Курс физики для вузов - часть 104

ческая энергия

 может оказаться

2т

достаточной для того, чтобы полная
энергия частицы оказалась больше по-
тенциальной.

Основы теории туннельных перехо-

дов заложены в работах Л. И. Мандель-

штама
Туннельное прохождение сквозь потен-
циальный барьер лежит в основе мно-
гих явлений физики твердого тела (на-
пример, явления в контактном слое на
границе двух полупроводников), атом-
ной и ядерной физики (например,
распад, протекание термоядерных реак-
ций).

§ 222. Линейный гармонический

осциллятор

в квантовой механике

Линейный гармонический осцил-

лятор — система, совершающая одно-

мерное движение под действием квази-
упругой силы, — является моделью, ис-
пользуемой во многих задачах класси-
ческой и квантовой теории (см. § 142).

Пружинный, физический и математи-

ческий маятники — примеры класси-
ческих гармонических осцилляторов.

Потенциальная энергия гармони-

ческого осциллятора [см. (141.5)] равна

(222.1)

где

 — собственная частота колебаний

осциллятора; т — масса частицы.

Зависимость (222.1) имеет вид пара-

болы (рис. 303), т.е. «потенциальная

яма» в данном случае является парабо-
лической.

Амплитуда малых колебаний клас-

сического осциллятора определяется
его полной энергией Е (см. рис. 17).

п = 2

 303

В точках с координатами

 полная

энергия Е равна потенциальной энер-
гии. Поэтому с классической точки зре-
ния частица не может выйти за преде-
лы области

 Такой выход

означал бы, что ее потенциальная энер-
гия больше полной, что абсурдно, так
как приводит к выводу, что кинетичес-
кая энергия отрицательна. Таким обра-
зом, классический осциллятор находит-
ся в «потенциальной яме» с координа-
тами

 х

 «без права выхо-

да» из нее.

Гармонический осциллятор в кван-

товой механике — квантовый осцил-
лятор — описывается уравнением
дингера

 учитывающим выраже-

ние (222.1) для потенциальной энергии.
Тогда стационарные состояния кванто-
вого осциллятора определяются урав-
нением Шредингера вида

= 0, (222.2)

где Е — полная энергия осциллятора.

В теории дифференциальных урав-

нений доказывается, что уравнение
(222.2) решается только при собствен-
ных значениях энергии

(222.3)

Формула (222.3) показывает, что

энергия квантового осциллятора может

415

иметь лишь дискретные значения, т. е.
квантуется. Энергия ограничена сни-
зу отличным от нуля, как и для прямо-
угольной «ямы» с бесконечно высоки-
ми «стенками» (см. § 220), минималь-
ным значением энергии

 =

 Су-

ществование минимальной энергии —
она называется энергией нулевых ко-

лебаний — является типичной для кван-

товых систем и представляет собой пря-
мое следствие соотношения неопреде-
ленностей.

Наличие нулевых колебаний означа-

ет, что частица не может находиться на
дне «потенциальной ямы» (независимо
от формы ямы). В самом деле, «падение
на дно ямы» связано с обращением в
нуль импульса частицы, а вместе с тем и
его неопределенности. Тогда неопреде-
ленность координаты становится сколь
угодно большой, что противоречит, в
свою очередь, пребыванию частицы в

«потенциальной яме».

Вывод о наличии энергии нулевых

колебаний квантового осциллятора про-
тиворечит выводам классической тео-
рии, согласно которой наименьшая

энергия, которую может иметь осцил-

лятор, равна нулю (соответствует поко-
ящейся в положении равновесия части-

це). Например, согласно выводам клас-
сической физики при Т = 0 энергия
колебательного движения атомов кри-
сталла должна была бы обращаться в
нуль. Следовательно, должно исчезать
и рассеяние света, обусловленное коле-
баниями атомов. Однако эксперимент
показывает, что интенсивность рассея-
ния света при понижении температуры
не равна нулю, а стремится к некоторо-
му предельному значению, указываю-
щему на то, что при Т

 0 колебания

атомов в кристалле не прекращаются.
Это является подтверждением наличия
нулевых колебаний.

о

Рис. 304

Из формулы (222.3) также следует,

что уровни энергии линейного гармо-
нического осциллятора расположены
на одинаковых расстояниях друг от
друга (см. рис. 303), а именно расстоя-
ние между соседними энергетическими
уровнями равно

 причем минималь-

ное значение энергии

 =

Строгое решение задачи о квантовом

осцилляторе приводит еще к одному
значительному отличию от классическо-
го рассмотрения. Квантово-механиче-
ский расчет показывает, что частицу
можно обнаружить за пределами дозво-
ленной области

 х

 (см.

рис. 17), в то время как с классической
точки зрения она не может выйти за
пределы этой области.

