Метасистемный подход в управлении - часть 16

 

63

H

(ℓ)

(

W

,t) – матрица n

×m или n×n с нелинейными относительно 

W

 ком-

понентами h

ij

(ℓ)

(W,t) (i = 1,…, n, j = 1,…, m),  

ς(t) – вектор гауссова белого шума с компонентами ς

1

(t), …, 

ς

m

(t). 

Вектор  белого  шума 

ς(t)  будем  считать  случайным  центрированным 

процессом с корреляционной функцией 

                                     

)

(

)

(

)

,

(

t

t

t

G

t

t

K

′

−

=

′

δ

ζ

                                        (4.5) 

где 

G

(t) – симметричная матрица интенсивностей с компонентами G

ij

(t). 

Ведомый процесс является управляемым и описывается подобным урав-

нением 

)

,...,

1

(

,

)

(

),

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

(

0

0

)

(

)

(

)

(

)

(

s

Y

t

Y

t

V

t

Y

H

u

t

Y

t

Y

t

D

Y

=

=

+

+

=

l

&

l

l

l

l

σ

ϕ

    (4.6) 

где 

σ

(ℓ)

(

Y

,t) – матрица детерминированных нелинейных функций 

σ

ij

(ℓ)

,  

u 

– вектор управляющих воздействий,  

V

(t) – вектор гауссова белого шума с компонентами V

1

(t), …, V

m

(t). 

Ведущий процесс измеряется с помощью канала наблюдения, в резуль-

тате чего имеется m-мерный наблюдаемый процесс 

                      

)

,...,

1

(

)

(

)

,

,

(

)

(

)

(

1

)

(

s

t

N

t

u

W

C

t

Z

=

+

=

l

l

l

, 

            (4.7) 

где 

C

(ℓ)

(

W

, 

u

1

, t) – m-мерная векторная функция,  

u

1

 – 

вектор управляющих воздействий на канал наблюдения,

  

N

(ℓ)

(t) – белый гауссов шум с матрицей интенсивностей 

Q

(ℓ)

(t), статисти-

чески не зависящий от 

ς

(t)

. 

Требуется  так  подобрать  векторы  управлений 

u 

и

  u

1

,  чтобы  процессы 

были максимально согласованы по включаемой структуре и по быстродейст-
вию переключения на необходимую структуру. 

Оптимизация  управления  ведомым  процессом

.

 

Вопросы  системной 

согласованности рассмотрены в третьей главе. Применим рассмотренные там 

положения к согласованию двух стохастических процессов в соответствии с 

принятой  в  работе  концепцией.  В  данном  случае  согласование  процессов 

можно провести с помощью решения задач оптимизации. 

Тогда  в  качестве  функций  ℓ

1

  примем  разность  вероятностей  переходов 

процессов из одного состояния в другое, учитывая при этом марковость про-
цесса,  а  также  то,  что  в  дальнейшем  используется  уравнение  Колмогорова, 
примем 

                    

))

(

|

)

(

(

)

(

|

)

(

(

(

)

,

(

1

2

1

1

2

1

−

−

−

=

=

h

h

h

k

t

w

t

w

t

y

t

y

U

t

Y

ω

ω

l

,  (4.8) 

а L(

Y

, 

τ), исходя из требований быстродействия, приравняем 1. 

Как известно /28/, марковский случайный процесс подчиняется уравне-

нию Колмогорова (причем в данном случае первому уравнению /21/ для того, 

чтобы оно было согласовано по направлению движения во времени с приме-

няемым в дальнейшем уравнением Беллмана) 

 

64

∂ω

(ℓ)

 (

w

, t|

w

*

,t

*

)      n     ∂                                    

——————   + ∑    — (A

k

(ℓ)

(

w

, t) ω

(ℓ)

(

w

, t|

w

*

,t

*

)) +  

          ∂t                k=1 ∂w

k 

 

                           1   n    n          ∂ 

                       + — ∑    ∑     ——— (B

km

(ℓ)

