Курс физики для вузов - часть 72

наблюдается интерференционный ми-
нимум: амплитуда результирующего ко-

называется порядком интерференци-
онного максимума или минимума.

Условия (156.1) и (156.2) сводятся

к тому,

(156.3)

Выражение (156.3) представляет со-

бой уравнение гиперболы с фокусами в
точки

 и

 Следовательно, геометри-

ческое место точек, в которых наблюда-
ется усиление или ослабление результи-
рующего колебания, представляет собой

семейство гипербол (см. рис. 223), от-
вечающих условию

 —

 —  Между

двумя интерференционными максиму-
мами (на рис. 223 сплошные линии)
находятся интерференционные мини-
мумы (на рис. 223 штриховые линии).

§ 157. Стоячие волны

Частным случаем интерференции

являются стоячие волны — это волны,
образующиеся при наложении двух бе-

гущих волн, распространяющихся на-

встречу друг другу с одинаковыми час-
тотами и амплитудами, а в случае по-
перечных волн еще и одинаковой поля-
ризацией.

Для вывода уравнения стоячей вол-

ны предположим, что две плоские вол-
ны распространяются навстречу друг

другу вдоль оси  в среде без затухания,
причем обе волны характеризуются
одинаковыми амплитудами и частота-
ми. Кроме того, начало координат вы-
берем в точке, в которой обе волны име-

ют одинаковую начальную фазу, а от-
счет времени начнем с момента, когда

начальные фазы обеих волн равны
нулю. Тогда соответственно

волны,

 вдоль по-

ложительного направления оси х,  вол-
ны, распространяющейся ей навстречу,
будут иметь вид

(157.1)

Сложив эти уравнения и учитывая,

что к —

 [см. (154.3)],

 дояв-

Л

 стоячей волны:

Из уравнения стоячей волны (157.2)

вытекает, что в каждой точке этой вол-
ны происходят колебания той же час-
тоты

 с амплитудой

 —

,

 от координа-

ты х

 точки.

В точках

амплитуда

 достигает макси-

мального значения, равного 2А. В точ-
ках среды, где

амплитуда колебаний обращается в
нуль. Точки, в которых амплитуда ко-
лебаний максимальна

 назы-

ваются пучностями стоячей волны, а
точки, в которых амплитуда колебаний
равна нулю

 — 0), называются уз-

лами стоячей волны. Точки среды, на-

ходящиеся в узлах, колебаний не совер-
шают.

Из выражений (157.3) и (157.4) по-

лучим соответственно координаты пуч-
ностей и узлов:

287

Из формул (157.5) и (157.6) следу-

ет, что расстояния между двумя сосед-

ними пучностями и двумя соседними

узлами одинаковы и равны

 Рассто-

яние между соседними пучностью и уз-
лом стоячей волны равно

В отличие от бегущей волны, все

точки

 совершают колебания с

одинаковой

 но с запазды-

ванием по фазе [в уравнении

 бе-

 волны фаза колебаний зависит от

координаты

 точки],

все точки стоячей волны между двумя
узлами колеблются  разными амплиту-

дами, но с одинаковыми фазами [в урав-
нении (157.2) стоячей волны аргумент
косинуса не зависит от х]. При переходе
через узел множитель  A cos

 х меня-

ет свой знак, поэтому фаза колебаний

Рис. 224

по разные стороны от узла отличается
на

 т. е. точки, лежащие по разные сто-

роны от узла, колеблются в противо-
фазе.

Образование стоячих волн наблюда-

ют при интерференции бегущей и отра-
женной волн. Если конец веревки зак-
репить неподвижно (например, к стене),
то отраженная в месте закрепления ве-
ревки волна будет интерферировать с бе-
гущей волной, образуя стоячую волну.

На границе, где происходит отражение
волны, в

 случае возникает узел.

Будет ли на границе отражения узел

или пучность, зависит от соотношения
плотностей сред. Если среда, от кото-
рой происходит отражение, менее плот-
ная, то в месте отражения возникает

пучность (рис. 224,

 если более плот-

ная — узел (рис. 224,

 Образование

узла связано с тем, что волна, отража-
ясь от более плотной среды, меняет
фазу на противоположную и у грани-

цы происходит сложение колебаний с
противоположными фазами, в резуль-
тате чего получается узел. Если же вол-
на отражается от менее плотной среды,
то изменения фазы не происходит и у
границы колебания складываются с
одинаковыми фазами — образуется
пучность.

Если рассматривать бегущую волну,

то в направлении ее распространения

переносится энергия колебательного

движения. В случае же стоячей волны
переноса энергии нет, так как падающая

и отраженная волны одинаковой амп-
литуды несут одинаковую энергию в
противоположных направлениях. По-
этому полная энергия результирующей
стоячей волны в пределах между узло-

выми точками остается постоянной.

Лишь в пределах расстояний, равных

половине длины волны, происходят
взаимные превращения кинетической;
энергии в потенциальную и обратно.

288

§ 158. Звуковые волны

Звуковыми (или акустическими)

волнами называются распространяю-
щиеся в среде упругие волны, обла-

дающие частотами в пределах 16 —

20 000 Гц. Волны указанных частот, воз-

действуя на слуховой аппарат челове-

ка, вызывают ощущение звука. Волны с
v < 16 Гц {инфразвуковые)  v > 20 кГц
{ультразвуковые) органами слуха че-

ловека не воспринимаются.

