Курс физики для вузов - часть 105

уравнения типа (223.2) имеют решения,
удовлетворяющие требованиям одно-

значности, конечности и непрерывнос-
ти волновой функции

 только при

собственных значениях энергии

т.е. для дискретного набора отрица-
тельных значений энергии.

Таким образом, как и в случае «по-

тенциальной ямы» с бесконечно высо-
кими «стенками» (см. § 220) и гармо-

нического осциллятора (см. § 222), ре-
шение уравнения Шредингера для ато-
ма водорода приводит к появлению
дискретных энергетических уровней.
Возможные значения

 ... по-

казаны на рис. 305 в виде горизонталь-
ных прямых.

Самый нижний уровень

 отвеча-

ющий минимальной возможной энер-
гии, — основной, все остальные

 >

п =

 — возбужденные (см. §

При Е < 0 движение электрона явля-
ется связанным — он находится внут-
ри гиперболической «потенциальной

ямы». Из рисунка следует, что по мере
роста главного квантового числа п энер-
гетические уровни располагаются тес-
нее и при п = оо

 = 0. При Е > 0 дви-

жение электрона является свободным;

область непрерывного спектра Е > 0

(заштрихована на рис. 305) соответ-

ствует ионизованному атому. Энергия
ионизации атома водорода равна

Выражение (223.3) совпадает с фор-

мулой (212.3), полученной Бором для
энергии атома водорода. Однако если

Бору пришлось вводить дополнитель-

ные гипотезы (постулаты), то в кванто-
вой механике

 значения

энергии, являясь следствием

 те-

ории, вытекают непосредственно из ре-
шения уравнения Шредингера.

2. Квантовые числа. В квантовой

механике доказывается, что уравнению

Шредингера (223.2) удовлетворяют
собственные функции

 (г,

 оп-

ределяемые тремя квантовыми числа-
ми: главным п, орбитальным  и магнит-

ным

Главное квантовое число п, соглас-

но (223.3), определяет энергетические

уровни электрона в атоме и может при-

нимать любые целочисленные значе-
ния, начиная с единицы:

Из решения уравнения Шредингера

вытекает, что момент импульса (меха-
нический орбитальный момент) элект-

рона квантуется,  е. не может быть про-

извольным, а принимает дискретные
значения, определяемые по формуле

(223.4)

где  — орбитальное квантовое чис-

ло, которое при заданном п принимает

значения

  . . . , ( п - 1), (223.5)

т.е. всего п значений, и определяет мо-

мент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнений Шрединге-

ра следует также, что вектор

 момента

импульса электрона может иметь лишь
такие ориентации в пространстве, при
которых его проекция

 на направле-

ние z внешнего магнитного поля при-
нимает квантованные значения, крат-
ные

 =

 (223.6)

где

 ~ магнитное квантовое число,

которое при заданном  может прини-
мать значения

 =

 (223.7)

419

т.е. всего

 + 1 значений. Таким обра-

зом, магнитное квантовое число

 оп-

ределяет проекцию момента импульса
электрона на заданное направление,
причем вектор момента импульса элек-
трона в атоме может иметь в простран-

стве

 + 1

Наличие квантового числа т, долж-

но привести в магнитном поле к рас-
щеплению уровня с главным кванто-
вым числом п на

 + 1

 Со-

ответственно в спектре атома должно
наблюдаться расщепление спектраль-
ных линий. Действительно, расщепле-
ние энергетических уровней в магнит-
ном поле было обнаружено в 1896 г.
голландским физиком
(1865— 1945) и получило название эф-
фекта

 Расщепление

энергии во внешнем электрическом
поле, тоже доказанное
но, называется эффектом

Хотя энергия электрона (223.3) и

зависит только от главного квантового
числа п, но каждому собственному зна-
чению

 (кроме

 соответствует не-

сколько собственных функций

 от-

личающихся значениями /и

 Следо-

вательно, атом водорода может иметь
одно и то же значение энергии, находясь

в нескольких различных состояниях.

Так как при данном п орбитальное

квантовое число  может изменяться от
О до п — 1 [см. (223.5)], а каждому зна-
чению  соответствует 2/+ 1 различных
значений

 (223.7), то число различ-

ных состояний, соответствующих дан-
ному п, равно

(223.8)

Квантовые числа и их значения яв-

ляются следствием решений уравнений

И. Штарк (1874 — 1957) —

 физик.

 и условий однозначности,

непрерывности и конечности, налагае-
мых па волновую функцию

 Кроме

того, так как при движении электрона
в атоме существенны волновые свой-
ства электрона, то квантовая механика
вообще отказывается от классического
представления об электронных орби-
тах. Согласно

 механике, каж-

дому энергетическому состоянию соот-

ветствует волновая функция, квадрат
модуля которой определяет вероят-
ность обнаружения электрона в едини-
це объема.

Вероятность обнаружения электро-

на в различных частях атома неодина-
кова. Электрон при своем движении как
бы «размазан» по всему объему, обра-
зуя электронное облако, плотность (гу-
стота) которого характеризует вероят-
ность нахождения электрона в различ-
ных точках объема атома. Квантовые

числа п и  характеризуют размер

форму электронного облака, а
вое число

 ~ ориентацию электрон-

ного облака в пространстве.