(

w

, t) ω

(ℓ)

(

w

, t|

w

*

,t

*

)) = 0,  (4.9) 

                           2 k=1 m=1 ∂w

k

 ∂w

m 

где 

                                     w

k

(t + ∆t) – w

k

(t)              

   A

k

(ℓ)

(

w

, t) = lim M [———————— | w,t ],                                        (4.10) 

                          ∆t→ 0                ∆t                             

 

                                        (w

k

(t + ∆t) – w

k

(t)) (w

k

(t + ∆t) – w

k

(t)) 

   B

km

(ℓ)

(

w

, t) == lim M [———————————————— | w,t ],    (4.11) 

                              ∆t→ 0                                 ∆t                             

M[•] – символ осреднения.           

Поскольку какая-нибудь структура обязательно должна реализоваться в 

любой  момент  времени  на  плотности  вероятности,  а  через  них  и  на  управ-

ляющие воздействия (через уравнение Колмогорова) наложено ограничение: 

интеграл  от  суммы  плотностей  вероятности  реализации  всех  структур  дол-

жен быть равен единице. 

В  уравнение  ведомого  процесса  входит  неизвестная  пока  функция 

управляющих воздействий f[

σ

(ℓ)

(

Y

,t)] 

∂ω

(ℓ)

 (

y

, t|

y

*

,t

*

)       n     ∂                                    

——————   + ∑    — (A

k

(ℓ)

(

y

, t) ω

(ℓ)

(

y

, t|

y

*

,t

*

)) + f [

σ

(ℓ)

(

Y

,t)] + 

          ∂t                k=1 ∂y

k  

                             1   n    n          ∂ 

                         + — ∑    ∑     ——— (B

km

(ℓ)

(

y

, t) ω

(ℓ)

(

y

, t|

y

*

,t

*

)) = 0. (4.12) 

                             2 k=1 m=1 ∂y

k

 ∂y

m 

Эта  функция  играет  в  уравнении  роль  источника  возникновения  и  по-

глощения реализаций случайного процесса. 

 

65

Вычитая из (4.9) (4.12), получим уравнение относительно U 

 ∂U

(ℓ)

      n     ∂                                    

——   + ∑    — (A

k

(ℓ)

(

y

, t) U

(ℓ)

) + f [

σ

(ℓ)

(

Y

,t)] + 

  ∂t        k=1 ∂y

k 

 

                                   1   n    n          ∂ 

                               + — ∑    ∑     ——— (B

km

(ℓ)

(

y

, t) U

(ℓ)

) = 0.          (4.13) 

                                   2 k=1 m=1 ∂y

k

 ∂y

m 

Поскольку  один  процесс  “копирует”  другой  лишь  с  опозданием  и  воз-

можными ошибками, дифференцирование по w и y здесь совершенно эквива-

лентно. 

Полагая далее 

                                 1    ∂U

(l)

                   ∂U

(ℓ)

 

          f [

σ

(ℓ)

(

Y

,t)] = — [——]

т 

σ

(ℓ)

K

σ

(ℓ)

[ ——] + M[L(

Y

, 

τ)],            (4.14) 

                                 4     ∂y                       ∂y  

получаем точно такое же уравнение как в /28, формула (8.69) на с. 283/, име-

нуемое  также  стохастическим  принципом  минимума  обобщённой  работы 

/27/, которому должна удовлетворять функция U для того, чтобы управление 

было оптимальным и равным 

                                            1                         ∂U

(ℓ) 

 

                               u

(ℓ)

 = - — 

K

[

σ

(ℓ)

(

Y

(ℓ)

, t)

т  

——].                                   (4.15) 

                                            2                           ∂y 

Общий критерий оптимизации можно сложить из полученных частных 

                     s                           s                   t

к 

I(t

0

, 

Y

, 

u

, t

к

) = ∑

 

I

ℓ

(t

0

, 

Y

, 

u

, t

к

) = ∑[ℓ

1

(

Y

, t

к

) + 

∫ (1 + 

u

т

(

τ)

K

-1

u

(

τ))dτ].   (4.16) 

                       ℓ=1                      ℓ=1                t

0 

Добиваясь  оптимального  управления  для  каждой  случайной  структуры 

ℓ, мы достигнем минимального общего критерия. 

