Курс физики для вузов - часть 67

заряда в контуре (при R  0) имеет вид

[см. (143.2)]

Учитывая выражение (143.4) и прини-
мая коэффициент затухания

Из выражений (146.1) и (146.5) выте-
кает, что колебания заряда совершают-
ся по закону

с частотой, согласно (146.4),

(146.11)

(146.13)

дифференциальное уравнение (143.2)

можно записать в идентичном уравне-
нию (146.1) виде

меньшей собственной частоты конту-
ра

 [см. (143.4)]. При R = 0 формула

(146.13) переходит в (143.4).

Т а б л  ц а 7

267

Логарифмический декремент зату-

хания определяется формулой (146.7),
а добротность колебательного контура

[см.

(146.14)

В табл. 7 произведено сопоставление

затухающих колебаний пружинного

маятника и колебаний в электрическом
колебательном контуре.

В заключение отметим, что при уве-

личении коэффициента затухания 6 пе-
риод затухающих колебаний растет и
при 8

 обращается в бесконечность,

т.е. движение перестает быть периоди-

ческим. В этом случае колеблющаяся

величина асимптотически приближает-
ся к нулю, когда t

 со. Данный про-

цесс будет апериодическим, а не коле-
бательным.

Огромный интерес для техники пред-

ставляет возможность поддерживать
колебания незатухающими. Для этого
необходимо восполнять потери энергии
реальной колебательной системы. Осо-
бенно важны и широко применимы так
называемые автоколебания — незату-
хающие колебания, поддерживаемые в

 системе за счет посто-

янного внешнего источника энергии,

причем свойства этих колебаний опре-
деляются самой системой.

Автоколебания принципиально от-

личаются от свободных незатухающих
колебаний, происходящих без последу-
ющих внешних воздействий, а также от
вынужденных колебаний (см. § 147),
происходящих под действием периоди-
ческой силы. Автоколебательная систе-
ма сама управляет внешними воздей-

ствиями, обеспечивая согласованность
поступления энергии определенными
порциями в нужный момент времени (в
такт с ее колебаниями).

Примером автоколебательной сис-

темы могут служить часы. Храповой
механизм подталкивает маятник в такт
с

 колебаниями. Энергия, переда-

ваемая при этом маятнику, берется
либо за счет раскручивающейся пру-
жины, либо за счет опускающегося
груза. Колебания воздуха в духовых
инструментах и органных трубах так-
же возникают вследствие автоколе-
баний, поддерживаемых воздушной
струей.

 системами яв-

ляются также двигатели внутреннего
сгорания, паровые турбины, ламповые
генераторы и т.д.

§ 147. Дифференциальное

уравнение вынужденных

колебаний (механических

и электромагнитных)

и его решение

Чтобы в реальной колебательной

системе получить незатухающие коле-
бания, надо компенсировать потери
энергии. Такая компенсация возможна

с помощью какого-либо периодически

действующего фактора

 изменяю-

щего по гармоническому закону:

Если рассматривать механические

колебания, то роль X(t) играет внешняя
вынуждающая сила

(147.1)

С учетом (147.1) закон движения

для пружинного маятника

 запи-

шется в виде

Используя (142.2) и (146.10), при-

дем к уравнению

268

Если рассматривать электрический

колебательный контур, то роль

 иг-

рает подводимая к контуру внешняя
периодически изменяющаяся по гармо-
ническому закону ЭДС или

напряжение

(147.3)

Тогда уравнение (143.2) с

(147.3) можно записать в виде

Используя (143.4) и (146.11), при-

дем к уравнению

Колебания, возникающие под дей-

ствием внешней периодически изменя-
ющейся силы или внешней периодиче-
ски изменяющейся ЭДС, называются

 вынужденными меха-

ническими и вынужденными элект-

ромагнитными колебаниями.

Уравнения (147.2) и (147.4) можно

свести к линейному неоднородному

дифференциальному уравнению

применяя впоследствии его решение
для вынужденных колебаний конкрет-
ной физической природы

 в случае

механических колебаний равно —, в

U

случае

 — ).

Решение уравнения (147.5) равно

сумме общего решения (146.5) одно-

родного уравнения (146.1)  частного
решения неоднородного уравнения.
Частное решение найдем в комплекс-

пой форме (см. § 140). Заменим правую
часть уравнения (147.5) на комплекс-
ную величину

(147.6)

Частное решение этого уравнения бу-

дем искать в виде

Подставляя выражение для s  его про-
изводных

 =

 —

 ) в

уравнение (147.6), получим

 +

 +

 =

 (147.7)

Так как это равенство должно быть

справедливым для всех моментов вре-
мени, то время t из него должно исклю-
чаться. Отсюда следует, что т| = со. Учи-
тывая это, из уравнения (147.7) найдем
величину

 и умножим ее числитель и

знаменатель на

 —

 _

0

 •)

 ,

 9

Это комплексное число удобно пред-

ставить в экспоненциальной форме:

где

(147.8)

(147.9)

Следовательно, решение уравнения

(147.6) в комплексной форме примет

Его вещественная часть, являющая-

ся решением уравнения (147.5), равна

269

 (147.10)

где

 задаются соответственно фор-

мулами (147.8) и (147.9).

Таким образом, частное решение

неоднородного уравнения (147.5) име-
ет вид

(147.11)

Решение уравнения (147.5) равно

сумме общего решения однородного
уравнения

[см. (146.5)] и частного решения
Слагаемое (147.12) играет существен-

ную роль только в начальной стадии
процесса (при установлении колеба-
ний) до тех пор, пока амплитуда вынуж-
денных колебаний не достигнет значе-
ния, определяемого равенством (147.8).
Графически вынужденные колебания
представлены

 рис.

 Следователь-

но, в установившемся режиме вынуж-

денные колебания происходят с часто-
той  и являются гармоническими; ам-

плитуда и фаза колебаний, определяе-
мые выражениями (147.8) и (147.9),
также зависят от

Запишем формулы (147.10), (147.8)

и (147.9) для электромагнитных коле-
баний, учитывая, что

 [см.

Рис.211

Установление

колебаний

Дифференцируя

 a)

 t, найдем силу тока в контуре при

установившихся колебаниях:

где

Выражение (147.14) может быть за-

писано в виде

где

 — сдвиг по фазе между

током и приложенным напряжением

[см. (147.3)].

В соответствии с выражением

(147.13)

Из формулы (147.16) вытекает, что

ток отстает по фазе от напряжения

 > 0), если

 > ——, и опережает на-

пряжение

270