Курс физики для вузов - часть 69

4. Цепь переменного тока, содер-

жащая последовательно включенные
резистор, катушку индуктивности и

конденсатор. На рис. 218, а представ-
лен участок цепи, содержащий резистор
сопротивлением R, катушку индуктив-
ностью L  конденсатор емкостью С,
к концам которого приложено пере-
менное напряжение (149.1). В цепи
возникнет переменный ток, который
вызовет на всех элементах цепи соот-
ветствующие падения напряжения

На рис. 218,6 представлена вектор-

ная диаграмма амплитуд падений на-
пряжений на резисторе (

 катушке

(

 конденсаторе (

Амплитуда

 приложенного на-

пряжения должна быть равна вектор-
ной сумме амплитуд этих падений на-
пряжений. Как видно из рис. 218, б,
угол  определяет разность фаз между
напряжением и силой тока. Из рисун-
ка следует, что [см. также формулу

(147.16)]

(149.9)

Из прямоугольного треугольника полу-

откуда амплитуда силы тока имеет зна-
чение

совпадающее с (147.15).

Следовательно, если напряжение

в цепи изменяется по закону U =
—

 то в цепи течет ток

/

 (149.11)

где  и

 определяются соответственно

формулами (149.9) и (149.10). Величина

(149.12)

называется полным сопротивлением
цепи, а величина

— реактивным сопротивлением.

Рассмотрим частный случай, когда

в цепи отсутствует конденсатор. В дан-
ном случае падения напряжений

 и

 в сумме равны приложенному на-

пряжению U. Векторная диаграмма для
данного случая представлена на рис.
219, из которого следует, что

= .(149.13)

Рис.219

275

Выражения (149.9) и (149.10) совпа-

дают с (149.13), если в них —— = 0, т.е.

С= оо. Следовательно, отсутствие кон-

денсатора в цепи означает, что С= оо, а
не

 0. Данный вывод можно тракто-

вать следующим образом: сближая об-
кладки конденсатора до их полного со-
прикосновения, получим цепь, в кото-
рой конденсатор отсутствует [расстоя-
ние между обкладками стремится к
нулю, а емкость — к бесконечности; см.

(94.3)].

§ 150. Резонанс напряжений

Если в цепи переменного тока, со-

держащей последовательно включен-

ные конденсатор, катушку индуктивно-
сти и резистор (см. рис. 218),

(150.1)

то сдвиг фаз  между током и напряже-
нием (149.9) обращается в нуль

 0),

т.е. изменения тока и напряжения про-
исходят синфазно. Условию (150.1)
удовлетворяет частота

(150.2)

В данном случае полное сопротивление

цепи Z (149.12) становится минималь-
ным, равным активному сопротивле-
нию R цепи, и ток в цепи определяется
этим сопротивлением, принимая мак-
симальные (возможные при данном
значения. При этом падение

 220

ния на активном сопротивлении равно
внешнему напряжению, приложенному
к цепи (

 =

 а падения напряже-

ний на конденсаторе (

 катушке ин-

дуктивности (

 одинаковы по ам-

плитуде и противоположны по фазе.

Это явление называется резонансом

напряжений (последовательным ре-

зонансом), а частота (150.2) —резо-

нансной частотой. Векторная диаг-

рамма для резонанса напряжений при-
ведена

 220, а зависимость амп-

литуды силы тока от

 уже была дана

на рис. 213.

В случае резонанса напряжений

Подставив в эту формулу значения ре-

зонансной частоты и амплитуды напря-
жений на катушке индуктивности и
конденсаторе, получим

где Q— добротность контура, определя-
емая выражением (146.14).

Так как добротность обычных коле-

бательных контуров больше единицы, то
напряжение как на катушке индуктив-
ности, так и на конденсаторе превыша-
ет напряжение, приложенное к цепи. По-
этому явление резонанса напряжений
используется в технике для усиления ко-
лебания напряжения какой-либо опре-
деленной частоты. Например, в случае
резонанса на конденсаторе можно по-
лучить напряжение с амплитудой

 данном случае — добротность кон-

тура, которая может быть значительно
больше

 Это усиление напряжения

возможно только для узкого интервала
частот вблизи резонансной частоты

контура, что позволяет выделить из

276

многих сигналов одно колебание опре-
деленной частоты, т.е. на радиоприем-

нике настроиться на нужную длину

Явление резонанса напряжений не-

обходимо

 при расчете изоля-

ции электрических линий, содержащих
конденсаторы и катушки индуктивно-
сти, так как иначе может наблюдаться
их пробой.

