Курс физики для вузов - часть 111

стиц системы. Квантовая статистика
позволяет подсчитать среднее число
частиц в данном квантовом состоянии,
т. е. определить средние числа заполне-
ния

Идеальный газ из бозонов — бозе-

газ — описывается квантовой стати-

стикой Возе — Эйнштейна}. Распреде-

ление бозонов по энергиям вытекает из
так называемого большого канониче-

ского распределения Гиббса (с пере-
менным числом частиц) при условии,
что число тождественных бозонов в
данном квантовом состоянии может
быть любым (см. § 227):

(235.1)

Это распределение

 рас-

пределением Бозе — Эйнштейна. Здесь

 — среднее число бозонов в кванто-

вом состоянии с энергией

 посто-

янная Больцмана; Т — термодинами-
ческая температура;

 — химический

потенциал, который не зависит от энер-
гии, а определяется только температу-
рой и плотностью числа частиц.

Химический потенциал находится

обычно из условия, что сумма всех
равна полному числу частиц в системе.

Здесь

 0, так как иначе среднее чис-

ло частиц в данном квантовом состоя-
нии отрицательно, что не имеет физи-
ческого смысла.

 определяет измене-

ние внутренней энергии системы при
добавлении к ней одной частицы при
условии, что все остальные величины,
от которых зависит внутренняя энергия
(энтропия, объем), фиксированы.

Идеальный газ из фермиоиов —

ферми-газ — описывается квантовой
статистикой

 Рас-

Ш. Бозе (1894— 1974) — индийский физик.

 Э. Ферми

 — 1954) — итальянский фи-

 по энергиям

имеет вид

(235.2)

где

 — среднее число фермионов в

квантовом состоянии с энергией

 —

химический потенциал.

В отличие от (235.1)  может иметь

положительное значение (это не приво-

дит к отрицательным значениям чисел

 Это распределение называется

распределением Ферми

Если е

 1, то распределения

 Эйнштейна (235.1) и Ферми —

Дирака (235.2) переходят в классичес-

кое распределение Максвелла — Больц-
мана:

 =

 (235.3)

[ср. с

 (44.4)], где

(235.4)

Таким образом, при высоких темпе-

ратурах оба «квантовых» газа ведут
себя подобно классическому газу.

Система частиц называется вы-

рожденной, если ее свойства сущест-

венным образом отличаются от свойств
систем, подчиняющихся классической
статистике. Поведение как

так и ферми-газа отличается от класси-
ческого газа, они являются вырожден-

ными газами. Вырождение газов стано-
вится существенным при весьма низких
температурах и больших плотностях.

Параметром вырождения называет-

ся величина А. При А

 1, т.е. при ма-

лой степени вырождения, распределе-

ния Бозе

 (235.1) и Фер-

ми—Дирака (235.2) переходят в клас-
сическое распределение Максвелла —

Больцмана (235.3).

443

Температурой вырождения

 на-

зывается температура, ниже которой от-
четливо проявляются квантовые свой-
ства идеального газа, обусловленные
тождественностью частиц, т. е.

 — тем-

пература, при которой вырождение ста-
новится существенным. Если
поведение системы частиц (газа) опи-
сывается классическими законами.

§ 236. Вырожденный

электронный газ в металлах

Распределение электронов по раз-

личным квантовым состояниям подчи-

няется принципу Паули (см. § 227), со-
гласно которому в одном состоянии не
может быть двух одинаковых (с одина-
ковым набором четырех квантовых чи-
сел) электронов, они должны отличать-
ся какой-то характеристикой, например

направлением спина. Следовательно,
квантовой теории электроны в метал-

ле не могут располагаться на самом низ-

шем энергетическом уровне даже
О К. Согласно принципу Паули, элект-
роны вынуждены взбираться вверх «по
энергетической лестнице».