Таким образом, имеется отличная от

нуля вероятность обнаружить частицу
в той области, которая является клас-
сически запрещенной. Этот результат

(без его вывода) демонстрируется на

рис. 304, где приводится квантовая
плотность вероятности w обнаружения
осциллятора для состояния п = 1. Из
рисунка следует, что для квантового ос-
циллятора действительно плотность ве-
роятности w имеет конечные значения
за пределами классически дозволенной

области \х\

 т.е. имеется конеч-

ная (но небольшая) вероятность обна-
ружить частицу в области за предела-

416

ми «потенциальной ямы». Существова-

 возможностью прохождения

 отличных от нуля значений w за микрочастиц сквозь потенциальный ба-

пределами «потенциальной ямы» объяс-

 (см. §

Контрольные вопросы

• Чему равны фазовая и групповая скорости фотона?

• В каком случае и почему при УСЛОВИЯХ —-

 1 и —-  1 можно говорить о

нии частицы по определенной траектории?

• Как исходя из соотношения неопределенностей объяснить наличие

 шири-

ны

 линий?

• Что определяет квадрат модуля волновой функции?
•

 квантовая механика является статистической теорией?

• В чем отличие понимания причинности в классической и квантовой механике?
• Какова наименьшая энергия частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими

«стенками»?

• Больше или меньше энергия частицы, находящейся в «потенциальной яме» с бесконеч-

но высокими «стенками», в состоянии п = 3 но сравнению с состоянием п = 1? Во сколь-
ко раз?

• Какими свойствами микрочастиц обусловлен туннельный эффект?

• В чем отличие поведения классической и квантовой частиц с энергией Е < U при их

 к прямоугольному потенциальному барьеру конечной ширины?

• Как изменится коэффициент прозрачности потенциального барьера с ростом его высо-

ты? с увеличением массы частицы? с увеличением полной энергии частицы?

• Как изменится коэффициент прозрачности потенциального барьера с увеличением его

ширины в два раза?

• Чему равна разность энергий между четвертым и вторым энергетическими уровнями

квантового осциллятора?

• Может ли частица находиться па дне «потенциальной ямы»? Определяется ли это фор-

мой

• Зависит ли распределение энергетических уровней от формы «потенциальной ямы»?

Ответ проиллюстрировать.

• В чем отличие

 и классического описания гармонического ос-

циллятора? В выводах этих описаний?

ЗАДАЧИ

28.1. Свободная частица движется со скоростью

 Докажите, что выполняется соотно-

шение

 = с

2

.

28.2. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что

допускаемая неопределенность скорости составляет 1 % от ее числового значения, опреде-
лите неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае для элект-

рона понятие траектории? [Ах = 33 им; нет]

28.3.

 некоторой частицы имеет вид

 = — е

 где

 расстояние этой час-

тицы от силового центра, а — постоянная. Определите среднее расстояние

 частицы от

силового

 =

28.4. Запишите уравнение

 для стационарных состояний электрона, нахо-

дящегося в атоме водорода.

28.5. Электрон находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шири-

ной /с бесконечно высокими «стенками». Определите вероятность

 элект-

рона в средней трети «ямы», если электрон находится в возбужденном

 (п = 2).

Поясните физический смысл полученного

 изобразив графически плотность

вероятности обнаружения электрона в данном состоянии.

 0,195]

28.6. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину 0,1 им.

 в элект-

рон-вольтах разность энергий U — Е, при которой вероятность прохождения электрона

сквозь барьер составит 0,99. [0,1 мэВ]

Глава 29

ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКИ

АТОМОВ И МОЛЕКУЛ

§ 223. Атом водорода

в квантовой механике

Решение задачи об энергетических

уровнях электрона для атома водорода

(а также

 систем:

иона гелия

 двукратно ионизован-

ного лития

 и др.) сводится к зада-

че о движении электрона в

ском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодей-

ствия электрона с ядром, обладающим
зарядом Ze (для атома водорода Z  1),

(223.1)

где  — расстояние между электроном
и ядром.

Графически функция U(r) изображе-

на жирной кривой на рис. 305.

 с

уменьшением

 приближении

электрона к ядру) неограниченно убы-
вает.

Состояние электрона в атоме водо-

рода описывается волновой функци-

ей

 удовлетворяющей стационарному

уравнению Шредингера

 учиты-

вающему значение (223.1):

где т — масса электрона; Е — полная
энергия электрона в атоме.

Так как поле, в котором движется

электрон, является центрально-сим-
метричным, то для решения уравнения

(223.2) обычно используют сфериче-
скую систему координат:

 вда-

ваясь в математическое решение этой
задачи, ограничимся рассмотрением
важнейших результатов, которые из
него следуют, пояснив их физический

 Энергия. В теории дифференци-

альных уравнений доказывается, что

Рис. 305

418