиперболический ха-

рактер,  объяснимый  природой  процесса  (смотри  рисунок 4.4). Прилагая  все 

большие ресурсы управления (увеличивая виртуальную работу управления), 

можно уменьшить дисперсию управляемой величины до сколь угодно малого 

значения (однако не до нуля). Наоборот, уменьшая ресурсы, направляемые на 

управление, приходим к увеличению дисперсии вплоть до бесконечности.  

Имея зависимости дисперсии управляемой величины от виртуальной ра-

боты по управлению, можно оптимально распределить ресурсы. 

Классический  критерий  оптимизации  обычно  принимают  в  следующем 

виде /21/ 

                  

( )

(

)

]

d

u

K

)

(

u

)

,

Y

(

L

[

M

)]

t,

Y

(

l

[

M

I

k

o

t

t

1

T

k

1

0

τ

τ

τ

τ

∫

−

+

+

=

,             (4.29) 

где L(Y, t), l

1

(Y, t

k

) – заданные положительно определенные функции, 

       К – симметричная  положительно  определенная  или  диагональная 

 

72

матрица положительных коэффициентов.  

Считая  данный  функционал  отражающим  потери  в  метасистеме,  при-

мем, что 

)

t,

Y

(

l

k

1

= 0, функция  L  зависит не от управляемых величин, а от их 

дисперсий, а вместо обычной работы управляющих воздействий использует-

ся виртуальная: 

Решая  задачу  оптимального  управления  метасистемой  параллельного 

действия с данным функционалом, можно определить установившиеся опти-

мальные  значения  дисперсий выходных величин. Для  этого необходимо ре-

шить совместно систему, включающую уравнения (4.27), определение (4.28) 

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0

1

2

3

4

5

A

σ

( )

σ

 

                                                                      

Рисунок 4.4 – Зависимость виртуальной работы от дисперсии 

 

и критерий (4.30)       

                    

∑

∫

=

∞















+

=

n

1

i

t

i

i

i

0

dt

))

t

),

t

(

(

A

)

t

(

(

M

I

σ

σ

α

.                               (4.30) 

 

73

          

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]





























→

+

=

=

=















−

−

−

−

∑

∫

=

∞

∞

−

−

−

−

−

.

min

)

(

,

,

,

1

,

2

)

(

)

(

),

(

2

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

3

3

2

\

5

n

i

i

i

i

i

уст

y

y

i

i

i

i

i

i

уст

y

y

уст

i

i

i

i

уст

i

i

A

n

i

dy

e

y

u

A

y

u

e

y

y

a

b

y

y

b

σ

σ

α

π

σ

σ

σ

σ

σ

π

σ

σ

K

 (4.31) 

Продифференцировав последнее уравнение по всем 

i

σ

 и приравняв эти 

производные нулю, получим новую систему из n уравнений. В неё подставим 
выражение виртуальной работы из второго уравнения системы (4.31), в кото-
рую,  в  свою  очередь,  подставлено  управляющее  воздействие  из  первого 
уравнения системы (4.31). Окончательно получим n уравнений вида 

n

i

dy

e

y

y

a

b

y

y

b

i

уст

y

y

уст

i

i

i

i

уст

i

i

i

i

,

,

1

2

)

(

2

)

(

2

1

2

2

)

(

3

3

2

5

K

=

−

=





































−

−

−

−

∂

∂

∫

∞

∞

−

−

−

πα

σ

σ

σ

σ

σ

σ

.(4.32) 

Решение этих уравнений определяет оптимальные нормы для дисперсий. 

Дальнейшее управление можно свести к работе конечного автомата, который 
будет  перераспределять  управляющие  ресурсы  с  "благополучных"  структур 
на  "неблагополучные" (то  есть  на  те  структуры,  дисперсия  выходных  вели-
чин  которых  больше  всего  возросла).  Все  варианты  распределения  управ-
ляющих  воздействий  (состояний  конечного  автомата)  можно  описать  сле-
дующей матрицей: 

                                              

























−

−

−

=

,...,

u

,

u

u

,...,

,

u

u

,...,

u

,

U

2

n

1

n

n

2

21

n

1

12

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

L

.                            (4.33) 

Здесь  номера  столбцов  соответствуют  номерам  структур,  с  которых 

управляющие ресурсы "снимаются", а номера строк соответствуют номерам 
структур, на которые управляющие воздействия направляются. Чертой поме-
чены неиспользуемые состояния. 

Так будет работать система, у которой каждая структура имеет незави-

симый  источник  управляющего  воздействия.  При  общем  источнике  парал-
лельная система может превратиться в последовательную (как отмечено вы-
ше). В этом случае управляющие ресурсы в любой момент времени подклю-
чаются автоматом лишь к одной структуре. Тогда можно применить теорию 
систем  случайной  структуры  и,  вычислив  вероятности  включения  каждой 

 

74

структуры, использовать их в качестве уставок для конечного автомата (пре-
вратив  тем  самым  автомат  Мура  в  автомат  Мили  с  обратной  связью),  что 
увеличит точность работы системы. 

Такое  решение  несправедливо  для  многосвязной  системы.  Рассмотрим 

подробнее процесс перераспределения ресурсов. Положим для простоты ана-
лиза, что описанная выше зависимость имеет для двух управляемых величин 
самый простой вид 

                                              

Α

=

Σ

Α

=

Σ

β

α

2

1

,

,                                             (4.34) 

где 

β

α

, - размерные коэффициенты.  

График этой зависимости изображен на рисунке 4.5. 
Управление необходимо вести таким образом, чтобы суммарная диспер-

сия была минимальна 

                                            

∑

=

→

=

N

i

i

K

1

min

σ

.                                       (4.35) 

При  этом  можно  провести  двухуровневое  управление  с  доведением 

управляемых  параметров  до  области  нормированных  значений,  а  затем,  ис-
пользуя координацию управляющих воздействий, свести к минимуму крите-
рий 

К

 /30/

. 

Забирая малую долю ресурса от второго параметра и вкладывая ее 

в  улучшение  первого,  мы  получим  уменьшение  суммы  двух  дисперсий 
управляемых величин на величину 

                                                

2

1

∆Σ

−

∆Σ

.                                              (4.36) 

Такое  перераспределение  ресурса  рационально,  пока  данная  разность 

положительна. Равенство отнимаемых и добавляемых ресурсов дает уравне-
ние для нахождения точек оптимальности 

*

2

*

1

,

σ

σ

 

                                         

2

*

2

*

1

1

σ

β

σ

β

σ

α

σ

α

−

=

−

.                                       (4.37) 

Вводя обозначение для начальной суммы 

C

=

+

2

1

σ

β

σ

α

, можно выразить 

одно оптимальное значение через другое 

                                          

α

σ

β

σ

σ

−

=

*

1

*

1

*

2

C

,                                              (4.38) 

Цель оптимизации теперь формулируется следующим образом 

                                             

min

*

1

*

1

*

1

→















−

+

α

σ

β

σ

σ

C

.                             (4.39) 

Взяв производную от этой суммы по 

σ

1

*

 и приравнивая ее нулю, найдем 

оптимальное значение