Курс физики для вузов - часть 103

Подставив в (220.5) значение к из

(220.6), найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А най-

дем из условия нормировки (216.3),

которое для данного случая запишется
в виде

В результате интегрирования полу-

 А —

 а собственные функции

будут иметь вид

I рафики собственных функции

(220.8), соответствующие уровням

энергии (220.7) при п=1,2, 3, приведе-
ны на рис. 300, а. На рис. 300, б изобра-

жена плотность вероятности обнаруже-
ния частицы на различных расстояни-

ях от «стенок» ямы, равная

 =

 для п= 1, 2 и 3. Из рисун-

ка следует, что, например, в квантовом
состоянии с п = 2 частица не может на-
ходиться в середине «ямы», в то время
как одинаково часто может пребывать
в ее левой и правой частях. Такое пове-

дение частицы указывает на то, что

представления о траекториях частицы
в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (220.7) вытекает, что

энергетический интервал между двумя
соседними уровнями равен

Например, для электрона при раз-

мерах ямы  — 10"

1

 м (свободные элек-

троны в металле)

 10

 Дж

 т. е. энергетические уровни

расположены столь тесно, что спектр
практически можно считать непрерыв-
ным. Если же размеры ямы соизмери-
мы с атомными

 м), то для

электрона

 Дж

 эВ,

т.е. получаются явно дискретные зна-
чения энергии (линейчатый спектр).

Таким образом, применение уравне-

ния Шредингера к частице в «потенци-
альной яме» с бесконечно высокими

«стенками» приводит к квантованным

значениям энергии, в то время как клас-
сическая механика на энергию этой ча-
стицы никаких ограничений не накла-
дывает.

Кроме того,

рассмотрение данной задачи приводит

к выводу, что частица «в потенциаль-
ной яме» с бесконечно высокими «стен-
ками» не может иметь энергию меньше

минимальной, равной

 [см. (220.7)].

Наличие отличной от нуля мини-

мальной энергии не случайно и выте-
кает из соотношения неопределеннос-

тей. Неопределенность координаты Ах
частицы в «яме» шириной

 Ах=

Тогда, согласно соотношению неопре-
деленностей

 импульс не может

иметь точное, в данном случае нулевое,
значение. Неопределенность импульса

 Такому разбросу значений

V

411

импульса соответствует кинетическая

энергия

Все остальные уровни (п > 1) име-

ют энергию, превышающую это мини-
мальное значение.

Из формул (220.9) и (220.7) следу-

ет, что при больших квантовых числах

т. е. соседние уровни расположены тес-

но: тем теснее, чем больше п. Если п
очень велико, то можно говорить о
практически непрерывной последова-
тельности уровней и характерная осо-
бенность квантовых процессов — диск-
ретность — сглаживается. Этот резуль-
тат является частным случаем принци-
па соответствия Бора (1923), соглас-
но которому законы квантовой механи-
ки должны при больших значениях

квантовых чисел переходить в законы
классической физики.

Более общая трактовка принципа

соответствия: всякая новая, более
общая теория, являющаяся развитием
классической, не отвергает ее полнос-
тью, а включает в себя классическую
теорию, указывая границы ее примене-
ния, причем в определенных предель-
ных случаях новая теория переходит в
старую. Так, формулы кинематики и
динамики специальной теории относи-
тельности переходят при v

 с в форму-

лы механики Ньютона. Например, хотя

гипотеза да Бройля приписывает вол-
новые свойства всем телам, но в тех слу-
чаях, когда мы имеем дело с макроско-

пическими телами, их волновыми свой-
ствами можно пренебречь, т.е. приме-

нять классическую механику Ньютона.

§ 221. Прохождение частицы

сквозь потенциальный барьер.

Туннельный эффект

 простейший потенци-

альный барьер прямоугольной формы
(рис.

 для одномерного (по оси

движения частицы. Для потенциально-

го барьера прямоугольной формы вы-
сотой

 шириной /можем записать

При данных условиях задачи клас-

сическая частица, обладая энергией Е,
либо беспрепятственно пройдет над ба-
рьером (при Е > U), либо отразится от
него (при Е < U)  будет двигаться в
обратную сторону, т.е. она не может
проникнуть сквозь барьер. Для микро-
частицы, даже при Е > U, имеется от-
личная от нуля вероятность, что части-

ца отразится от барьера и будет двигать-
ся в обратную сторону. При Е <U име-
ется также отличная от нуля вероят-
ность, что частица окажется в области

х>  т.е. проникнет сквозь барьер. По-

добные, казалось бы, парадоксальные

выводы следуют непосредственно из
решения уравнения Шредингера, опи-

412

сывающего движение микрочастицы
при условиях данной задачи.

