Курс физики для вузов - часть 101

неопределенность скорости,

 (215.4), круговой орбите радиуса

 м

его скорость v  2,3 •

 м/с. Таким об-

разом, неопределенность скорости со-
измерима со скоростью. Очевидно, что
в данном случае нельзя говорить о дви-
жении электрона в атоме по определен-
ной траектории, иными словами, для

описания движения электрона в атоме
нельзя пользоваться законами класси-

ческой физики.

В квантовой теории рассматривает-

ся также соотношение неопределенно-
стей для энергии и времени:

т. е. не будет сказываться при всех ско-
ростях, с которыми пылинка может

двигаться.

Таким образом, для макроскопичес-

ких тел их волновые свойства не игра-
ют никакой роли; координата и ско-
рость макротел могут быть одновремен-
но измерены достаточно точно. Это оз-
начает, что для описания движения
макротел с абсолютной достоверностью
можно пользоваться законами класси-
ческой механики.

Предположим, пучок электронов

движется вдоль оси х со скоростью v =

= 10

8

 м/с, определяемой с точностью до

0,01 %

 10

4

 М/С).

 Какова

 ТОЧНОСТЬ

определения координаты электрона?

По формуле (215.4),

т.е. положение электрона может быть
определено с точностью до тысячных
долей миллиметра. Такая точность до-
статочна, чтобы можно было говорить
о движении электронов по определен-
ной траектории, иными словами, опи-
сывать их движение законами класси-
ческой механики.

Применим соотношение неопреде-

ленностей к электрону, движущемуся в
атоме водорода. Допустим, что неопре-
деленность координаты электрона

 10~

10

 м (порядка размеров самого ато-

ма, т. е. можно считать, что электрон при-
надлежит данному атому). Тогда, со-

гласно (215.4),

 =

 =

= 7,28 • 10

6

 м/с. Используя законы клас-

сической физики, можно показать, что
при движении электрона вокруг ядра по

(215.5)

Подчеркнем, что АЕ — неопределен-

ность энергии некоторого состояния
системы, At — промежуток времени, в
течение которого оно существует. Сле-
довательно, система, имеющая среднее
время жизни At, не может быть охарак-
теризована определенным значением
энергии; разброс энергии АЕ = — воз-
растает с уменьшением среднего време-
ни

Из выражения (215.5) следует, что

частота излученного фотона также дол-

 АЕ

жна иметь неопределенность Av  ,

h

т. е. линии спектра должны характери-

 АЕ

зоваться

 .

h

Опыт подтверждает, что все спектраль-

ные линии размыты; измеряя ширину
спектральной линии, можно оценить
порядок времени существования атома
в возбужденном состоянии.

§ 216. Волновая функция

и ее статистический смысл

Экспериментальное подтверждение

идеи де Бройля об универсальности
корпускулярно-волнового дуализма,

403

ограниченность применения классиче-

ской механики к микрообъектам, дик-
туемая соотношением неопределенно-
стей, а также противоречие целого ряда
экспериментов с применяемыми в на-
чале XX в. теориями привели к новому
этапу развития квантовой теории — со-
зданию квантовой механики, описы-
вающей законы движения и взаимодей-
ствия микрочастиц с учетом их волно-

вых свойств. Ее создание и развитие
охватывает период с 1900 г. (формули-
ровка Планком квантовой гипотезы; см.
§ 200) до 20-х годов XX в.; оно связано
прежде всего с работами австрийского
физика Э.Шредингера
немецкого физика В. Гейзенберга и ан-
глийского физика П.Дирака

 —

1984).