Электроны проводимости в металле

можно рассматривать как идеальный
газ, подчиняющийся распределению

Ферми

 (235.2). Если

 — хи-

мический потенциал электронного газа

при Т= О К, то, согласно (235.2), сред-
нее число

 электронов в кванто-

вом состоянии с энергией Е равно

(236.1)

Для фермионов (электроны являют-

ся фермионами) среднее число частиц
в квантовом состоянии и вероятность
заселенности квантового состояния со-
впадают, так как квантовое состояние
либо может быть не заселено, либо в
нем будет находиться одна частица. Это
означает, что для фермионов (N(E)) =

— f(E), где f(E) —функция распределе-

ния электронов по состояниям.

Из (236.1) следует, что при Т — О К

функция распределения (N(E)) = 1,
если Е <

 и (N(E)) = 0, если Е >

График этой функции приведен на рис.

 В области энергий от 0 до  фун-

кция (N(E)) равна единице. При Е=
она скачкообразно изменяется до нуля.

Это означает, что при Т = О К все ниж-
ние квантовые состояния, вплоть до
состояния с энергией Е =

 заполне-

ны электронами, а все состояния с энер-
гией, большей

 свободны. Следова-

тельно,

 есть не что иное, как макси-

мальная кинетическая энергия, которую
могут иметь электроны проводимости в
металле при О К. Эта максимальная ки-
нетическая энергия называется энерги-
ей Ферми  обозначается

 =

Поэтому распределение Ферми —Дира-
ка обычно записывается в виде

(236.2)

Рис.315

Наивысший энергетический уро-

вень, занятый электронами, называет-

 уровнем Ферми. Уровню Ферми со-

ответствует энергия Ферми

 кото-

рую имеют электроны на этом уровне.

444

Уровень Ферми, очевидно, будет тем
выше, чем больше плотность электрон-
ного газа. Работу выхода электрона из
металла нужно отсчитывать не от дна

«потенциальной ямы», как это делалось
в классической теории, а от уровня
Ферми, т.е. от верхнего из занятых

электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком вы-

соких температурах выполняется нера-
венство

 Это означает, что элек-

тронный газ в металлах практически
всегда находится в состоянии сильно-
го вырождения. Температура

 вырож-

дения (см. § 235) находится из условия

 —

 Она определяет границу, выше

которой квантовые эффекты перестают
быть существенными. Соответствую-
щие расчеты показывают, что для элек-
тронов в металле

 К, т. е. для всех

температур, при которых металл может
существовать в твердом состоянии,
электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от О К,

функция распределения Ферми
рака (236.2) плавно изменяется от 1 до
О в узкой области (порядка

 окре-

стности

 315, б). (Здесь же для

сравнения пунктиром приведена фун-
кция распределения при Г = О К.) Это
объясняется тем, что при Т > 0 неболь-
шое число электронов с энергией, близ-
кой к

 возбуждается вследствие теп-

лового движения и их энергия стано-

вится больше

 Вблизи границы Фер-

ми при Е <

 заполнение электрона-

ми меньше единицы, а при Е >

 —

больше нуля. В тепловом движении

участвует лишь небольшое число элек-
тронов, например при комнатной тем-

пературе Т  300 К и температуре вы-
рождения

 = 3 • 10

4

 К, — это

 от

общего числа электронов.

Если (Е — Ер)

 функ-

ции распределения), то единицей в зна-
менателе (236.2) можно пренебречь по

сравнению с

 и тогда рас-

пределение Ферми — Дирака переходит
в распределение Максвелла— Больцма-

 образом, при (Е —

 кТ,

т.е. при больших значениях энергии к
электронам в металле применима клас-
сическая статистика, в то же время, ког-
да (Е —

 кТ,  ним применима

только квантовая статистика Ферми —
Дирака.

§ 237. Понятие о квантовой

теории теплоемкости. Фононы

Квантовая статистика устранил а труд-

ности в объяснении зависимости тепло-
емкости газов (в частности, двухатом-
ных) от температуры (см. § 53). Соглас-
но квантовой механике, энергия враща-
тельного движения молекул и энергия
колебаний атомов в молекуле могут

 лишь дискретные значения.

Если энергия теплового движения

значительно меньше разности энергий
соседних уровней энергии (кТ
то при столкновении молекул враща-
тельные и колебательные степени сво-
боды практически не возбуждаются.

