Курс физики для вузов - часть 106

Рис. 308

при  = а достигает максимума, остава-
ясь отличной от нуля во всем простран-
стве (рис. 308). Таким образом, в основ-
ном состоянии атома водорода наибо-
лее вероятным расстоянием от электро-
на до ядра является расстояние, равное
боровскому радиусу. В этом заключа-

ется

 смысл бо-

ровского радиуса.

§ 225. Спин электрона.

Спиновое квантовое число

 и В.Герлах, проводя пря-

мые измерения магнитных моментов

(см. § 131), обнаружили в 1922 г., что

узкий пучок атомов водорода, заведо-
мо находящихся в

 в не-

однородном магнитном поле расщепля-
ется на два пучка. В этом состоянии мо-
мент импульса электрона равен нулю

[см. (223.4)]. Магнитный момент ато-

ма, связанный с орбитальным движени-
ем электрона, пропорционален механи-

ческому моменту [см.

 поэтому

он равен нулю и магнитное поле не дол-
жно оказывать влияния на движение
атомов водорода в основном состоянии,

т.е. расщепления быть не должно. Од-

нако в дальнейшем при применении
спектральных приборов с большой раз-
решающей способностью было доказа-
но, что спектральные

 атома во-

дорода обнаруживают тонкую структу-
ру (являются дублетами) даже в отсут-
ствие магнитного поля.

Для объяснения тонкой структуры

спектральных линий, а также ряда дру-
гих трудностей в атомной физике аме-
риканские физики Д.

 (1900 —

1974) и С. Гаудсмит

 - 1979) пред-

положили, что электрон обладает соб-
ственным неуничтожимым механиче-
ским моментом импульса, не связан-
ным с движением электрона в простран-
стве, — спином

 § 131).

Спин электрона (и всех других мик-

рочастиц) — квантовая величина, у нее
нет классического аналога; это внутрен-
нее неотъемлемое свойство электрона,
подобное его заряду и массе.

Если электрону приписывается соб-

ственный механический момент им-
пульса (спин)

 то ему соответствует

собственный магнитный момент
Согласно общим выводам квантовой
механики, спин квантуется по закону

где s — спиновое квантовое число.

По аналогии с орбитальным момен-

том импульса,

 спина кван-

туется так, что вектор  может прини-

мать 2 s + 1

 Так как в опы-

тах Штерна и Герлаха наблюдались
только две ориентации, то 2s + 1  2,
откуда s

 Проекция спина на на-

правление внешнего магнитного поля,

являясь квантованной величиной, оп-
ределяется выражением, аналогичным

(223.6):

где

 — магнитное спиновое кванто-

вое число; оно может иметь только два

значения:

 =

Таким образом, опытные данные

привели к необходимости характеризо-
вать электроны (и микрочастицы вооб-
ще) добавочной внутренней степенью
свободы. Поэтому для полного описа-

423

ния состояния электрона в атоме необ-
ходимо наряду с главным
и магнитным квантовыми числами за-
давать еще магнитное спиновое кван-
товое число.

§ 226. Принцип неразличимости

тождественных частиц.

Фермионы и бозоны

Если перейти от рассмотрения дви-

жения одной микрочастицы (одного
электрона) к

 сис-

темам, то проявляются особые свой-
ства, не имеющие аналога в классиче-
ской физике. Пусть
ческая система состоит из одинаковых
частиц, например электронов. Все элек-
троны имеют одинаковые физические
свойства — массу, электрический заряд,
спин и другие внутренние характерис-
тики (например,

 числа).

кие частицы называют тождествен-
ными.

Необычные свойства системы оди-

наковых тождественных частиц прояв-
ляются в фундаментальном принципе
квантовой механики — принципе не-

различимости тождественных час-

 согласно которому невозможно

экспериментально различить тожде-
ственные частицы.

В классической механике даже оди-

наковые частицы можно различить по
положению в пространстве и импуль-
сам. Если частицы в какой-то момент
времени пронумеровать, то в следую-
щие моменты

 можно просле-

дить за траекторией любой из них.

Классические частицы, таким образом,

 у

классическая механика систем из оди-
наковых частиц принципиально не от-
личается от классической механики
систем из различных частиц.

В квантовой механике положение

иное. Из соотношения неопределенно-
стей вытекает, что для микрочастиц во-
обще неприменимо понятие траекто-
рии; состояние микрочастицы описыва-
ется волновой функцией, позволяющей
вычислять лишь вероятность

 на-

хождения микрочастицы в окрестнос-
тях той или иной точки пространства.

Если же волновые функции двух тож-

дественных частиц в пространстве пе-
рекрываются, то разговор о том, какая
частица находится в данной области,

вообще лишен смысла: можно лишь го-
ворить о вероятности нахождения в
данной области одной из тождествен-
ных частиц.

 образом, в квантовой механи-

ке тождественные частицы полностью

теряют свою индивидуальность и ста-

новятся неразличимыми. Следует под-

черкнуть, что принцип неразличимос-
ти тождественных частиц не является

просто следствием вероятностной ин-
терпретации волновой функции, а вво-
дится в квантовую механику как новый
принцип, который, как уже указывалось,
является фундаментальным.

Принимая во внимание физический

смысл величины

 принцип неразли-

чимости тождественных частиц можно
записать в виде

где

 — соответственно совокуп-

ность пространственных и спиновых
координат первой и второй частиц. Из
выражения (226.1) вытекает, что воз-
можны два случая:

т.е. принцип неразличимости тожде-
ственных частиц ведет  определенному
свойству симметрии волновой функции.

