Курс физики для вузов - часть 112

баний кристаллической решетки. Та-
ким образом, теория Дебая объяснила
расхождение опытных и теоретических

(вычисленных на основе классической

теории) значений теплоемкости твер-
дых тел (см. § 73 и рис.

Модель квазичастиц — фононов —

оказалась эффективной для объясне-
ния открытого П.Л.Капицей явления
сверхтекучести жидкого гелия (см. § 31,
75). Теория сверхтекучести, созданная

(1941) Л.Д.Ландау и развитая (1947)

российским ученым Н.Н.Боголюбо-

вым (р. 1909), применена впоследствии
к явлению сверхпроводимости (см.

§ 239).

§ 238. Выводы квантовой теории

электропроводности металлов

Квантовая теория электропро-

водности металлов — теория элект-

ропроводности, основывающаяся на

квантовой механике и квантовой ста-
тистике Ферми — Дирака, — пересмот-
рела вопрос об электропроводности ме-
таллов, рассмотренный в классической
физике. Расчет электропроводности ме-
таллов, выполненный на основе этой
теории, приводит к выражению для
удельной электрической проводимости
металла

(238.1)

которое по внешнему виду напоминает
классическую формулу (103.2) для  но
имеет совершенно другое физическое
содержание. Здесь п — концентрация
электронов проводимости в металле;

 — средняя длина свободного про-

бега электрона, имеющего энергию Фер-
ми;

 — средняя скорость теплового

движения такого электрона.

Выводы, получаемые на основе фор-

мулы (238.1), полностью соответству-
ют опытным данным. Квантовая теория
электропроводности металлов, в част-
ности, объясняет зависимость удельной
проводимости от температуры:

T

[классическая теория (см. § 103) дает,

что

 1, а также аномально боль-

шие величины (порядка сотен периодов
решетки) средней длины свободного
пробега электронов в металле (см.
§

Квантовая теория рассматривает

движение электронов с учетом их взаи-

модействия с кристаллической решет-
кой. Согласно корпускулярно-волново-
му дуализму,

 электрона сопо-

ставляют волновой процесс. Идеальная
кристаллическая решетка (в ее узлах

находятся неподвижные частицы и в пей
отсутствуют нарушения периодичнос-
ти) ведет себя подобно оптически одно-

родной среде — она «электронные вол-

ны» не рассеивает. Это соответствует
тому, что металл не оказывает электри-
ческому току — упорядоченному движе-
нию электронов — никакого сопротив-

ления. «Электронные волны», распрос-
траняясь в идеальной кристаллической
решетке, как бы огибают узлы решетки

и проходят значительные расстояния.

В реальной кристаллической решет-

ке всегда имеются неоднородности, ко-
торыми могут быть, например, приме-
си, вакансии; неоднородности обуслов-

ливаются также тепловыми колебани-
ями. В реальной кристаллической ре-

шетке происходит рассеяние «элект-
ронных волн» на

 что

и является причиной электрического
сопротивления металлов. Рассеяние

«электронных воли» на неоднороднос-

тях, связанных с тепловыми колебани-
ями, можно рассматривать как столкно-
вения электронов с фононами.

447

Согласно классической теории, (и)

 поэтому она не смогла объяснить

истинную зависимость  от температу-
ры (см. § 103). В квантовой теории сред-
няя скорость

 от температуры прак-

тически не зависит, так как доказыва-
ется, что с изменением температуры
уровень Ферми остается практически
неизменным. Однако с повышением
температуры рассеяние «электронных
волн» на тепловых колебаниях решет-

ки (на фонолах) возрастает, что соот-
ветствует уменьшению средней длины
свободного пробега электронов. В об-
ласти комнатных температур

 Г"

1

,

поэтому, учитывая независимость (и) от
температуры, получим, что сопротивле-
ние металлов

 —) в соответствии с

данными опытов растет пропорцио-

нально

 Таким образом, квантовая те-

ория электропроводности металлов ус-
транила и эту трудность классической
теории.

§ 239. Сверхпроводимость.

