Курс физики для вузов - часть 110

 осветил бы поверхность диаметром

примерно 40 000 км).

КПД лазеров колеблется в широких

пределах — от 0,01 (для гелий-неоново-
го лазера) до 75 % (для лазера на стек-
ле с неодимом), хотя у большинства
лазеров КПД составляет 0,1 — 1 %. Со-
здан мощный

 непрерывного

действия, генерирующий инфракрас-
ное излучение (X  10,6 мкм), КПД ко-
торого (30 %) превышает КПД суще-
ствующих лазеров, работающих при

 температуре.

Необычные свойства лазерного из-

лучения находят в настоящее время
широкое применение.

Использование лазеров для обработ-

ки, резания и микросварки твердых ма-
териалов оказывается экономически
более выгодным (например, пробива-
ние калиброванных отверстий в алма-

зе лазерным лучом сократило время с

24 ч до б — 8 мин). Лазеры применяют-
ся для скоростного и точного обнару-
жения дефектов в изделиях, для тон-
чайших операций (например, луч

лазера в качестве бескровного хирурги-
ческого ножа), для исследования меха-

низма химических реакций и влияния

на их ход, для получения сверхчистых
веществ. Широко используется лазер-
ное разделение изотопов, например та-
кого важного в энергетическом отноше-
нии элемента, как уран.

С помощью лазеров получают и ис-

следуют высокотемпературную плазму.

Эта область их применения связана с

развитием нового направления — ла-
зерного управляемого термоядерного
синтеза.

Лазеры широко используются в из-

мерительной технике. Лазерные интер-
ферометры (в них источником света
служит лазер) применяются для сверх-
точных дистанционных измерений ли-
нейных перемещений, коэффициентов
преломления среды, давления, темпера-
туры. Например, рассмотренный выше

гелий-неоновый лазер из-за излучения
высокой стабильности, направленнос-
ти и монохроматичности (полоса час-

тот 1 Гц при частоте 10

14

 Гц) незаменим

при

 и нивелировочных

работах.

Интересное применение лазеры на-

шли в голографии (см. § 184). Для со-
здания систем голографической памя-
ти с высокой степенью считывания и
большой емкостью необходимы газо-
вые лазеры видимого диапазона еще
более высокой монохроматичности и
направленности излучения.

Очень перспективны и интересны

полупроводниковые лазеры, так как
они обладают широким рабочим диапа-
зоном (0,7 — 30 мкм) и возможностью
плавной перестройки частоты их излу-
чения.

В настоящее время использование

лазеров столь обширно, что даже их пе-

речисление в объеме настоящего курса
просто невозможно.

Контрольные вопросы

Что характеризуют квантовые числа: главное, орбитальное и магнитное? Какие значе-

ния они могут принимать?

Каковы

 значения /и

 для главного квантового числа п = 5?

Сколько различных

 п = 4?

Каков квантово-механический смысл первого боровского радиуса?

Сравните плотности вероятности обнаружения электрона в основном состоянии атома

водорода согласно теории Бора и квантовой механики.

439

• Каковы правила квантования орбитального механического и собственного механическо-

го моментов импульса электрона? их проекций па

 внешнего магнитного поля?

• В чем суть принципа неразличимости тождественных частиц?
• Какие частицы являются бозонами?

 ?

• Почему атом водорода может иметь одну и ту же энергию, находясь в различных состо-

яниях?

• Как изменилась бы структура электронных оболочек атома, если бы электроны были не

 а бозонами?

• Сколько электронов может быть в атоме, у которого в основном состоянии заполнены

К-

 и два электрона в

 Что это за атом?

• Какие квантовые числа имеет внешний (валентный) электрон в основном состоянии

атома натрия?

• Запишите электронную конфигурацию для атомов: 1) пеона; 2) никеля; 3)

4) кобальта.

• Как объяснить происхождение коротковолновой границы спектра тормозного рентге-

новского излучения?

• Почему тормозное рентгеновское излучение имеет сплошной спектр, а характеристи-

ческое — линейчатый?

• В чем причина значительного различия оптического и характеристического рентгено-

вского спектров атома?

• Какая из трех

 характеристического рентгеновского спектра

 самая ко-

ротковолновая? самая интенсивная?

• Почему

 рентгеновского излучения в случае тяжелых элементов сопровождает-

ся появлением других серий?

• Как изменится интенсивность рентгеновского излучения и граница сплошного спектра

с увеличением напряжения между катодом и анодом? с увеличением накала нити катода?

• Каков механизм возникновения электронно-колебательных и колебательно-вращатель-

ных спектров?

• В чем заключается явление комбинационного рассеяния света?
• Что такое

 спутники?

 спутники?

• Возможно ли было бы вынужденное излучение, если фотоны были бы фермиоиами?

Ответ обосновать.

• Как осуществляются состояния с инверсией
• Какое условие необходимо для возникновения вынужденного излучения в веществе?
• Что можно сказать о фазе, поляризации и направлении испускаемых электромагнит-

ных волн в случае спонтанного излучения? в случае вынужденного излучения?

• Возможна ли работа лазера по двухуровневой схеме активной среды? Почему?
• Можно

 создать лазер па

• Каковы свойства лазерного излучения?
• Почему одним из обязательных компонентов лазера является оптический резонатор?

ЗАДАЧИ

 Определите, сколько различных волновых функций соответствует главному кван-

товому числу п = 5. [25]

29.2. Постройте и объясните диаграмму, иллюстрирующую расщепление энергетичес-

ких уровней и спектральных линий (с учетом правил отбора) при переходах между состоя-
ниями с

 2 и

 1.

