Курс физики для вузов - часть 113

тоды точного решения

задачи для системы многих частиц. По-
этому эта задача решается приближен-

но сведением задачи многих частиц к
одноэлектронной задаче об одном элек-
троне, движущемся в заданном внеш-
нем

 Подобный путь приводит к

зонной теории твердого тела.

В основе зонной теории лежит так

называемое адиабатическое прибли-
жение. Квантово-механическая систе-
ма разделяется на тяжелые и

 ча-

стицы — ядра и электроны. Поскольку
массы и скорости этих частиц значи-
тельно различаются, можно считать,
что движение электронов происходит в
поле неподвижных ядер, а медленно
движущиеся ядра находятся в усред-

ненном поле всех электронов. Прини-
мая, что ядра в узлах кристаллической

решетки неподвижны, движение элек-
трона рассматривается в постоянном
периодическом поле ядер.

Далее используется приближение

самосогласованного поля. Взаимодей-
ствие данного электрона со всеми дру-
гими электронами заменяется действи-
ем на него стационарного электричес-
кого поля, обладающего периодичнос-
тью кристаллической решетки. Это
поле создается усредненным в про-
странстве зарядом всех других электро-
нов и всех ядер. Таким образом, в рам-
ках зонной теории многоэлектронная
задача сводится к задаче о движении
одного электрона во внешнем периоди-

ческом поле — усредненном и согласован-
ном поле всех ядер и электронов.

Рассмотрим мысленно «процесс об-

разования» твердого тела из изолиро-
ванных атомов. Пока атомы изолирова-
ны, т. е. находятся друг от друга на мак-
роскопических расстояниях, они имеют
совпадающие схемы энергетических
уровней (рис. 316). По мере «сжатия»
нашей модели до кристаллической ре-

 316

щетки, т. е. когда расстояния между ато-
мами станут равными межатомным рас-
стояниям в твердых телах, взаимодей-
ствие между атомами приводит к тому,
что энергетические уровни атомов сме-
щаются, расщепляются и расширяют-
ся в зоны, образуется зонный энергети-
ческий спектр.

Из рис. 316, на котором показано

расщепление энергетических уровней в
зависимости от расстояния  между ато-
мами, видно, что заметно расщепляют-
ся и расширяются лишь уровни вне-

шних, валентных электронов, наиболее
слабо связанных с ядром и имеющих
наибольшую энергию, а также более
высокие уровни, которые в основном
состоянии атома вообще электронами
не заняты. Уровни же внутренних элек-
тронов либо совсем не расщепляются,

либо расщепляются слабо.

Таким образом, в твердых телах

внутренние электроны ведут себя так
же, как в изолированных атомах, вален-
тные же электроны «коллективизиро-
ваны» — принадлежат всему твердому
телу.

Образование зонного энергетиче-

ского спектра в кристалле является
квантово-механическим эффектом и
вытекает из соотношения неопределен-
ностей. В кристалле валентные элект-
роны атомов, связанные слабее с ядра-
ми, чем внутренние электроны, могут
переходить от атома к атому сквозь

451

тенциальные барьеры, разделяющие
атомы, т. е. перемещаться без изменений
полной энергии (туннельный эффект,
см. §221).

Это приводит к тому, что среднее

время жизни т валентного электрона в
данном атоме по сравнению с изолиро-
ванным атомом существенно уменьша-
ется и составляет примерно

 с (для

изолированного атома оно примерно

 с). Время жизни электрона в ка-

ком-либо состоянии связано с неопре-
деленностью его энергии (шириной
уровня) соотношением неопределенно-

стей АЕ  - [см. (215.5)]. Следова-
тельно, если естественная ширина спек-
тральных линий составляет примерно

10~

7

 эВ, то в кристаллах АЕ  1

 эВ,

т.е. энергетические уровни валентных
электронов расширяются в зону дозво-
ленных значений энергии.

