Курс физики для вузов - часть 71

том. Геометрическое место точек, ко-
леблющихся в одинаковой фазе, назы-
вается волновой поверхностью, Волно-

вых поверхностей можно провести бес-
численное множество, а волновой фронт
в каждый момент времени — один. Вол-
новой фронт также

 волновой

поверхностью. Волновые поверхности
могут быть любой формы, а в простей-
шем случае они представляют собой со-
вокупность плоскостей, параллельных

друг другу, или совокупность концент-
рических сфер. Соответственно волна

называется плоской или сферической.

§ 154. Уравнение бегущей волны.

Фазовая скорость.

Волновое уравнение

Бегущими волнами называются

волны, которые переносят в простран-
стве энергию. Перенос энергии волна-
ми количественно характеризуется
вектором плотности потока энер-
гии. Этот вектор для упругих

 на-

зывается вектором Умова [по имени
русского ученого

 А. Умова (1846 —

1915), решившего задачу о распростра-

нении энергии в среде]. Направление
вектора Умова совпадает с направлени-
ем переноса энергии, а его модуль ра-
вен энергии, переносимой волной за
единицу времени через единичную пло-
щадку, расположенную перпендику-

лярно направлению распространения

Для вывода уравнения бегущей вол-

ны — зависимости смещения колеблю-
щейся частицы от координат и време-
ни — рассмотрим плоскую волну, пред-
полагая, что колебания носят гармони-

ческий характер, а ось  совпадает с на-
правлением распространения волны

(см. рис. 222). В данном случае волно-

вые поверхности перпендикулярны
оси х, а так как все точки волновой по-
верхности колеблются одинаково, то
смещение  будет зависеть только от х
и t, т.е.

 t).

На рис. 222 рассмотрим некоторую

частицу В среды, находящуюся от ис-
точника

 О на расстоянии х.

Если колебания точек, лежащих в плос-
кости х — 0, описываются функцией

 = A

 то частица  среды ко-

леблется по тому же закону, но ее коле-
бания будут отставать по времени от ко-
лебаний источника на т, так как для
прохождения волной расстояния х тре-

 X

буется время т  —, где v — скорость
распространения волны. Тогда уравне-
ние колебаний частиц, лежащих в плос-
кости х, имеет вид

откуда следует, что

 является не

только периодической функцией вре-
мени, но и периодической функцией
координаты х. Уравнение (154.1) есть

уравнение бегущей волны. Если плос-

кая волна распространяется в противо-
положном направлении, то

В общем случае уравнение плоской

волны, распространяющейся вдоль по-
ложительного направления оси х в сре-

де, не поглощающей энергию, имеет вид

, (154.2)

где А — const — амплитуда волны;  —
циклическая частота;

 — началь-

ная фаза волны; определяемая в общем
случае выбором начал отсчета х и t;

раза плоской волны.

283

Для характеристики волн использу-

ется волновое число

(154.3)

Учитывая (154.3), уравнению (154.2)

можно придать вид

Уравнение волны, распространяю-

щейся вдоль отрицательного направле-
ния оси х, отличается от (154.4) только
знаком кх.

Основываясь на формуле Эйлера

(140.7), уравнение плоской волны мож-
но записать в виде

где физический смысл имеет лишь дей-
ствительная часть (см. § 140).

Предположим, что при волновом

процессе фаза постоянна, т. е.

Продифференцировав выражение (154.5)

и сократив на

 получим

 0,

откуда

Следовательно, скорость v распро-

странения волны в уравнении (154.6)
есть не что иное, как скорость переме-
щения фазы волны, и ее называют фа-

зовой скоростью.

Повторяя ход рассуждений для плос-

кой волны, можно доказать, что урав-
нение сферической волны — волны,
волновые поверхности которой имеют
вид концентрических сфер, записыва-
ется как

(154.7)

где г— расстояние от центра волны до

 точки среды.

В случае сферической волны даже в

среде, не поглощающей энергию, ампли-
туда колебаний не остается постоянной,
а убывает с

 по закону

Уравнение (154.7) справедливо лишь

для г, значительно превышающих раз-

меры источника (тогда источник коле-
баний можно считать точечным).

Из выражения (154.3) вытекает, что

фазовая скорость

(154.8)

Если фазовая скорость

 в среде

зависит от их частоты, то это явление
называют дисперсией волн, а среда, в
которой наблюдается дисперсия волн,

называется диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной

изотропной среде в общем случае опи-
сывается волновым уравнением —
дифференциальным уравнением в час-
тных производных

д

где v — фазовая скорость; А —

 +

д

2

 д

2

+

 +

 оператор Лапласа.