29.3. Принимая, что уравнению Шрсдингсра для

 электрона в атоме

водорода удовлетворяет функция

 Се "  ( С — некоторая постоянная), покажите, что

440

л

 2

 первому боровскому радиусу. Учесть, что

 сфсрически-сим-

29.4 Электрон в атоме находится

 Определите: 1)

 импульса (орби-

тальный)

 электрона; 2) максимальное значение проекции момента импульса

правление внешнего магнитного

 2)

29.5. Заполненной электронной оболочке

 главное квантовое число п = 3.

Определите число электронов в

 оболочке, которые имеют следующие одинаковые кван-

товые числа: 1)

 =

 и

 2; 2)

 =

 = 0. [1) 5; 2) 3]

29.6. Минимальная длина волны рентгеновского излучения, полученного от трубки, ра-

ботающей при напряжении 50 кВ, равна 24,8 им. Определите по этим данным постоянную

Планка. [6,61

 с]

29.7. Определите самую длинноволновую линию

 характеристического рентге-

новского спектра, если анод рентгеновской трубки изготовлен из платины. Постоянную эк-

ранирования принять равной единице. [20 им].

 30

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ

§ 234. Квантовая статистика.

Фазовое пространство.

Функция распределения

Квантовая статистика — раздел

статистической физики, в котором изу-
чаются свойства систем, состоящих из
огромного числа частиц, подчиняю-
щихся законам квантовой механики.

В отличие от исходных положений

классической статистической физики,
в которой тождественные частицы раз-
личимы (частицу можно отличить от
всех таких же частиц), квантовая ста-

тистика основывается па принципе не-
различимости тождественных частиц

(см. § 226). При этом оказывается, как
будет показано ниже, что коллективы

частиц с целым и полуцелым спинами

подчиняются разным статистикам.

Пусть система состоит из

Введем в рассмотрение многомерное

пространство всех координат и импуль-
сов частиц системы. Тогда состояние
системы определяется заданием
ременных, так как состояние каждой

частицы определяется

 коорди-

нат х, у, z  тройкой соответствующих
проекций импульса

 Соответ-

ственно число «взаимно перпендику-
лярных» координатных осей данного
пространства равно 6N. Это
пространство называется фазовым
пространством.

Каждому микросостоянию системы

отвечает точка в

 -мерном фазовом

пространстве, так как задание точки фа-
зового пространства означает задание
координат и импульсов всех частиц си-
стемы. Разобьем фазовое пространство
на малые

 -мерные элементарные

ячейки объемом

 =

 •

где q — совокупность координат всех
частиц; р — совокупность проекций их
импульсов.

 дуализм

свойств вещества (см. § 213) и соотно-
шение неопределенностей Гейзенберга

(см. § 215) приводят к выводу, что объем

элементарной ячейки (он называется

441

фазовым объемом) не может быть мень-
ше чем

 (h — постоянная Планка).

Вероятность

 данного состояния

системы можно представить с помощью
функции распределения f(q,p):

(234.1)

Здесь

 вероятность того, что точ-

ка фазового пространства попадет в
элемент фазового объема

 распо-

ложенного вблизи данной точки q, p.

Иными словами, dW представляет со-
бой вероятность того, что система на-
ходится в состоянии, в котором ее ко-
ординаты и импульсы заключены в ин-
тервале q, q + dq  р, р + dp.

Согласно формуле (234.1), функция

распределения есть не что иное, как

плотность вероятности определенного
состояния системы, поэтому она долж-
на быть нормирована на единицу:

где интегрирование производится по
всему фазовому пространству.

Зная функцию распределения

 p),

можно решить основную задачу кван-
товой статистики — определить средние
значения величин, характеризующих
рассматриваемую систему. Среднее
значение любой функции

Если иметь дело не с координатами

и импульсами, а с энергией, которая
квантуется, то состояние системы ха-
рактеризуется не непрерывной, а диск-
ретной функцией распределения.

Явное выражение функции распре-

деления в самом общем виде получил

американский физик Д.Гиббс (1839 —

1903). Оно называется каноническим

распределением Гиббса. В квантовой

статистике каноническое распределе-
ние Гиббса имеет вид

где А — постоянная, определяемая из
условия нормировки к единице; п — со-
вокупность всех квантовых чисел, ха-
рактеризующих данное состояние.

Подчеркнем, что

 есть именно

вероятность данного состояния, а не ве-
роятность того, что система имеет оп-
ределенное значение энергии

 так

как данной энергии может соответство-
вать не одно, а несколько различных со-
стояний (может иметь место вырожде-
ние).

§ 235. Понятие о квантовой

статистике

и

Одним из важнейших «объектов»

изучения квантовой статистики, как и
классической, является идеальный газ.

Это связано с тем, что во многих случа-

ях реальную систему можно в хорошем

приближении считать идеальным га-
зом. Состояние системы невзаимодей-
ствующих частиц задается с помощью
так называемых чисел заполнения

 —

чисел, указывающих степень заполне-
ния квантового

 (характери-

зуется данным набором  квантовых
чисел) частицами системы, состоящей

из многих тождественных частиц.

Для систем частиц, образованных

бозонами — частицами с нулевым или
целым спином (см. § 226), числа запол-
нения могут принимать любые целые
значения:

 2, ... (см. § 227). Для си-

стем частиц, образованных фермиона-
ми — частицами с полуцелым спином

(см. § 226), числа заполнения могут

принимать лишь два значения: 0 — для
свободных состояний и 1 — для заня-
тых (см. § 227). Сумма всех чисел за-
полнения должна быть равна числу ча-

442