Курс физики для вузов - часть 99

гетическом состоянии. Следовательно,
идея Бора о существовании в атомах ста-

ционарных состояний блестяще выдер-
жала экспериментальную проверку.

Атомы ртути, получившие при соуда-

рении с электронами энергию АЕ, пере-
ходят в возбужденное состояние и дол-
жны возвратиться в основное, излучая
при этом, согласно второму постулату

Бора [см. (210.2)], световой квант с час-

тотой у =

 известному значению

АЕ = 4,86 эВ можно вычислить длину
волны излучения: X =

 255

Таким образом, если теория верна,

то атомы ртути, бомбардируемые элек-
тронами с энергией 4,86 эВ, должны яв-
ляться источником ультрафиолетового
излучения с X  255 нм. Опыт действи-
тельно обнаруживает одну ультрафио-
летовую линию с X

 254 нм. Таким об-

разом, опыты Франка и Герца экспери-
ментально подтвердили не только пер-

вый, но и второй постулат Бора. Эти
опыты имели огромное значение в раз-
витии атомной физики.

§ 212. Спектр атома водорода

по Бору

Постулаты, выдвинутые Бором, по-

зволили рассчитать спектр атома водо-
рода и водородоподобных систем —

систем, состоящих из ядра с

 Ze

 одного электрона (например, ионы

 а также теоретически вычис-

лить постоянную Ридберга.

Следуя Бору, рассмотрим движение

электрона в водородоподобной системе,

ограничиваясь круговыми стационарны-
ми орбитами. Решая совместно уравне-

т v

2

 Ze

2

нис (208.1) —-—  ,

получим выражение для радиуса п-и
стационарной орбиты:

(212.1)

где п= 1,2,3,... .

Из выражения

 следует, что

радиусы орбит растут пропорциональ-

но квадратам целых чисел.

Для атома водорода (Z = 1) радиус

первой орбиты электрона при п = 1, на-
зываемый первым воровским радиу-
сом

 равен

что соответствует расчетам на основа-

нии кинетической теории газов.

Полная энергия электрона в водоро-

доподобной системе складывается из
его кинетической энергии (

 по-

тенциальной энергии в электростати-
ческом

 ядра (

[учли,

 см. (208.1)].

Учитывая квантованные для радиуса

n-й стационарной орбиты значения

(212.1), получим, что энергия электро-
на может принимать только следующие

дозволенные дискретные значения:

ное Резерфордом, и уравнение

где знак «--» означает, что электрон на-
ходится в связанном состоянии.

Из формулы (212.3) следует, что

энергетические состояния атома обра-
зуют последовательность энергетиче-
ских уровней, изменяющихся в зависи-

395

мости от значения

 Целое число п в

выражении

 определяющее энер-

гетические уровни атома, называется
главным квантовым числом. Энерге-
тическое состояние с п = 1 является
основным (нормальным) состояни-
ем; состояния с п > 1 являются воз-
бужденными. Энергетический уро-
вень, соответствующий основному

стоянию атома, называется основным

(нормальным) уровнем; все остальные

уровни являются возбужденными.

Придавая п различные целочислен-

ные значения, получим для атома водо-
рода

 1), согласно формуле

возможные уровни энергии, схемати-
чески представленные на рис. 297.

Энергия атома водорода с увеличени-

ем п возрастает и энергетические уров-
ни сближаются к границе, соответству-
ющей значению п — ос. Атом водорода

обладает, таким образом, минимальной
энергией

 =

 при п= 1 и мак-

симальной

 = 0) при п = оо. Следо-

вательно, значение

 — 0 соответству-

ет ионизации атома (отрыву от него
электрона). Согласно второму постула-
ту Бора [см. (210.2)], при переходе ато-
ма водорода (Z = 1) из стационарного
состояния п в стационарное состояние т
с меньшей энергией испускается квант

откуда частота излучения

где R =

Воспользовавшись при вычислении

R современными значениями универ-
сальных постоянных, получим величи-
ну, совпадающую с экспериментальным

значением постоянной Ридберга в эм-

 297

пирических формулах для атома водо-
рода (см. § 209). Это совпадение убеди-
тельно доказывает правильность полу-
ченной Бором формулы (212.3) для
энергетических уровней водородопо-
добной системы.

Подставляя, например, в формулу

(212.4) т = 1  п = 2,3,4,..., получим
группу линий, образующих серию Лай-
мана (см. § 209) и соответствующих пе-
реходам электронов с возбужденных

уровней (?г = 2,3,4,...) на основной

(т= 1). Аналогично, при подстановке
т = 2,3,4,5,6  соответствующих им

значений п получим серии Бальмера,

Пашена, Брэкета, Пфунда и Хэмфри
(часть из них схематически представле-

на па рис. 297), описанные в § 209. Сле-
довательно, по теории Бора, количе-
ственно объяснившей спектр атома во-
дорода, спектральные серии соответ-
ствуют излучению, возникающему в
результате перехода атома в данное со-
стояние из возбужденных состояний,
расположенных выше данного.

Спектр поглощения атома водорода

является линейчатым, но содержит при

нормальных условиях только серию

 Он также объясняется теорией

Бора. Так как свободные атомы водоро-

да обычно находятся в

нии (стационарное состояние с наимень-

396

шей энергией при п = 1), то при сообще-
нии атомам извне определенной энергии
могут наблюдаться лишь переходы ато-
мов из основного состояния в возбуж-
денные (возникает серия Лаймана).

