Курс физики для вузов - часть 102

условию нормировки

(216.3).

Чтобы прийти к уравнению Шредингера,

рассмотрим свободно движущуюся частицу,

которой, согласно

 де Бройля, сопостав-

ляется

 Для простоты рассмот-

рим одномерный случай. Уравнение плоской

волны, распространяющейся вдоль оси х,

имеет вид (см. § 154)

 t) = A cos

 -

или в комплексной записи

 t) —

Следовательно, плоская волна де Бройля

имеет вид

(217.2)

(учтено, что

 —

 = — ). В  к в а н т о в о й

 показатель экспоненты берут со

знаком « — »,

 поскольку физический

смысл имеет только |Ф|

2

, то это несуществен-

но. Тогда

Используя взаимосвязь между энерги-

ей Е и импульсом

 = -—) и подставляя

2т

выражения (217.3), получим дифференци-

альное уравнение

которое совпадает с уравнением

 для

случая U— О (мы рассматривали свободную

частицу).

Если частица движется в силовом поле,

характеризуемом потенциальной энерги-

ей U, то полная энергия Е складывается из

кинетической и потенциальной энергий.

Проводя аналогичные рассуждения и ис-

пользуя взаимосвязь между

 ('для

V

2

 случая

 = Е -U), придем к диффе-

ренциальному уравнению, совпадающему с

(217.1).

Приведенные рассуждения не долж-

ны восприниматься как вывод уравне-
ния Шредингера. Они лишь поясняют,
как можно прийти к этому уравнению.
Доказательством правильности уравне-
ния Шредингера является согласие с

опытом тех выводов, к которым
приводит.

Уравнение (217.1) является общим

уравнением Шредингера. Его также

называют уравнением Шредингера,
зависящим от времени. Для многих
физических явлений, происходящих в
микромире, уравнение (217.1) можно
упростить, исключив зависимость
времени, иными словами, найти урав-
нение Шредингера для стационарных
состояний — состояний с фиксирован-
ными значениями энергии. Это возмож-

но, если силовое поле, в котором час-

тица движется, стационарно, т. е. функ-
ция U=

 z) не зависит явно от вре-

мени и имеет смысл потенциальной
энергии.

В данном случае решение уравнения

Шредингера может быть представлено

в виде произведения двух функций,
одна из которых есть функция только
координат, другая — только времени,
причем зависимость от времени выража-

ется множителем е"

= е

, так что

(217.4)

где Е — полная энергия частицы, посто-

янная в случае стационарного поля.

Подставляя (217.4) в (217.1), получим

откуда после деления па общий множи-
тель е

 соответствующих преобра-

407

зовании придем к уравнению, опреде-
ляющему функцию

Уравнение

 урав-

нением Шредингера для стационар-
ных состояний. В это уравнение в ка-
честве параметра входит полная энер-

гия Е частицы. В теории дифференци-
альных уравнений доказывается, что
подобные уравнения имеют бесчислен-
ное множество решений, из которых по-
средством наложения граничных усло-
вий отбирают решения, имеющие фи-
зический

Для уравнения Шредингера такими

условиями являются условия регуляр-

ности волновых функций: волновые

функции должны быть конечными, од-
нозначными и непрерывными вместе со
своими первыми производными.

Таким образом, реальный физичес-

кий смысл имеют только такие реше-
ния, которые выражаются регулярны-
ми функциями

 Но регулярные реше-

ния имеют место не при любых значе-
ниях параметра Е, а лишь при опреде-
ленном их наборе, характерном для дан-
ной задачи. Эти значения энергии на-
зываются собственными. Решения же,
которые соответствуют собственным
значениям энергии, называются соб-
ственными функциями. Собственные
значения Е могут образовывать как не-
прерывный, так и дискретный ряд. В пер-
вом случае говорят о непрерывном, или
сплошном, спектре, во втором — о дис-
кретном спектре.

§ 218. Принцип причинности

в квантовой механике

Из соотношения неопределенностей

часто делают вывод о неприменимости

принципа причинности к явлениям,
происходящим в микромире. При этом
основываются на следующих соображе-
ниях. В классической механике, соглас-
но принципу причинности — принци-
пу классического детерминизма, по
известному состоянию системы в неко-
торый момент времени (полностью оп-
ределяется значениями координат и

импульсов всех частиц системы) и си-
лам, приложенным к ней, можно абсо-

лютно точно задать ее состояние в лю-

бой последующий момент. Следова-
тельно, классическая физика основыва-
ется на следующем понимании причин-
ности: состояние механической систе-
мы в начальный момент времени с из-
вестным законом взаимодействия час-
тиц есть причина, а ее состояние в пос-

 момент — следствие.

С другой стороны, микрообъекты не

могут иметь одновременно и опреде-
ленную координату, и определенную
соответствующую проекцию импульса

[задаются соотношением неопределен-

ностей

 поэтому и делается вы-

вод о том, что в начальный момент вре-
мени состояние системы точно не оп-
ределяется. Если же состояние системы
не определенно в начальный момент

времени, то не могут быть предсказаны
и последующие состояния, т. е. наруша-
ется принцип причинности.