Поэтому при низких температурах по-

ведение двухатомного газа подобно од-
ноатомному. Так как разность между
соседними вращательными уровнями
энергии значительно меньше, чем между
колебательными, т.е.
(см. § 230), то с ростом температуры
возбуждаются вначале вращательные
степени свободы, в результате чего теп-
лоемкость увеличивается; при дальней-
шем повышении

 возбуж-

даются и колебательные степени свобо-
ды и происходит дальнейший рост теп-
лоемкости (см. рис. 82).

Функции распределения  Ф е р м и -

Дирака для Г = 0 К и Т > 0 К заметно
различаются (рис. 315) лишь в узкой

445

области энергий (порядка кТ). Следо-
вательно, в процессе

 металла

участвует лишь незначительная часть
всех электронов проводимости.

 и

объясняется отсутствие заметной раз-
ницы между теплоемкостями металлов
и диэлектриков, что не могло быть

объяснено классической теорией (см.
§

Как уже указывалось (см. § 73), клас-

сическая теория не смогла объяснить
также зависимость теплоемкости твер-
дых тел от температуры, а квантовая
статистика решила эту задачу. Так,
А. Эйнштейн, приближенно считая, что
колебания атомов кристаллической ре-
шетки независимы (модель кристалла
как совокупности независимых колеб-
лющихся с одинаковой частотой гармо-

нических осцилляторов), создал каче-
ственную квантовую теорию теплоем-
кости кристаллической решетки. Она
впоследствии была развита П.Дебаем,
который учел, что колебания атомов в
кристаллической решетке не являются
независимыми (рассмотрел непрерыв-
ный спектр частот гармонических ос-
цилляторов).

Рассматривая непрерывный спектр

частот осцилляторов, П. Дебай показал,
что основной вклад в среднюю энергию

квантового осциллятора вносят колеба-
ния низких частот, соответствующих
упругим волнам. Поэтому тепловое воз-
буждение твердого тела можно описать
в виде упругих волн, распространяю-
щихся в кристалле.

Согласно

му дуализму свойств вещества, упругим
волнам в кристалле сопоставляют фо-

 обладающие энергией Е =

Фонон есть квант энергии звуковой вол-

ны (так как упругие волны — волны
звуковые).

 являются квазича-

стицами — элементарными возбужде-
ниями, ведущими себя подобно микро-

частицам. Аналогично тому как кван-
тование электромагнитного излучения

привело к представлению о фотонах,
квантование упругих волн привело к
представлению о фононах.

Квазичастицы, в частности фононы,

сильно отличаются от обычных частиц
(например, электронов, протонов, фо-
тонов), так как они связаны с коллек-
тивным движением многих частиц си-
стемы. Квазичастицы не могут возни-

кать в вакууме, они существуют только

в кристалле. Импульс фонола облада-
ет своеобразным свойством: при стол-
кновении фононов в кристалле их им-

пульс может дискретными порциями
передаваться кристаллической решет-
ке

 он при этом не сохраняется. По-

этому в случае фононов говорят о ква-
зиимпульсе.

Энергия кристаллической решетки

рассматривается как энергия фононно-
го газа, подчиняющегося статистике

Бозе

 (см. § 235), так как

фононы являются бозонами
равен нулю). Фононы могут испускать-
ся и поглощаться, но их число не сохра-

няется постоянным; поэтому в форму-

ле (235.1) для фононов необходимо

положить равным нулю.

Применение статистики Бозе — Эйн-

штейна к фононному газу — газу из не-
взаимодействующих бозе-частиц —
привело П.Дебая к количественному
выводу, согласно которому при
ких температурах, когда Т
(классическая область), теплоемкость
твердых тел описывается законом Дю-
лонга и Пти (см. § 73), а при низких тем-
пературах, когда

 (квантовая об-

ласть), — пропорциональна кубу термо-
динамической температуры:

 В

данном случае

 — характеристи-

ческая температура Дебая, опреде-

ляемая соотношением

 —

 где

 —предельная частота упругих коле-

446