При становлении квантовой механи-

ки возникли принципиальные трудно-
сти, в частности проблема физической

природы волн де Бройля. Для выясне-
ния этой проблемы сравним дифрак-
цию световых волн и микрочастиц. Диф-

ракционная картина, наблюдаемая для
световых волн, характеризуется тем,
что в результате наложения дифраги-
рующих волн друг на друга в различ-

ных точках пространства происходит
усиление или ослабление амплитуды
колебаний. Согласно волновым пред-
ставлениям о природе света, интенсив-
ность дифракционной картины пропор-
циональна квадрату амплитуды свето-
вой волны. По представлениям фотон-
ной теории, интенсивность определяет-
ся числом фотонов, попадающих в дан-
ную точку дифракционной картины.
Следовательно, число фотонов в дан-
ной точке дифракционной картины за-
дается квадратом амплитуды световой
волны, в то время как для одного фото-
на квадрат амплитуды определяет веро-
ятность попадания фотона в ту или
иную точку.

Дифракционная картина, наблюда-

емая для микрочастиц, также характе-
ризуется неодинаковым распределени-
ем потоков микрочастиц, рассеянных
или отраженных по различным направ-
лениям, — в одних направлениях на-
блюдается большее число частиц, чем
в других.

Наличие максимумов в дифракци-

онной картине с точки зрения волновой
теории означает, что эти направления
соответствуют наибольшей интенсив-
ности волн де Бройля. С другой сторо-
ны, интенсивность волн де Бройля ока-
зывается больше там, где имеется боль-
шее число частиц, т.е. интенсивность
волн де Бройля в данной точке про-
странства определяет число частиц, по-

павших в эту точку. Таким образом,

дифракционная картина для микроча-

стиц является проявлением статисти-
ческой (вероятностной) закономерно-
сти, согласно которой частицы попада-
ют в те места, где интенсивность волн
де Бройля наибольшая.

 вероятностного

подхода к описанию микрочастиц явля-
ется важнейшей отличительной особен-
ностью квантовой теории. Можно ли

 де Бройля истолковывать как

волны вероятности, т. е. считать, что ве-
роятность обнаружить микрочастицу в
различных точках пространства меня-
ется по волновому закону? Такое тол-
кование воли де Бройля уже неверно
хотя бы потому, что тогда вероятность
обиаружить частицу в некоторых точ-
ках пространства может быть отрица-
тельна, что не имеет смысла.

Чтобы устранить эти трудности, не-

мецкий физик М.Борн (1882-1970)
в 1926 г. предположил, что по волново-
му закону меняется

 сама вероят-

ность, а величина, названная ампли-
тудой вероятности  обозначаемая

 Эту величину называют так-

404

же волновой функцией (или
кцией). Амплитуда вероятности мо-

жет быть комплексной, и вероятность

W пропорциональна квадрату ее мо-

дуля:

(216.1)

 Ф*  функция, комплексно

сопряженная с Ф). Таким образом, опи-
сание состояния микрообъекта с помо-
щью волновой функции имеет стати-
стический, вероятностный харак-
тер: квадрат модуля волновой функ-
ции (квадрат модуля амплитуды волн
де Бройля) определяет вероятность на-
хождения частицы в момент времени

в области с координатами

 х + dx, у и

у  dy, z  z+ dz.

Итак, в квантовой механике состоя-

ние микрочастиц описывается принци-
пиально по-новому — с помощью волно-
вой функции, которая является основ-

 носителем информации об их кор-

пускулярных и волновых свойствах.

Вероятность нахождения частицы в

элементе объемом dV равна

Величина (квадрат модуля

имеет смысл плотности вероятнос-
ти,  е. определяет вероятность нахож-
дения частицы в окрестности точки с
координатами х,

 z. Таким образом,

физический смысл имеет не сама Ф-
функция, а квадрат ее модуля |Ф|

2

, ко-

торым задается интенсивность воли де
Бройля.

Вероятность найти частицу в момент

времени t в конечном объеме

 согласно

теореме сложения вероятностей, равна

Так как

 V определяется как веро-

ятность, то необходимо волновую фун-
кцию Ф нормировать так, чтобы веро-
ятность достоверного события обраща-
лась в единицу, если за объем
бесконечный объем всего пространства.