Теория Бора была крупным шагом

в развитии атомной физики и явилась
важным этапом в создании квантовой
механики. Однако эта теория обладает
внутренними противоречиями (с одной
стороны, применяет законы классичес-
кой физики, а с другой — основывается
на квантовых постулатах).

В теории Бора рассмотрены спект-

ры атома водорода и водородоподобных
систем и вычислены частоты спект-
ральных линий, однако эта теория не

смогла объяснить интенсивности спек-
тральных линий и ответить на вопрос:
почему совершаются те или иные пере-
ходы? Серьезным недостатком теории

Бора была невозможность описания с

ее помощью спектра атома гелия — од-
ного из простейших атомов, непосред-
ственно следующего за атомом водо-
рода.

Контрольные вопросы

• Почему

 атома оказалась несостоятельной?

• Почему из различных серий спектральных линий атома водорода первой была изучена

серия Бальмера?

• Какой смысл имеют числа

 обобщенной формуле Бальмера?

• Чему равна частота излучения атома водорода, соответствующая коротковолновой гра-

нице серии Брэкета?

• Разъясните смысл постулатов Бора. Как с их помощью

 линейчатый спектр

атома?

• На каких участках кривой рис. 296 наблюдаются упругие и пеупругие столкновения

электронов с атомами?

• Какие основные выводы можно сделать на основании опытов Франка и Герца?
• Атом водорода находится в состоянии с п — 5. Сколько линий содержит его спектр излу-

чения?

• Пользуясь моделью Бора, укажите спектральные линии, которые

переходе атома водорода из состояний с п = 3 и п — 4.

• Нанесите

 шкалу длин волн три линии каждой из первых двух спектральных серий

атома водорода.

• Почему спектр поглощения атома водорода содержит только серию Лаймана?
• Покажите, что формулу (212.3) можно записать в виде

 =

 , где

в электрон-вольтах.

ЗАДАЧИ

27.1. Определите максимальную и минимальную энергии фотона в ультрафиолетовой

серии спектра атома водорода (серии Лаймана).

 = 13,2 эВ,

 10,2 эВ)

27.2. Определите длину волны, соответствующую границе серии Бальмера. [364
27.3. Используя теорию

 определите орбитальный магнитный момент электрона,

движущегося по второй орбите атома водорода.

 =

 = 1,8 • 10~

23

 А • м'

2

]

21  Используя теорию

 определите изменение орбитального механического мо-

мента электрона при переходе его из возбужденного состояния (п = 2) в основное с испус-
канием фотона с длиной волны X = 1,212 • 10~

7

 м. [AL =  = 1,05 •

 Дж • с]

397

27.5. Определите потенциал ионизации атома водорода. [13,6 В]

27.6. Основываясь на том, что

 ионизации атома водорода  — 13,6 эВ, опреде-

лите второй потенциал возбуждения этого атома. [12,1 В]

27.7. Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода  = 13,6 эВ, опреде-

лите в электрон-вольтах этюргию фотона, соответствующую самой длинноволновой линии

серии

 [10,2 эВ]

Глава 28

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

§213. Корпускулярно-волновой

дуализм свойств вещества

Французский ученый Луи де Бройль

(1892 — 1987), осознавая существую-

щую в природе симметрию и развивая
представления о двойственной корпус-
кулярно-волновой природе света, выд-
винул в 1923 г. гипотезу об универсаль-
ности

 дуализ-

ма. Де Бройль утверждал, что не толь-

ко фотоны, но и электроны и любые
другие частицы материи наряду с кор-
пускулярными обладают также волно-
выми свойствами.

Итак, согласно де Бройлю, с каждым

микрообъектом связываются, с одной

стороны, корпускулярные характерис-
тики — энергия Е и импульс  ас дру-
гой — волновые характеристики — час-
тота v  длина волны X. Количествен-
ные соотношения, связывающие кор-
пускулярные и волновые свойства час-
тиц, такие же, как для фотонов:

Е

(213.1)

Смелость гипотезы де Бройля зак-

лючалась именно в том, что соотноше-

ние (213.1) постулировалось не только

для фотонов, но и для других микроча-
стиц (в частности, электронов). Таким

образом, любой частице, обладающей

импульсом, сопоставляют
процесс, длина волны которого опреде-
ляется по формуле де Бройля:

р

(213.2)

Вскоре гипотеза де Бройля была под-

тверждена экспериментально. В 1927 г.
американские физики К.Дэвиссон

(1881-1958) и Л.Джермер (1896 —

1971) обнаружили, что пучок электро-

нов, рассеивающийся от естественной

дифракционной решетки — кристалла

никеля, — дает отчетливую дифрак-
ционную картину. Дифракционные
максимумы соответствовали формуле

Вульфа — Брэггов (182.1),  брэгговская

длина волны оказалась в точности рав-
ной длине волны, вычисленной по фор-

муле (213.2).

В дальнейшем формула де Бройля

была подтверждена опытами П. С. Тар-
таковского и Г. Томсона, наблюдавших

дифракционную картину при прохож-
дении пучка быстрых электронов (энер-

гия

 кэВ) через металлическую

фольгу

Так как дифракционная картина ис-

следовалась для потока электронов, то
необходимо было доказать, что волно-
вые свойства присущи не только пото-
ку большой совокупности электронов,
но и каждому электрону в отдельности.

398