Понятие об эффекте Джозефсона

Прежде чем на основе квантовой тео-

рии приступить к качественному объяс-
нению явления сверхпроводимости,
рассмотрим некоторые свойства сверх-
проводников.

Различные опыты, поставленные с

целью изучения свойств сверхпровод-
ников, приводят к выводу, что при пе-
реходе металла в сверхпроводящее со-
стояние не изменяется структура его
кристаллической решетки, не изменя-
ются его механические и оптические (в
видимой и инфракрасной областях)
свойства. Однако при таком переходе
наряду со скачкообразным изменением
электрических свойств качественно

 его магнитные и тепловые

свойства. Так, в отсутствие магнитного
поля переход в сверхпроводящее состо-
яние сопровождается
изменением теплоемкости, а при пере-
ходе в сверхпроводящее состояние во
внешнем магнитном поле скачком из-
меняются и теплопроводность, и тепло-
емкость (такие явления характерны для
фазовых переходов II рода; см. § 75).
Достаточно сильное магнитное

(а следовательно, и сильный электри-

ческий ток, протекающий по сверхпро-

воднику) разрушает сверхпроводящее
состояние.

Как показал немецкий физик В. Мейс-

снер (1882 — 1974), в сверхпроводящем
состоянии магнитное поле в толще
сверхпроводника отсутствует. Это озна-
чает, что при охлаждении сверхпровод-

ника ниже критической температуры
(см. § 98) магнитное поле из него вытес-
няется (эффект Мейсснера).

Общность эффектов, наблюдаемых

в сверхпроводящем состоянии различ-
ных металлов, их соединений и сплавов,
указывает па то, что явление сверхпро-
водимости обусловлено физическими
причинами, общими для различных ве-
ществ, т.е. должен существовать еди-
ный для всех сверхпроводников меха-
низм этого явления.

Физическая природа сверхпроводи-

мости была понята лишь в 1957 г. на
основе теории (создана Ландау в 1941 г.)
сверхтекучести гелия (см. § 237). Тео-
рия сверхпроводимости создана аме-
риканскими физиками

(1908-1991),

 (р. 1930) и

Д.Шриффером (р. 1931) и развита

Н.Н.Боголюбовым.

Оказалось, что помимо внешнего

сходства между

 (сверх-

текучая жидкость протекает по узким
капиллярам без трения, т.е. без сопро-
тивления течению) и сверхпроводимо-
стью (ток в сверхпроводнике течет без

448

сопротивления по проводу) существует

глубокая физическая аналогия: и сверх-

текучесть, и сверхпроводимость — это
макроскопический квантовый эффект.

Качественно явление сверхпроводи-

мости можно объяснить так. Между
электронами металла помимо кулонов-
ского отталкивания, в достаточной сте-
пени ослабляемого экранирующим дей-
ствием положительных ионов решетки,
в результате электрон-фононного вза-
имодействия (взаимодействия электро-
нов с колебаниями решетки) возника-
ет слабое взаимное притяжение. Это
взаимное притяжение при определен-
ных условиях может преобладать над
отталкиванием. В результате электро-
ны проводимости, притягиваясь, обра-
зуют своеобразное связанное состоя-
ние, называемое куперовской парой.

«Размеры» пары много больше (при-

мерно на четыре порядка) среднего меж-
атомного расстояния, т. е. между элект-

ронами, «связанными» в пару, находит-

ся много «обычных» электронов.

Чтобы куперовскую пару разрушить

(оторвать один из ее электронов), надо

затратить некоторую

 которая

пойдет на преодоление сил притяжения
электронов пары. Такая энергия может
быть в принципе получена в результа-
те взаимодействия с фононами. Одна-
ко пары сопротивляются своему разру-
шению. Это объясняется тем, что суще-
ствует не одна пара, а целый ансамбль
взаимодействующих друг с другом ку-
перовских пар.

Электроны, входящие в куперов-

скую пару, имеют противоположно на-
правленные спины. Поэтому спин та-
кой пары равен нулю и она представ-
ляет собой бозон. К бозонам принцип
Паули неприменим, и число бозе-час-

тиц, находящихся в
не ограничено. Поэтому при сверхниз-
ких температурах бозоны скапливают-

ся в основном состоянии, из которого
их довольно трудно перевести в воз-
бужденное. Система бозе-частиц — ку-
перовских пар, обладая устойчивостью
относительно возможности отрыва элек-
трона, может под действием внешнего

электрического поля двигаться без со-
противления со стороны проводника,
что и приводит к сверхпроводимости.