Это означает, что при данном условии

частица должна находиться где-то в
пространстве. Следовательно, условие

нормировки вероятностей

 (216.3)

где данный интеграл вычисляется но

всему бесконечному пространству, т. е.
по координатам х, у, z от -оо до
Таким образом, условие

 говорит

об объективном существовании части-
цы в пространстве.

Чтобы волновая функция являлась

объективной характеристикой состоя-
ния микрочастиц, она должна удовлет-
ворять ряду ограничительных условий.

Функция Ф, характеризующая вероят-

ность обнаружения действия микроча-
стицы в элементе объема, должна быть
конечной (вероятность не может быть
больше единицы), однозначной (вероят-
ность не может быть неоднозначной
величиной) и непрерывной (вероят-
ность не может изменяться скачком).

Волновая функция удовлетворяет

принципу суперпозиции: если система
может находиться в различных состоя-
ниях, описываемых волновыми функ-
циями

 ...,

 ..., то она также

может находиться в состоянии Ф, опи-
сываемом линейной комбинацией этих
функций:

где

 (п = 1, 2, ...) — произвольные,

вообще говоря, комплексные числа.
Сложение волновых функций (амплитуд

405

вероятностей), а не вероятностей (оп-
ределяемых квадратами модулей вол-
новых функций) принципиально отли-
чает квантовую теорию от классической
статистической теории, в которой для
независимых событий справедлива те-
орема сложения вероятностей.

Волновая функция Ф, являясь ос-

новной характеристикой состояния
микрообъектов, позволяет в квантовой
механике вычислять средние значения
физических величин, характеризующих
данный микрообъект. Например, сред-
нее расстояние (г) электрона от ядра
определяют по формуле

где интегрирование производится, как
и в случае

§ 217. Общее уравнение

Шредингера.

Уравнение Шредингера

для стационарных состояний

Из статистического толкования волн

де Бройля (см. §

 и соотношения не-

определенностей Гейзенберга (см. § 215)
следовало, что уравнением движения
в квантовой механике, описывающим

движение микрочастиц в различных

силовых полях, должно быть уравне-
ние, из которого бы вытекали наблю-
даемые на опыте волновые свойства
частиц.

Основное уравнение должно быть

уравнением относительно волновой
функции

 так как именно она,

или, точнее, величина |Ф|

2

, определяет

вероятность пребывания частицы в мо-
мент времени t в объеме dV,

 в обла-

сти с координатами  и х + dx,

 y+dy,

z и

 Так как искомое уравнение

должно учитывать волновые свойства
частиц, то оно должно быть волновым

уравнением, подобно уравнению, опи-

сывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивист-

ской квантовой механики сформулиро-
вано в 1926 г. Э.Шредингером. Урав-
нение Шредингера, как и все основные
уравнения физики (например, уравне-
ния Ньютона в классической механике
и уравнения Максвелла для электро-
магнитного поля), не выводится, а по-
стулируется. Правильность этого урав-
нения подтверждается согласием с опы-
том получаемых с его помощью резуль-
татов, что, в свою очередь, придает ему
характер закона природы. Уравнение

Шредингера имеет вид

 (217.1)

г

д

е

— масса частицы; А —

оператор Лапласа

— мнимая единица,

 y,z,t) —

потенциальная функция частицы в си-
ловом поле, в котором она движется;

 z,t) — искомая волновая функция

частицы.

Уравнение

 справедливо для

любой частицы (со спином, равным 0;

см. § 225), движущейся с малой (по
сравнению со скоростью света) скоро-
стью, т. е. со скоростью v

 с. Оно до-

полняется условиями, накладываемы-
ми на волновую функцию: 1) волновая
функция должна быть конечной, одно-
значной и непрерывной (см. § 216);

2) производные —, —, —-,

 долж-

дх ду

ны быть непрерывны; 3) функция |Ф|

2

должна быть интегрируема; это усло-
вие в простейших случаях сводится к

406