Решением уравнения (154.9) явля-

ется уравнение любой волны. Соответ-
ствующей подстановкой можно убе-
диться, что уравнению (154.9) удовлет-
воряют, в частности, плоская волна [см.

(154.2)] и сферическая волна [см.
(154.7)]. Для плоской волны, распрос-

траняющейся вдоль оси х, волновое
уравнение имеет вид

284

§ 155. Принцип суперпозиции.

Групповая скорость

Если среда, в которой распространя-

ется одновременно несколько волн,
линейна, т. е. ее свойства не изменяют-
ся под действием возмущений, создава-
емых волной, то к ним применим прин-
цип суперпозиции {наложения) волн:
при распространении в линейной сре-
де нескольких волн каждая из них рас-
пространяется так, как будто другие
волны отсутствуют, а результирующее
смещение частицы среды в любой мо-
мент времени равно геометрической
сумме смещений, которые получают ча-
стицы, участвуя в каждом из слагающих
волновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции и

разложения Фурье [см. (144.5)]. любая
волна может быть представлена в виде

суммы гармонических волн, т.е. в виде
волнового пакета, или группы волн.

Волновым пакетом называется су-

перпозиция волн, мало отличающихся

друг от друга по частоте, занимающая в

каждый момент времени ограниченную
область пространства.

Рассмотрим простейшую группу волн,

получающуюся в результате наложения
двух распространяющихся вдоль поло-
жительного направления оси х гармони-
ческих волн с одинаковыми амплитуда-
ми, близкими частотами и волновыми

числами, причем

 и dk

 Тогда

 =

 — кх) +

+

 +

 -

 +

 cos

Эта волна отличается от гармони-

ческой тем, что ее амплитуда

есть медленно изменяющаяся функция
координаты х  времени t.

За скорость распространения этой

негармонической

 (волнового па-

кета) принимают скорость перемеще-
ния максимума амплитуды волны, рас-
сматривая тем самым максимум в ка-

честве центра волнового пакета. При
условии, что

 —

 = const, полу-

чим

(155.1)

Скорость и есть групповая ско-

рость. Ее можно определить как ско-

рость движения группы волн, образу-

ющих в каждый момент времени лока-
лизованный в пространстве

пакет. Выражение (155.1) получено для
простейшей группы волн из двух со-
ставляющих, однако оно справедливо и
для суперпозиции многих волн.

Рассмотрим связь между групповой

[см. (155.1)] и фазовой v = —

 скоростями. Учитывая, что

[см. (154.3)], получим

(155.2)

285

Из формулы (155.2) вытекает, что и

может быть как меньше, так и больше v

dv

в зависимости от знака —. В недис-

пергирующей среде — = 0 и группо-

d\

вая скорость совпадает с фазовой.

Понятие групповой скорости очень

важно, так как именно она фигурирует
при измерении дальности в радиолока-
ции, в системах управления космиче-

скими объектами и т.д. В теории отно-
сительности доказывается, что группо-
вая скорость и

 с, в то время как для

фазовой скорости ограничений не суще-
ствует.

§ 156. Интерференция волн

Согласованное протекание во време-

ни и пространстве нескольких колеба-
тельных или волновых процессов назы-
вают когерентностью. Волны являют-
ся когерентными, если разность их фаз
остается постоянной во времени. Оче-
видно, что когерентными могут быть

лишь волны, имеющие одинаковую час-

тоту.

При наложении в пространстве двух

(или нескольких) когерентных волн в

разных его точках получается усиление
или ослабление результирующей вол-

ны в зависимости от соотношения меж-

Рис.223

ду фазами этих волн. Это явление на-
зывается интерференцией волн.

Рассмотрим наложение двух коге-

рентных сферических волн, возбужда-
емых точечными источниками

 и

(рис. 223), колеблющимися с одинако-

выми амплитудой

 частотой  и по-

стоянной разностью фаз. Согласно

(154.7),

где

 — расстояния от источников

волн до выбранной точки

 к — волно-

вое число;

 и

 — начальные фазы

обеих рассматриваемых сферических

Амплитуда результирующей волны

в точке В по (144.2) равна

Так как для когерентных источни-

ков разность начальных фаз

 —

 —

= const, то результат наложения двух
волн в различных точках зависит от ве-

личины А

 —

 называемой разно-

стью хода волн.

В точках, где

наблюдается интерференционный

максимум: амплитуда

А А

го колебания А = —-  —-. В точках,

г д е

286