Уравнение

 (217.5) для

стационарных состояний для каждой из
выделенных

 рис. 301, а области име-

ет

(для областей

(для области

Общие решения этих дифференци-

альных уравнений:

(221.2)

(для области

 =

(для области 2);

(для области 3).

В частности, для области 1 полная

волновая функция, согласно (217.4),
будет иметь вид

Решение (221.3) содержит также

волны (после умножения на временной
множитель), распространяющиеся в
обе стороны. Однако в области 3 име-
ется только волна, прошедшая сквозь

барьер и распространяющаяся слева
направо. Поэтому коэффициент
формуле (221.3) следует принять рав-
ным нулю.

В области 2 решение зависит от со-

отношений E>U или Е <U. Физичес-
кий интерес представляет случай, ког-

да полная энергия частицы меньше вы-

соты потенциального барьера, посколь-
ку при Е

 законы классической фи-

зики однозначно не разрешают части-
це проникнуть сквозь барьер. В данном
случае, согласно

 q =

 — мни-

мое число, где

 значение q и

 0, полу-

чим решения уравнения Шредингера
для трех областей в следующем виде:

В этом выражении первое слагаемое

представляет собой плоскую волну
типа (219.3), распространяющуюся в
положительном направлении оси х (со-
ответствует частице, движущейся в сто-
рону барьера), а второе — волну, рас-

пространяющуюся в противоположном
направлении, т. е. отраженную от барь-
ера (соответствует частице, движущей-
ся от барьера налево).

(для области 3).

В области 2 функция

 уже не

соответствует плоским волнам, распро-
страняющимся в обе стороны, посколь-
ку показатели степени экспонент не
мнимые, а действительные. Можно по-
казать, что для частного случая высо-
кого и широкого барьера, когда

 1,

Качественный характер функций

 и

 иллюстрируется на

рис. 301,

 откуда следует, что волно-

413

 функция не равна нулю и внутри ба-

рьера, а в области 3, если барьер не
очень широк, будет опять иметь вид
волн де Бройля с тем же импульсом, т. е.
с той же частотой, но с меньшей ампли-
тудой. Следовательно, получили, что
частица имеет отличную от нуля веро-
ятность прохождения сквозь потенци-
альный барьер конечной ширины.

Таким образом, квантовая механика

приводит к принципиально новому спе-
цифическому квантовому явлению, по-
лучившему название туннельного эф-
фекта, в результате которого микро-
объект может «пройти» сквозь потен-
циальный барьер.

Для описания туннельного эффек-

та используют понятие коэффициента
прозрачности D потенциального барье-
ра, определяемого как отношение плот-
ности потока прошедших частиц к
плотности потока падающих. Можно
показать, что

Для того чтобы найти отношение

, необходимо воспользоваться ус-

ловиями непрерывности

 и

 на гра-

ницах барьера х  0 и х =  (рис.

(221.6)

Эти четыре условия дают возмож-

ность выразить коэффициенты

 и

 через

 Совместное решение

уравнений

 для прямоугольного

потенциального барьера дает (в предпо-
ложении, что коэффициент прозрачно-
сти мал по сравнению с единицей)

(221.7)

где

 — постоянный множитель, кото-

рый можно приравнять единице; U —
высота потенциального барьера; Е —

энергия частицы;  — ширина барьера.

Из выражения (221.7) следует, что

D сильно зависит от массы т частицы,

ширины / барьера и от (U —

 чем

шире барьер, тем меньше вероятность
прохождения сквозь него частицы.

Для потенциального барьера произ-

вольной формы (рис. 302), удовлетво-
ряющей условиям так называемого ква-

зиклассического приближения (доста-

точно гладкая форма кривой), имеем

где U= U(x).

С классической точки зрения про-

хождение частицы сквозь потенциаль-
ный барьер при Е <U невозможно, так
как частица, находясь в области барье-
ра, должна была бы обладать отрица-
тельной кинетической энергией. Тун-
нельный эффект является специфиче-
ским квантовым эффектом.

Прохождение частицы сквозь об-

ласть, в которую, согласно законам клас-
сической механики, она не может про-

никнуть, можно пояснить соотношени-
ем неопределенностей. Неопределен-
ность импульса Ар на отрезке Ах =  со-
ставляет Ар > —. Связанная с этим раз-
бросом в значениях импульса кинети-

 302

414