Курс физики для вузов - часть 84

Следовательно, распространение света

от S  М происходит так, будто свето-
вой поток распространяется внутри

очень узкого канала вдоль SM, т. е. пря-

молинейно. Таким образом, принцип

Гюйгенса

 позволяет объяс-

нить прямолинейное распространение
света в однородной среде.

Правомерность деления волнового

фронта на зоны Френеля подтвержде-
на экспериментально. Для этого ис-
пользуются зонные пластинки — в про-
стейшем случае стеклянные пластинки,
состоящие из системы чередующихся
прозрачных и непрозрачных концент-

рических колец, построенных по прин-
ципу расположения зон Френеля, т.е.
с радиусами

 зон Френеля, определя-

емыми выражением (177.7) для задан-
ных значений а, Ь  X (т  0, 2, 4,... для
прозрачных и т — 1, 3, 5,... для непроз-
рачных колец). Если поместить зонную
пластинку в строго определенном мес-
те (на расстоянии а от точечного источ-
ника и на расстоянии Ь от точки наблю-
дения на линии, соединяющей эти две
точки), то для света длиной волны  она
перекроет четные зоны и оставит сво-
бодными нечетные, начиная с централь-
ной. В результате этого результирую-
щая амплитуда А

 +

 +

 + ...

должна быть больше, чем при полнос-
тью открытом волновом фронте. Опыт
подтверждает эти выводы: зонная пла-
стинка увеличивает освещенность в
точке М, действуя подобно собирающей

линзе.

§ 178. Дифракция Френеля

на круглом отверстии и диске

Дифракцию разделяют на два типа —

в зависимости от расстояний от источ-
ника и точки наблюдения (экрана) до
препятствия, расположенного на пути

распространения света. Первый тип
дифракции относится к случаю, когда
на препятствие падает сферическая или
плоская волна, а дифракционная кар-
тина наблюдается на экране, находя-
щемся за препятствием па конечном от
него расстоянии. Дифракционные яв-
ления этого типа впервые изучены Фре-

нелем и называются дифракцией Фре-
неля (или дифракцией в сходящихся

лучах).

При рассмотрении этого типа диф-

ракции воспользуемся гипотезой Фре-
неля (см. § 176), согласно которой часть
волнового фронта, закрытая экраном,

 действует вообще, а незакрытые уча-

стки волнового фронта действуют, как
в случае отсутствия экрана. Это при-
ближение вполне допустимо в случаях,
когда размеры отверстия значительно
больше длины волны X, так как влия-
ние экрана существенно лишь в непос-
редственной близости от его края (на
расстояниях, сравнимых с длиной вол-
ны X).

1. Дифракция на круглом отвер-

стии. Сферическая волна, распростра-
няющаяся из точечного источника S,
встречает на своем пути экран с круг-

лым отверстием. Дифракционную кар-
тину наблюдаем на экране Э в точке В,
лежащей на линии, соединяющей S с

центром отверстия (рис. 262). Экран па-
раллелен плоскости отверстия и нахо-

 262

335

дится от него на расстоянии Ь. Разобь-
ем открытую часть волновой поверхно-
сти  на зоны Френеля. Вид дифракци-
онной картины зависит от числа зон

Френеля, укладывающихся на откры-

той части волновой поверхности в плос-

кости отверстия. Амплитуда результи-
рующего колебания, возбуждаемого в
точке В всеми зонами [см. (177.1) и

(177.6)],

 знак «+» соответствует нечетным т

и «—» — четным т.

Если отверстие открывает нечетное

число зон Френеля, то амплитуда (ин-
тенсивность) в точке

 будет больше,

чем при свободном распространении
волны, если четное, то амплитуда (ин-
тенсивность) будет равна пулю.

Если отверстие открывает одну зону

Френеля, то в точке В амплитуда А =

т.е. вдвое больше, чем в отсутствие не-
прозрачного экрана с отверстием (см.

§ 177). Интенсивность света больше со-
ответственно в четыре раза.

Если отверстие открывает две зоны

Френеля, то их действия в точке В прак-

тически уничтожат друг друга из-за ин-
терференции. Таким образом, дифрак-
ционная картина от круглого отверстия
вблизи точки В будет иметь вид

 263

дующихся темных и светлых колец с

центрами в точке В (если т четное, то
в центре будет темное кольцо, если т
нечетное — то светлое кольцо), причем
интенсивность в максимумах убывает
с расстоянием от центра картины.

Расчет амплитуды результирующе-

го колебания на внеосевых участках
экрана более сложен, так как соответ-
ствующие им зоны Френеля частично
перекрываются непрозрачным экра-
ном. Если отверстие освещается не мо-

нохроматическим, а белым светом, то
кольца окрашены.

Число зон Френеля, открываемых

отверстием, зависит от его диаметра.
Если он большой, то

 и резуль-

тирующая амплитуда А = —, т.е. та-
кая же, как и при полностью открытом

волновом фронте. В данном случае

дифракции не наблюдается, свет рас-

пространяется, как и в отсутствие круг-

лого отверстия, прямолинейно.

2. Дифракция на диске. Сферичес-

кая волна, распространяющаяся от то-
чечного источника S, встречает на сво-
ем пути непрозрачный диск. Дифракци-
онную картину наблюдаем на экране Э
в точке В, лежащей на линии, соединя-
ющей S с центром диска (рис. 263).