Однако никакого нарушения прин-

ципа причинности применительно к
микрообъектам не наблюдается, по-
скольку в квантовой механике понятие
состояния микрообъекта приобретает
совершенно иной смысл, чем в класси-
ческой механике. В квантовой меха-
нике состояние микрообъекта полнос-
тью определяется волновой функцией

 квадрат модуля которой

 у,  t)\

2

 задает плотность вероятно-

сти нахождения частицы в точке с ко-
ординатами х, у, z.

408

В свою очередь, волновая функция

 удовлетворяет уравнению

Шредингера

 содержащему пер-

вую производную функции Ф по време-
ни. Это же означает, что задание функ-
ции

 (для момента времени

 опре-

деляет ее значение в последующие мо-
менты. Следовательно, в квантовой ме-
ханике начальное состояние

 есть

причина, а состояние Ф в последующий
момент — следствие. Это и есть форма
принципа причинности в квантовой
механике, т.е. задание функции

 пре-

допределяет ее значения для любых

последующих моментов. Таким обра-
зом, состояние системы микрочастиц,

определенное в квантовой механике,
однозначно вытекает из предшествую-
щего состояния, как того требует прин-
цип причинности.

§219. Движение

свободной частицы

Свободная частица — частица, дви-

жущаяся в отсутствие внешних полей.
Так как на свободную

 (пусть

она движется вдоль оси х) силы не дей-
ствуют, то потенциальная энергия час-

тицы U(x) = const и ее можно принять
равной нулю. Тогда полная энергия ча-
стицы совпадает с ее кинетической
энергией. В таком случае уравнение

Шредингера (217.5) для стационарных
состояний примет вид

(219.1)

Прямой подстановкой можно убе-

диться в том, что частным решением
уравнения (219.1) является функция

 —

 где А = const и к = const,

с собственным значением энергии

(219.2)

Функция

 =

 =

представляет собой только координат-
ную часть волновой функции

Поэтому зависящая от времени волно-

вая функция, согласно (217.4),

(здесь

 Функция

(219.3) представляет собой плоскую

монохроматическую волну де Бройля

[см. (217.2)].

Из выражения (219.2) следует, что

зависимость энергии от импульса

оказывается обычной для нерелятиви-
стских частиц. Следовательно, энергия
свободной частицы может принимать

любые значения (так как волновое чис-

ло к может принимать любые положи-
тельные значения), т. е. энергетический

спектр свободной частицы является
непрерывным.

Таким образом, свободная квантовая

частица описывается плоской монохро-

матической волной де Бройля. Этому
соответствует не зависящая от време-
ни плотность вероятности обнаружения
частицы в данной точке пространства

т. е. все положения свободной частицы
в пространстве являются равновероят-
ными.

§ 220. Частица в одномерной

прямоугольной «потенциальной

яме» с бесконечно высокими

«стенками»

Проведем качественный анализ ре-

шений уравнения Шредингера приме-

Рис. 299

нительно к частице в одномерной пря-
моугольной «потенциальной яме» с
бесконечно высокими «стенками». Та-
кая «яма» описывается потенциальной
энергией вида (для простоты принима-
ем, что частица движется вдоль оси х)

где

 ширина «ямы», а энергия отсчи-

тывается от ее дна (рис. 299).

Уравнение Шредингера (217.5) для

стационарных состояний в случае одно-
мерной задачи запишется в виде

По условию задачи (бесконечно вы-

сокие «стенки»), частица не проникает
за пределы «ямы», поэтому вероятность
ее обнаружения (а следовательно, и вол-
новая функция) за пределами «ямы»
равна нулю. На границах «ямы» (при

х— 0 и х =

 непрерывная волновая

функция также должна обращаться в
нуль. Следовательно, граничные усло-
вия в данном случае имеют вид

 =

 0. (220.2)

В пределах «ямы» (0  х

 урав-

нение Шредингера (220.1) сведется к

уравнению

где

(220.3)

(220.4)

Общее решение дифференциально-

го уравнения (220.3):

Так как по (220.2)

 = 0, то В = 0.

Тогда

(220.5)

Условие (220.2)

 = 0

выполняется только при

 где п —

целые числа, т. е. необходимо, чтобы

(220.6)

Из выражений (220.4) и (220.6) сле-

дует,

410

т. е. стационарное уравнение Шредин-
гера, описывающее движение частицы
в «потенциальной яме» с бесконечно
высокими «стенками», удовлетворяет-
ся только при собственных значени-

ях

 зависящих от целого числа п.

Следовательно, энергия

 частицы в

«потенциальной яме» с бесконечно вы-

сокими «стенками» принимает лишь
определенные дискретные значения, т. е.
квантуется.

Квантованные значения энергии

называются уровнями энергии, а чис-

ло п, определяющее энергетические
уровни частицы, называется главным

квантовым числом. Таким образом,
микрочастица в «потенциальной яме»
с бесконечно высокими «стенками»
может находиться только на определен-
ном энергетическом уровне

 или, как

говорят, частица находится в квантовом

 п.