Энергия внешних электронов может

принимать значения в пределах зашт-
рихованных на рис. 316 областей, назы-
ваемых разрешенными энергетичес-
кими зонами. Каждая разрешенная
зона «вмещает» в себя столько близле-
жащих дискретных уровней, сколько
атомов содержит кристалл: чем больше
в кристалле атомов, тем теснее распо-
ложены уровни в зоне. Расстояние меж-
ду соседними энергетическими уровня-

ми в зоне составляет приблизительно

 эВ. Так как оно столь ничтожно,

то зоны можно считать практически не-
прерывными, однако факт конечного
числа уровней в зоне играет важную
роль для распределения электронов по

Разрешенные энергетические зоны

разделены зонами запрещенных значе-
ний энергии, называемыми запрещен-
ными энергетическими зонами. В них
электроны находиться не могут. Шири-
на зон (разрешенных и запрещенных)

не зависит от размера кристалла. Раз-
решенные зоны тем шире, чем слабее
связь валентных электронов с ядрами.

§ 241. Металлы, диэлектрики

и полупроводники

по зонной теории

Зонная теория твердых тел позволи-

ла с единой точки зрения истолковать

существование металлов, диэлектриков
и полупроводников, объясняя различие
в их электрических свойствах, во-пер-
вых, неодинаковым заполнением элек-
тронами разрешенных зон и, во-вторых,
шириной запрещенных зон.

Степень заполнения электронами

энергетических уровней в зоне опреде-
ляется заполнением соответствующих
атомных уровней. Если при этом какой-
то энергетический уровень полностью
заполнен, то образующаяся энергети-
ческая зона также заполнена целиком.

В общем случае можно говорить  ва-

лентной зоне, которая полностью за-

полнена электронами и образована из
энергетических уровней внутренних
электронов свободных атомов, и о зоне
проводимости

 кото-

рая либо частично заполнена электро-
нами, либо свободна и образована из
энергетических уровней внешних «кол-
лективизированных» электронов изо-
лированных атомов.

В зависимости от степени заполне-

ния зон электронами и ширины запре-
щенной зоны возможны четыре случая,
изображенные

 рис.

 На рис.

 а

самая верхняя зона, содержащая элек-
троны, заполнена лишь частично, т. е. в
ней имеются вакантные уровни.

В данном случае электрон, получив

сколь угодно малую энергетическую

«добавку» (например, за счет теплово-

го движения или электрического ноля),

452

сможет перейти на более высокий энер-
гетический уровень той же зоны, т.е.
стать свободным и участвовать в про-
водимости. Внутризонный переход
вполне возможен, так как, например,
при Г = 1 К энергия теплового движе-

ния

 эВ, т.е. гораздо больше

разности энергий между соседними
уровнями зоны (примерно

 эВ).

Таким образом, если в твердом теле
имеется зона, лишь частично заполнен-
ная электронами, то это тело всегда бу-
дет проводником электрического тока.

Именно это свойственно металлам.

Твердое тело является проводником

электрического тока и в том случае, ког-
да валентная зона перекрывается сво-
бодной зоной, что в конечном счете
приводит к не полностью заполненной
зоне (рис. 317, б). Это имеет место для
щелочно-земельных

 образу-

ющих II группу таблицы Менделеева

(Be, Mg,

 Zn, ...). В данном случае

образуется так называемая «гибрид-
ная» зона, которая заполняется вален-
тными электронами лишь частично.
Следовательно, в данном случае метал-

лические свойства щелочно-земельных

элементов обусловлены перекрытием
валентной и свободной зон.

Помимо рассмотренного выше пере-

крытия зон возможно также перерасп-
ределение электронов между зонами,
возникающими из уровней различных

атомов, которое может привести к тому,
что вместо двух частично заполненных
зон в кристалле окажутся одна полнос-
тью заполненная (валентная) зона и
одна свободная зона (зона проводимо-
сти). Твердые тела, у которых энерге-
тический спектр электронных состоя-
ний состоит только из валентной зоны

и зоны проводимости, являются диэ-

лектриками или полупроводниками в
зависимости от ширины запрещенной
зоны АЕ.