Звуковые волны в газах и жидкостях

могут быть только продольными, так
как эти среды обладают упругостью
лишь по отношению к деформациям

сжатия (растяжения). В твердых телах

звуковые волны могут быть как про-
дольными, так и поперечными, по-
скольку твердые тела обладают упруго-
стью по отношению к деформациям
сжатия (растяжения) и сдвига.

Интенсивностью звука (или си-

лой звука) называется величина, опре-

деляемая средней по времени энерги-
ей, переносимой звуковой волной в еди-
ницу времени сквозь единичную пло-
щадку, перпендикулярную направле-
нию распространения волны:

звука, которые способны вызвать зву-
ковое восприятие.

 рис. 225 представ-

лены зависимости порогов
ти и болевого ощущения от частоты
звука. Область, расположенная между
этими двумя кривыми, является обла-

стью слышимости.

Если интенсивность звука является

величиной, объективно характеризую-
щей волновой процесс, то субъективной
характеристикой звука, связанной с его
интенсивностью, является громкость

звука, зависящая от частоты. Согласно

физиологическому закону Вебера —

 с ростом интенсивности зву-

ка громкость возрастает по логарифми-
ческому закону. На этом основании
вводят объективную оценку громкости
звука по измеренному значению его
интенсивности:

 интенсивности звука в

 —

ватт на метр в квадрате (Вт/м

2

).

Чувствительность человеческого уха

различна для разных частот. Для того
чтобы вызвать звуковое ощущение,
волна должна обладать некоторой ми-
нимальной интенсивностью, но если эта

интенсивность превышает определен-
ный предел, то звук не слышен и вызы-

вает только болевое ощущение. Таким
образом, для каждой частоты колеба-
ний существуют наименьшая (порог
слышимости)

 наибольшая (порог

болевого ощущения)

где  — интенсивность звука на пороге
слышимости, принимаемая для всех

звуков равной

 Вт/м

2

.

Величина L называется уровнем ин-

тенсивности звука  выражается в
белах (в честь изобретателя телефона

Белла). Обычно пользуются единица-

ми, в 10 раз меньшими, — децибелами

Физиологической характеристикой

звука является уровень громкости, ко-
торый выражается в фонах (фон). Гром-
кость для звука в 1000 Гц (частота стан-
дартного чистого тона) равна 1 фон,

1 0 Курс фи

289

если его уровень интенсивности равен

1 дБ. Например, шум в вагоне метро

при большой скорости соответствует

 фон, а шепот на расстоянии

 —

 фон.

Реальный звук является наложени-

ем гармонических колебаний с боль-
шим набором частот, т. е. звук обладает
акустическим спектром, который мо-
жет быть сплошным (в некотором ин-
тервале присутствуют колебания всех
частот) и линейчатым (присутствуют
колебания отделенных друг от друга
определенных частот).

Звук характеризуется помимо гром-

кости еще высотой и тембром. Высота
звука — качество звука, определяемое
человеком субъективно на слух и зави-
сящее от частоты звука. С ростом час-
тоты высота звука увеличивается, т.е.
звук становится выше. Характер акус-
тического спектра и распределения
энергии между частотами определяет

своеобразие звукового ощущения, на-

зываемое тембром звука.

Так, различные певцы, берущие одну

и ту же ноту, имеют различный акусти-
ческий спектр, т. е. их голоса имеют раз-
личный тембр.

Источником звука может быть вся-

кое тело, колеблющееся в упругой сре-
де со звуковой частотой (например, в

струнных инструментах источником
звука является струна, соединенная с
корпусом инструмента).

Совершая колебания, тело вызыва-

ет колебания прилегающих к нему час-

тиц среды с такой же частотой. Состоя-

ние колебательного движения последо-
вательно передается к все более удален-
ным от тела частицам среды, т.е. в сре-
де распространяется волна с частотой
колебаний, равной частоте ее источни-
ка, и с определенной скоростью, зави-
сящей от плотности и упругих
среды. Скорость распространения зву-

ковых волн в газах вычисляется

 фор-

муле

(158.1)

отношение молярных

теплоемкостей газа при постоянных
давлении и объеме; R — молярная га-
зовая постоянная; Г — термодинамиче-

ская температура; М — молярная масса.

Из формулы (158.1) вытекает, что

скорость звука в газе не зависит от дав-
ления р газа, но возрастает с повыше-
нием температуры. Чем больше мо-
лярная масса газа, тем меньше в нем
скорость звука. Например, при Т =

= 273 К скорость звука в воздухе

 =

— 29 •

 кг/моль) v — 331 м/с, в водо-

роде

 2 •

 кг/моль) v = 1260 м/с.

Выражение (158.1) соответствует опыт-
ным данным.

При распространении звука в атмо-

сфере необходимо учитывать целый
ряд факторов: скорость и направление
ветра, влажность воздуха, молекуляр-
ную структуру газовой среды, явления
преломления и отражения звука на гра-
нице двух сред. Кроме того, любая ре-
альная среда обладает вязкостью, по-
этому наблюдается затухание звука, т. е.
уменьшение его амплитуды и, следова-

тельно, интенсивности звуковой волны
по мере ее распространения. Затухание
звука обусловлено в значительной мере
его поглощением в среде, связанным с
необратимым переходом звуковой энер-
гии в другие формы энергии (в основ-

ном в тепловую).

Для акустики помещений большое

значение

 реверберация звука —

процесс постепенного затухания звука
в закрытых помещениях после выклю-
чения его источника. Если помещения
пустые, то происходит медленное зату-
хание звука и создается «гулкость» по-

290