На основе теории сверхпроводимо-

сти английский физик Б.Джозефсон
(р. 1940) в 1962 г. предсказал эффект,
названный его именем (Нобелевская
премия 1973 г.). Эффект Джозефсо-
на (обнаружен в 1963 г.) — протекание
сверхпроводящего тока сквозь тонкий
слой диэлектрика (пленка оксида ме-
талла толщиной

 разделяющий

два сверхпроводника (так называемый
контакт Джозефсона).

Электроны проводимости проходят

сквозь диэлектрик благодаря туннель-
ному эффекту. Если ток через контакт
Джозефсона не превышает некоторого
критического значения, то падения на-
пряжения на нем нет (стационарный

эффект Джозефсона), если превыша-
ет — возникает падение напряжения U

 контакт излучает электромагнитные

волны (нестационарный эффект

Джозефсона). Частота у излучения

связана с U на контакте соотношением

2eU

v = ——— (е — заряд электрона). Воз-

никновение излучения объясняется
тем, что куперовские пары (они созда-
ют сверхпроводящий ток), проходя
сквозь контакт, приобретают относи-
тельно основного состояния сверхпро-
водника избыточную энергию. Возвра-
щаясь в основное состояние, они излу-
чают квант электромагнитной энергии

hv = 2eU.

Эффект Джозефсона используется

для точного измерения очень слабых

магнитных полей (до 10~

18

 Тл), токов

1 5 Курс физики

449

(до 10

 А) и напряжений (до 10

 В), щих элементов логических устройств

а также для создания быстродействую- ЭВМ и усилителей.

Контрольные вопросы

• Чем отличается бозе-газ от ферми-газа?
• Запишите распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака и объясните их физи-

ческий смысл. Когда они переходят в классическое распределение Максвелла — Больц-
маиа?

• В чем принципиальное отличие квантовой статистики от классической?
• Что такое фазовое пространство? фазовый объем?
• При каких условиях к электронам в металле можно применять классическую статисти-

ку, а когда — только квантовую?

• Как объясняет квантовая статистика отсутствие заметного отличия

 ме-

таллов и диэлектриков?

• Что такое

 Каковы его свойства?

• Как на основе понятий квантовой теории электропроводности металлов объяснить за-

висимость удельной проводимости от температуры ?

• Как объяснить явление сверхпроводимости?
• Что такое эффект Джозефсона?

ЗАДАЧИ

 Покажите, что при малом параметре вырождения распределения Бозе — Эйнштей-

на и Ферми

 переходят в распределение Максвелла —

30.2. Определите функцию распределения для электронов, находящихся на энергети-

ческом уровне Е, для случая (Е —

 кТ, пользуясь: 1) статистикой Ферми

2) статистикой Максвелла— Больцмана.

30.3. Определите в электрон-вольтах максимальную энергию Е фотона, который может

возбуждаться в кристалле

 характеризуемом температурой Дебая

 = 227 К. Фотон

какой длины волны X обладал бы такой

 [Е= 0,02 эВ; X = 63,5 мкм]

30.4. Глубина потенциальной ямы металла составляет

 эВ, а работа выхода 4 эВ. Опре-

делите полную энергию электрона на уровне Ферми. [Е = -4 эВ]

30.5. Электрон с кинетической энергией 4 эВ попадает в металл, при этом его кинетичес-

кая энергия увеличивается до 7 эВ. Определите глубину потенциальной ямы. [3 эВ]

 31

ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 240. Понятие в принципе можно рассмотреть задачу

о зонной теории твердых тел

 кристалле, например найти возмож-

ные значения его энергии, а также со-

Используя уравнение Шредингера — ответствующие энергетические

основное уравнение динамики в нере- ния. Однако как в классической, так и
лятивистской квантовой механике, — в квантовой механике отсутствуют ме-

450