Если ширина запрещенной зоны

кристалла порядка нескольких элект-
рон-вольт, то тепловое движение не мо-
жет перебросить электроны из валент-
ной зоны в зону проводимости и крис-
талл является диэлектриком, оставаясь
им при всех реальных температурах

(рис.

 в). Если запрещенная зона до-

статочно узка (АЕ порядка 1 эВ), то
переброс электронов из валентной зоны
в зону проводимости может быть осу-
ществлен сравнительно легко либо пу-
тем теплового возбуждения, либо за
счет внешнего источника, способного
передать электронам энергию АЕ,
кристалл является полупроводником

(рис. 317, г).

Различие между металлами и диэ-

лектриками с точки зрения зонной тео-
рии состоит в том, что при Т = О К
в зоне проводимости металлов имеют-
ся электроны, а в зоне проводимости

453

диэлектриков они отсутствуют. Разли-
чие же между диэлектриками и полу-

проводниками определяется шириной
запрещенных зон: для диэлектриков
она довольно широка (например, для

 АЕ = 6 эВ), для полупроводни-

ков — достаточно узка (например, для

 АЕ = 0,72 эВ). При темпера-

турах, близких к 0 К, полупроводники
ведут себя как диэлектрики, так как пе-
реброса электронов в зону проводимо-

сти не происходит. С повышением тем-
пературы у полупроводников растет
число электронов, которые вследствие
теплового возбуждения переходят в
зону проводимости, т. е. электрическая
проводимость проводников в этом слу-
чае увеличивается.

§ 242. Собственная

проводимость полупроводников

Полупроводниками являются твер-

дые тела, которые при Т — 0 К характе-
ризуются полностью занятой электро-
нами валентной зоной, отделенной от
зоны проводимости сравнительно уз-
кой (АЕ порядка 1 эВ) запрещенной
зоной (см. рис. 317, г). Своим названи-

ем они обязаны тому, что их проводи-
мость меньше проводимости металлов
и больше проводимости диэлектриков.

В природе полупроводники суще-

ствуют в виде элементов (элементы
V и VI групп Периодической системы
элементов Д. И. Менделеева), например

Рис.318

Рис.319

Si, Ge, As, Se, Те, и химических соеди-
нений, например оксиды, сульфиды, се-

лениды, сплавы элементов различных

групп. Различают собственные и при-

месные полупроводники. Собственны-
ми полупроводниками являются хи-

мически чистые полупроводники, а их
проводимость называется собственной
проводимостью. Примером собствен-
ных полупроводников могут служить
химически чистые Ge, Se, а также мно-
гие химические соединения:

 GaAs,

 и др.

При 0 К и отсутствии других вне-

шних факторов собственные полупро-
водники ведут себя как диэлектрики.

При повышении же температуры элек-

троны с верхних уровней валентной
зоны I могут быть переброшены на
нижние уровни зоны проводимости II

(рис.

 При наложении на кристалл

электрического поля они перемещают-
ся против

 и создают электриче-

ский ток. Таким образом, зона II из-за

ее частичного «укомплектования» элек-
тронами становится зоной проводимо-

сти. Проводимость собственных полу-
проводников, обусловленная электрона-
ми, называется электронной проводи-

мостью или проводимостью п-типа

(от лат. negative — отрицательный).

В результате тепловых забросов элек-

тронов из зоны I в зону II в валентной
зоне возникают вакантные состояния,
получившие название дырок. Во внеш-

нем электрическом поле

 освободив-

шееся от электрона место — дырку —
может переместиться электрон с сосед-
него уровня, а дырка появится в том
месте, откуда ушел электрон, и т.д. Та-
кой процесс заполнения дырок элект-
ронами равносилен перемещению дыр-
ки в

 противоположном

движению электрона, так, как если бы
дырка обладала положительным заря-
дом, равным по величине заряду элек-

454