§ 151. Резонанс токов

Рассмотрим цепь переменного тока,

содержащую параллельно включенные
конденсатор емкостью

 катушку ин-

дуктивностью L

 Для просто-

ты

 активное сопротивле-

ние обеих ветвей настолько мало, что
им можно пренебречь. Если приложен-
ное напряжение изменяется по закону

U —

 [см. (149.1)], то, согласно

формуле

 в ветви

 течет ток

амплитуда которого определяется из
выражения (149.10) при условии R = 0
и L = 0:

Начальная фаза

 этого тока по фор-

муле (149.9) определяется равенством

Рис.221

(151.1)

Аналогично, сила тока в ветви

амплитуда которого определяется из

(149.10) при условии R = 0 и С =
(условие отсутствия емкости в цепи, см.
§ 149):

Начальная фаза

 этого тока [см.

(149.9)]

Из сравнения выражений

 и

(151.2) вытекает, что разность фаз то-
ков в ветвях

 и

 равна

 —

т.е. токи в ветвях противоположны по
фазе. Амплитуда силы тока во внешней

 цепи

и

 = 0. Явление резкого уменьшения

амплитуды силы тока во внешней
питающей параллельно включенные
конденсатор и катушку индуктивности,
при приближении частоты  приложен-
ного напряжения к резонансной часто-
те

 называется резонансом токов

(параллельным резонансом). В дан-
ном случае для резонансной частоты
получили такое же значение, как и при
резонансе напряжений (см. § 150).

Амплитуда силы тока

 оказалась

равна нулю потому, что активным со-
противлением контура пренебрегли.

Если учесть сопротивление R, то раз-

ность фаз

 —

 не будет равна

 по-

этому при резонансе токов амплитуда
силы тока

 будет отлична от нуля, но

примет наименьшее возможное значе-
ние. Таким образом, при резонансе то-

277

ков во внешней цепи токи

 ком-

пенсируются и сила тока / в подводя-
щих проводах достигает минимально-
го значения, обусловленного только
током через резистор. При резонансе
токов силы токов  и

 могут значи-

тельно превышать силу тока

Рассмотренный контур оказывает

большое сопротивление переменному
току с частотой, близкой к резонансной.

Поэтому это свойство резонанса токов
используется в резонансных усилите-

лях, позволяющих выделять одно опре-
деленное колебание из сигнала слож-
ной формы.

Резонанс токов используется также

в индукционных печах, где нагревание
металлов производится вихревыми то-
ками (см. § 125). В них емкость конден-

сатора, включенного параллельно на-
гревательной катушке, подбирается так,
чтобы при частоте генератора получил-
ся резонанс токов, в результате чего
сила тока через нагревательную катуш-
ку будет гораздо больше, чем сила тока
в подводящих проводах.

§ 152. Мощность, выделяемая

в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности пе-

ременного тока равно произведению
мгновенных

 напряжения и

силы тока:

где U(t) =

 I(t) =

 — ф)

[см. выражения (149.1) и

 Рас-

крыв cos

 — ф), получим

Практический интерес представля-

ет не мгновенное значение мощности,

а ее среднее значение за период ко-

лебания. Учитывая, что

(152.1)

Из векторной диаграммы (см. рис.

 следует, что

 =

 По-

этому

Такую же мощность развивает постоян-
ный

 /

Величины

называются соответственно действую-
щими (или эффективными) значени-
ями тока и напряжения. Все ампер-
метры и вольтметры градуируются по
действующим значениям тока и напря-
жения.

Учитывая действующие значения

тока и напряжения, выражение средней
мощности (152.1) можно записать в
виде

(152.2)

где множитель

 называется коэф-

фициентом мощности.

Формула (152.2) показывает, что

мощность, выделяемая в цепи перемен-
ного тока, в общем случае зависит не
только от силы тока и напряжения, но
и от сдвига фаз между ними. Если в
цепи реактивное сопротивление отсут-
ствует, то

 1 и Р = UI. Если цепь

содержит только реактивное сопротив-
ление (R = 0), то

 — 0 и средняя

мощность равна нулю, какими бы боль-
шими ни были ток и напряжение. Если

 имеет значения, существенно мень-

278