В атомной физике,

 аналогии со

спектроскопией, состояние электрона,
характеризующееся квантовыми числа-
ми

 0, называют s-состоянием (элек-

трон в этом состоянии называют s-элек-

 —

 —

 = 3 — /-состоянием и

т. д. Значение главного квантового чис-

ла указывается перед условным обозна-
чением орбитального квантового чис-

ла. Например, электроны в состояниях
с п  2 и

 0 и 1 обозначаются соответ-

ственно символами 2s  2р.

На рис. 306 для примера приведено

распределение электронной плотности

(формы электронного облака) для состо-

яний атома водорода при п= 1  п = 2,

определяемое

 Как видно из ри-

сунка, оно зависит от п,

 Так, при

 0 электронная плотность отлична от

420

 306

нуля в центре и не зависит от направ-

ления (сферически-симметрична), а
для остальных состояний в центре рав-

на нулю и зависит от направления.

3. Спектр. Квантовые числа /, п

позволяют более полно описать спектр
испускания (поглощения) атома водо-
рода, полученный в теории Бора (см.
рис. 297).

В квантовой механике вводятся пра-

вила отбора, ограничивающие число
возможных переходов электронов в
атоме, связанных с испусканием и по-
глощением света. Теоретически доказа-
но и экспериментально подтверждено,
что для

 излучения электро-

на, движущегося в центрально-симмет-
ричном поле ядра, могут осуществлять-
ся только такие переходы, для которых:

1) изменение орбитального кванто-

вого числа Д  удовлетворяет условию

(223.9)

2) изменение магнитного квантово-

го числа

 удовлетворяет условию

В оптических спектрах указанные

правила отбора в основном выполняют-
ся. Однако в принципе могут наблю-
даться и слабые «запрещенные» линии,
например возникающие при переходах
с

 2. Появление этих линий объяс-

няется тем, что строгая теория, запрещая

дипольные переходы, разрешает перехо-
ды, соответствующие излучению более
сложных систем зарядов, например
квадруполей. Вероятность же квадру-

 переходов (переходы с

 2)

во много раз меньше вероятности ди-

польиых переходов, поэтому «запре-
щенные» линии и являются слабыми.

Учитывая число возможных состо-

яний, соответствующих данному п, и
правило отбора (223.9), рассмотрим
спектральные линии атома водорода

(рис. 307). Серии Лаймана соответству-

ют переходы

пр

 s

 ...);

 Бальмера —

 (n = 3, 4,  . . . ) ;

и т. д.

421

Переход электрона из основного со-

стояния в возбужденное обусловлен
увеличением энергии атома и может
происходить только при сообщении
атому энергии извне, например за счет
поглощения атомом фотона. Так как
поглощающий атом находится обычно
в основном состоянии, то спектр атома
водорода должен состоять из линий,
соответствующих переходам

(п=

 3, ...), что находится в полном

согласии с опытом.

§ 224.

 электрона

в атоме водорода

 электрона в атоме во-

дорода является сферически-симмет-
ричным. Волновая функция  электро-

на в этом состоянии определяется толь-
ко расстоянием  электрона от ядра, т. е.

 в индексе соот-

ветственно указывают, что п —

 = 0 и

 — 0. Уравнению Шредингера для

 электрона в атоме водоро-

да удовлетворяет функция вида

 =

 (224.1)

где, как можно показать,
величина, совпадающая с первым оо-
ровским радиусом а [см. (212.2)] для
атома водорода; С — некоторая посто-
янная, определяемая из условия норми-
ровки вероятностей (216.3).

Благодаря сферической симметрии

 вероятность обнаружения

электрона на расстоянии  одинакова
по всем направлениям. Поэтому эле-
мент объема dV, отвечающий одинако-
вой плотности вероятности, обычно
представляют в виде объема сферичес-
кого слоя радиусом  и толщиной dr:
dV =

 Тогда, согласно условию

нормировки вероятностей

 с уче-

том (224.1),

После интегрирования получим

(224.2)

Подставив выражение (224.2) в фор-

мулу (224.1), определим нормирован-
ную волновую функцию, отвечающую

 «-состоянию электрона в атоме водо-

рода:

(224.3)

Вероятность обнаружить электрон в

элементе объема [см. (216.2)] равна

Подставив в эту формулу волновую

функцию (224.3), получим плотность

вероятности

Вычислим те расстояния

 от ядра,

на которых электрон может быть обна-
ружен с наибольшей вероятностью.
Исследуя выражение — па максимум,

получим, что

 = а. Следовательно,

электрон может быть обнаружен с наи-
большей вероятностью на расстояниях,
равных боровскому радиусу, т. е. имеет-
ся равная и наибольшая вероятность
обнаружения электрона во всех точках,
расположенных на сферах радиуса а с
центром в ядре атома.

Казалось бы, квантово-механиче-

 расчет дает полное согласие с тео-

рией Бора. Однако, согласно квантовой

механике, плотность вероятности лишь

422