В данном случае закрытый диском уча-
сток волнового фронта надо исключить
из рассмотрения и зоны Френеля стро-
ить, начиная с краев диска. Пусть диск

закрывает т первых зон Френеля. Тог-
да амплитуда результирующего колеба-

ния в точке В равна

336

так как выражения, стоящие в скобках,
равны нулю. Следовательно, в точке
всегда наблюдается интерференцион-
ный максимум (светлое пятно), соот-
ветствующий половине действия пер-
вой открытой зоны Френеля. Цент-

ральный максимум окружен концент-
рическими с ним темными и светлыми
кольцами, а интенсивность в максиму-
мах убывает с расстоянием от
картины.

С увеличением диаметра диска пер-

вая открытая зона Френеля удаляется
от точки В  увеличивается угол

 (см.

рис. 261) между нормалью к поверхно-

сти этой зоны и направлением на точ-
ку В. В результате интенсивность цен-

трального максимума с увеличением
размеров диска уменьшается.

 боль-

ших размерах диска за ним наблюдает-
ся тень, вблизи границ которой имеет
место весьма слабая дифракционная
картина.

§ 179. Дифракция Фраунгофера

на одной щели

Второй тип дифракции — дифрак-

ция

 (или дифракция в

параллельных лучах) наблюдается в

том случае, когда источник света и точ-
ка наблюдения бесконечно

 от

препятствия, вызвавшего дифракцию.
Чтобы этот тип дифракции осущест-
вить, достаточно точечный источник
света поместить в фокусе собирающей
линзы, а дифракционную картину ис-

следовать в фокальной плоскости вто-
рой собирающей линзы, установленной
за препятствием.

Рассмотрим дифракцию Фраунго-

фера от бесконечно длинной щели (для

этого практически достаточно, чтобы
длина щели была значительно больше
ее ширины). Пусть плоская монохрома-
тическая световая волна падает нор-
мально плоскости узкой щели шири-
ной а (рис. 264, а). Оптическая разность
хода между крайними лучами

 ND,

идущими от щели в произвольном на-
правлении

A

 (179.1)

где F — основание перпендикуляра,
опущенного из точки М на луч ND.

Согласно принципу Гюйгенса —

Френеля, каждая точка щели является

источником вторичных волн. Откры-

тую часть волновой поверхности в
плоскости щели

 на зоны

Френеля, имеющие вид полос, парал-

лельных ребру М щели. Ширина каж-
дой зоны выбирается так, чтобы раз-
ность хода от краев этих зон была рав-

на —, т. е. всего на ширине

 умес-

зон. 1 ак как свет на щель

2

Х/2

дает нормально, то плоскость щели со-

 (1787-1826)  немецкий

физик.

 264

337

впадает с волновым фронтом; следова-
тельно, все точки волнового фронта в
плоскости щели будут колебаться в
одинаковой фазе. Амплитуды вторич-
ных волн в плоскости щели будут рав-
ны, так как выбранные зоны Френеля
имеют одинаковые площади и одинако-
во наклонены к направлению наблюде-
ния.

Из выражения (179.1) вытекает, что

число зон Френеля, укладывающихся

на ширине щели, зависит от угла

 От

числа зон Френеля, в свою очередь, за-

висит результат наложения всех вто-
ричных волн. Из приведенного постро-
ения следует, что при интерференции
света от каждой пары соседних зон Фре-
неля амплитуда результирующих коле-
баний равна нулю, так как колебания от
каждой пары соседних зон взаимно га-
сят друг друга. Следовательно, если

число зон Френеля четное, то

 =

 (m = 1,2,3, ...), (179.2)

и в точке В наблюдается дифракцион-
ный минимум (полная темнота), если
же число зон Френеля нечетное, то

и наблюдается дифракционный мак-
симум, соответствующий действию од-
ной

 зоны Фре-

неля. Отметим, что в направлении  = О
щель действует как одна зона Френе-
ля, и в этом направлении свет распрос-
траняется с наибольшей интенсивнос-
тью, т.е. в точке

 наблюдается цент-

ральный дифракционный максимум.

Из условий (179.2) и (179.3) можно

найти

 на точки экрана, в

которых амплитуда (а следовательно, и
интенсивность) равна нулю

 =

=

 ) или максимальна

 =

). Распределение

сивности на экране, получаемое вслед-
ствие дифракции (дифракционный
спектр), приведено на рис. 264, б. Рас-
четы показывают, что интенсивности в
центральном и последующих макси-
мумах относятся как 1 : 0,047 : 0,017 :
0,0083 : ..., т. е. основная часть световой
энергии сосредоточена в центральном

максимуме. С уменьшением ширины
щели центральный максимум расширя-
ется [согласно (179.2) возрастают углы
Ф =

 которые соответствуют

минимумам первого порядка, ограни-
чивающим центральный максимум];
при этом яркость его уменьшается. Все
сказанное относится и к другим макси-
мумам.

С увеличением ширины щели

 >

дифракционные полосы становятся

уже и ярче, а число полос больше. При

а

 X в центре получается резкое изоб-

ражение источника света (имеет мес-

то прямолинейное распространение
света).

При а = \ (что соответствует sin

 = —) центральный максимум рас-

плывается в бесконечность и экран ос-
вещен равномерно. Отметим, что при

а  X приближенный метод Френеля не

применяют, так как волновое поле в
плоскости щели нельзя отождествлять
с неискаженным полем падающей вол-
ны. В данном случае необходимо стро-
гое решение задачи с использованием
уравнений Максвелла.

Положение дифракционных макси-

мумов зависит от длины волны X, по-
этому рассмотренная выше дифракци-
онная картина имеет место лишь для
монохроматического света. При осве-
щении щели белым светом централь-
ный максимум наблюдается в виде бе-
лой полоски; он общий для всех длин

338