Оптимизация  обратной  связи  в  канале  измерений

.  Будем  полагать, 

что управления 

u

1

(t) в канале наблюдения являются функцией фазовых коор-

динат  оптимального  фильтра,  т.е.  выбираются  таким  образом,  что  не  нару-

шаются условия марковости совместного процесса {

Y

(t), 

Z

(t)}

т

. При этих ус-

 

66

ловиях  нормированные  апостериорные    плотности    вероятности 

( )

( )

t

y

,

€

1

l

ω

, 

ω

1

(ℓ)

(

y

, t) фильтруемого процесса для каждого из состояний будут удовлетво-

рять обобщенным уравнениям Стратоновича 

∧ 

∂ω

1

(ℓ)

(

w

, t)          

∧              1   ∧                                    ∞                     ∧ 

———— = -div

π

(ℓ)

(

w

,t) - — ω

1

(ℓ)

(

w

, t)[f

(ℓ)

(

w

,

 z

,

 u

,t) - ∫f

(ℓ)

(

w

,

 z

,

 u

,t) ω

1

(ℓ)

(x, t)dx]+ 

       

∂t                                  2                                        -∞                                               

                                                        s    

∧             ∧ 

                                                    + ∑ [v

rℓ

(w,t) – u

rℓ

(w,t)].                      (4.17) 

                                                      r =1 

                                                                        

∧ 

Вектор плотности потока вероятности 

π

(ℓ)

(

w

,t) равен 

  

∧                            ∧               1   n    ∂                      ∧ 

π

(ℓ)

(

w

,t)=A

p

(ℓ)

(

w

,t)ω

1

(ℓ)

(

w

, t) - — ∑  — [B

pq

(ℓ)

(

w

, t)ω

1

(ℓ)

(

w

, t)] (p = 1,n;ℓ = 1,s), 

                                                  2 q=1∂y

q          

                                                 (4.18) 

где A

p

(ℓ)

,B

pq

(ℓ)

– коэффициенты сноса и диффузии, приведенные выше; 

f

(ℓ)

(

w

,

 z

,

 u

,t) – производная от логарифма функции правдоподобия опре-

деляется по формуле 
                         r     Q

pq

(ℓ)

(t) 

f

(ℓ)

(

w

,

 z

,

 u

,t) =  ∑    ——— [z

p

(t) – 

C

p

(ℓ)

(

w

, 

u

, t)][ z

q

(t) – 

C

q

(ℓ)

(

w

, 

u

, t)]          (4.19) 

                     p,q=1 |

Q

(ℓ)

(t)| 

и дополнительно зависит от функции управления в соответствии с уравнени- 

                                 

∧          ∧ 

ем наблюдения (4.7); v

rℓ

(w,t), u

rℓ

(w,t) – соответственно функции поглощения 

и восстановления реализаций случайного процесса. 

Задача  управляющей  части  ведущего  процесса - оптимальная  фильтра-

ция сигналов, поступающих от внешней среды. Такая задача решена в /28/ в 

предположении квадратичной функции потерь 

                                                   

∧            ∧ 

                       Ψ(

w

, 

W

0

,t) = [

w

 – 

W

0

]

т

[

w

 – 

W

0

],                                 (4.20) 

        

∧ 

где 

W

0

 – оптимальная  оценка  сигналов.  Сама  процедура  нахождения  опти-

мальных управлений существенно зависит от вида функций коэффициентов 

статистической линеаризации и задаваемых ограничений. Если известно, что 

минимизируемая функция потерь одномодальная и ограничения на управле-

ния отсутствуют, оптимальные управления  могут быть найдены из системы