Если при перемене частиц местами вол-

новая функция не меняет знака, то она

424

называется

 если меня-

ет — антисимметричной.

Изменение знака волновой функции

не означает изменения состояния, так
как физический смысл имеет лишь
квадрат модуля волновой функции. В
квантовой механике доказывается, что
характер симметрии волновой функции
не меняется со временем. Это же явля-
ется доказательством
симметрии или антисимметрии — при-
знак данного типа микрочастиц.

Установлено, что симметрия

 ан-

тисимметрия волновых функций опре-
деляется спином частиц. В зависимос-
ти от характера симметрии все элемен-
тарные частицы и построенные из них

системы (атомы, молекулы) делятся па

два класса. Частицы с полуцелым спи-
ном (например, электроны, протоны,
нейтроны) описываются антисиммет-

ричными волновыми функциями

чиняются статистике Ферми

рака] эти частицы называются ферми-

онами.

Частицы с

 или целочислен-

ным спином (например,

 фо-

тоны) описываются симметричными
волновыми функциями
статистике Бозе

 эти

частицы называются бозонами. Слож-

ные частицы (например, атомные ядра),
составленные из нечетного числа фер-
мионов,

 фермионами (сум-

марный спин —

 а из чет-

ного — бозонами (суммарный спин це-
лый).

Зависимость характера симметрии

волновых функций системы тожде-
ственных частиц от спина частиц тео-
ретически обоснована швейцарским
физиком В.Паули (1900-1958), что

явилось еще одним доказательством
того, что спин является фундамен-
тальной характеристикой микрочас-
тиц.

§ 227. Принцип Паули.

Распределение электронов

в атоме по состояниям

Если

 частицы имеют

одинаковые квантовые числа, то их вол-
новая функция симметрична относи-
тельно перестановки частиц. Отсюда
следует, что два одинаковых фермиона,
входящих в одну систему, не могут на-
ходиться в одинаковых состояниях, так
как для

 волновая функция

должна быть антисимметричной. Обоб-
щая опытные данные, В. Паули сформу-
лировал принцип, согласно которому
системы фермионов встречаются в
природе только  состояниях, описыва-
емых антисимметричными волновыми

функциями

формулировка принципа Паули).

Из этого положения вытекает более

простая формулировка принципа Пау-
ли, которая и была введена им в кван-
товую теорию (1925) еще до утвержде-
ния квантовой механики: в системе оди-
наковых

 любые два из них не

могут одновременно находиться  одном

 том же состоянии. Отметим, что чис-

ло однотипных бозонов, находящихся
в одном и том же состоянии,

 лими-

тируется.

Напомним, что состояние электро-

на в атоме однозначно определяется
набором четырех квантовых чисел:
главного п

 = 1, 2, 3,...),

орбитального
магнитного

магнитного спинового

Распределение электронов в атоме

подчиняется принципу Паули, кото-
рый может быть использован в его про-

стейшей формулировке: в одном и том

 атоме не может быть более одного

425

Главное квантовое число п

Символ оболочки

Максимальное число

электронов в оболочке

Орбитальное квантовое

Символ

Максимальное число

электронов в

1

К

2

0

2

2

L

8

0

2

1

3

м

18

0

3 s

2

1

2

3d

10

4

N

32

0

45

2

1

2

Ad

10

3

4/

14

5

О

50

0

5s

2

1

2

10

3

5/

14

4

18

электрона с одинаковым набором четы-

рех квантовых чисел п,

 т.е.

 /,

 = 0 или

где

 — число электронов,

находящихся в квантовом состоянии,
описываемом набором четырех кванто-
вых чисел: п, /,

Таким образом, принцип Паули ут-

верждает, что два электрона, связанные
в одном и том же атоме, различаются
значениями по крайней мере одного
квантового числа.

Согласно формуле (223.8), данному

п соответствует п

2

 различных состояний,

отличающихся значениями / и

 Кван-

товое число

 может принимать лишь

два значения

 Поэтому макси-

мальное число электронов, находящих-
ся в состояниях, определяемых данным
главным квантовым числом, равно

Совокупность электронов в

электронном атоме, имеющих одно и то
же главное квантовое число п, называ-
ют электронной оболочкой. В каждой
из оболочек электроны распределяют-
ся по

 соответствующим

данному

 Поскольку орбитальное

квантовое число принимает значения

от 0 до п — 1, число

 равно

порядковому номеру п оболочки. Коли-
чество электронов в гюдоболочке опре-

деляется магнитным и магнитным спи-

новым квантовыми числами: макси-
мальное число электронов в подоболоч-
ке с данным /равно 2(2/ + 1). Обозна-
чения оболочек, а также распределение
электронов по оболочкам и подоболоч-
кам

 в табл.

§ 228. Периодическая система

элементов Менделеева

Принцип Паули лежит в основе си-

стематики заполнения электронных со-
стояний в атомах и позволяет объяс-

нить Периодическую систему эле-

ментов Д.И.Менделеева (1869) —

фундаментальный закон природы, яв-
ляющийся основой современной хи-

мии, атомной и ядерной физики.

Д.И.Менделеев ввел понятие по-

рядкового номера Z химического эле-

мента, равного числу протонов в ядре и
соответственно равного общему числу
электронов в электронной оболочке
атома. Расположив химические элемен-
ты по мере возрастания порядковых но-
меров, он получил периодичность в из-

менении химических свойств элемен-
тов. Однако для известных в то время

426