Курс физики для вузов - часть 66

Записывая складываемые колебания в
виде

X .

на

 —

 на

А

 а) = cos

 COS а — sin

 sin а

В

 заменяя во втором уравнении

 получим пос-

ле несложных преобразований уравне-
ние эллипса, оси которого ориентирова-

ны относительно координатных осей
произвольно:

(145.2)

Так как траектория результирующе-

го колебания имеет форму эллипса, то
такие колебания называются эллипти-

чески поляризованными.

Ориентация эллипса и размеры его

осей зависят от амплитуд складывае-
мых колебаний и разности фаз а. Рас-
смотрим некоторые частные случаи,
представляющие физический интерес:

1)

В данном случае эллипс вырождается в
отрезок прямой

(145.3)

где знак « + » соответствует нулю и
четным значениям т (рис. 207, а), а
знак « —» — нечетным значениям т

Рис. 208

(рис. 207, б). Результирующее колеба-

ние является гармоническим колебани-
ем с частотой  и амплитудой

 ,

совершающимся вдоль прямой [см.
(145.3)], составляющей с осью х угол

В данном случае уравнение примет вид

(145.4)

Это уравнение эллипса, оси которого

совпадают с осями координат, а его по-

луоси равны соответствующим амп-
литудам (рис. 208). Кроме того, если

А = В, то эллипс [см. (145.4)] вырож-

дается в окружность. Такие колебания

называются

 поляризован-

ными колебаниями или колебаниями,
поляризованными по кругу.

Если частоты складываемых взаим-

но перпендикулярных колебаний раз-
личны, то замкнутая траектория ре-
зультирующего колебания довольно
сложна. Замкнутые траектории, про-
черчиваемые точкой, совершающей од-
новременно два взаимно перпендику-
лярных колебания, называются фигу-

рами

 Вид этих кривых за-

висит от соотношения амплитуд, частот
и разности фаз складываемых колеба-

 207

 Ж. Лиссажу (1822-1880) - французский

физик.

263

В данном случае

имеем дело с

 поляризованны-

ми колебаниями;

 209

ний. На рис. 209

 фигуры

Лиссажу для различных
частот (указаны слева) и разностей фаз

(указаны вверху; разность фаз прини-
мается равной

Отношение частот складываемых

колебаний равно отношению числа пе-
ресечений фигур Лиссажу с прямыми,
параллельными осям координат. По
виду фигур можно определить неизве-
стную частоту по известной или опре-

делить отношение частот складывае-

мых колебаний. Поэтому анализ фигур

Лиссажу — широко используемый ме-
тод исследования соотношений частот

и разности фаз складываемых колеба-
ний, а также формы колебаний.

§ 146. Дифференциальное

уравнение свободных затухающих

колебаний (механических

и электромагнитных)

и его решение. Автоколебания

Рассмотрим свободные затухаю-

щие колебания — колебания, амплиту-

ды которых из-за потерь энергии реаль-

ной колебательной системой с течени-
ем времени уменьшаются. Простейшим
механизмом уменьшения энергии коле-
баний является ее превращение в теп-
лоту вследствие трения в механических

 системах, а также оми-

ческих потерь и излучения электромаг-

264

нитнои энергии в электрических коле-
бательных системах.

Закон затухания

 опреде-

ляется свойствами колебательных сис-
тем. Обычно рассматривают линейные

системы — идеализированные реаль-
ные системы, в которых параметры,
определяющие физические свойства
системы, в ходе процесса не изменяют-
ся. Линейными системами являются,
например, пружинный маятник при ма-
лых растяжениях пружины (когда спра-
ведлив закон Гука), колебательный
контур, индуктивность, емкость и со-
противление которого не зависят ни от
тока в контуре, ни от напряжения.

Различные по своей природе линей-

ные системы описываются идентичны-
ми линейными дифференциальными
уравнениями, что позволяет подходить

к изучению колебаний различной фи-
зической природы с единой точки зре-
ния, а также проводить их моделирова-
ние, в том числе и на ЭВМ.

Дифференциальное уравнение

свободных затухающих колебаний

линейной системы задается в виде

где s — колеблющаяся величина, опи-
сывающая тот или иной физический
процесс; б  const — коэффициент за-
тухания,

 — циклическая частота

свободных незатухающих колебаний
той же колебательной системы, т.е. при
б — 0 (при отсутствии потерь энергии)

называется собственной частотой

колебательной системы.

Решение уравнения

 рассмот-

рим в виде

(146.2)

где

После нахождения первой и второй

производных выражения (146.2) и под-
становки их в (146.1) получим

 +

 0. (146.3)

Решение уравнения (146.3) зависит

от знака коэффициента перед искомой

величиной. Рассмотрим случай, когда
этот коэффициент положителен:

 (146.4)

[если (из

2

 0, то такое обозначе-

ние мы вправе сделать]. Тогда получим
уравнение типа (142.1)  +

 0, ре-

шением которого является функция

и=

 +

 [см. (140.1)]. Таким

образом, решение уравнения (146.1) в
случае малых затуханий

 +

 (146.5)

где

— амплитуда затухающих колеба-

ний;

 — начальная амплитуда.

Зависимость (146.5) показана па

рис.

 сплошной линией, а зависи-

мость (146.6) — штриховыми
Промежуток времени т = -, в течение

6

которого амплитуда затухающих коле-
баний уменьшается в е раз, называется

временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность

колебаний, поэтому затухающие коле-
бания не являются периодическими и,
строго говоря, к ним неприменимо по-
нятие периода или частоты. Однако
если затухание мало, то можно услов-
но пользоваться понятием периода как
промежутка времени между двумя пос-

265

ледующими максимумами (или мини-
мумами) колеблющейся физической
величины (см. рис.

 Тогда период

затухающих колебаний с учетом фор-
мулы (146.4) равен

Если A(t) и

 + T) — амплитуды

двух последовательных колебаний, со-
ответствующих моментам времени, от-
личающимся на период, то отношение

называется декрементом
а его логарифм

— логарифмическим декрементом

затухания;

 — число колебаний, со-

вершаемых за время уменьшения амп-
литуды в е раз. Логарифмический дек-
ремент затухания — постоянная вели-
чина для данной колебательной систе-
мы.

Для характеристики колебательной

системы пользуются понятием доб-

ротности Q, которая при малых зна-

чениях логарифмического декремента

(так как затухание мало (б

2

 то

Т принято равным

Из формулы (146.8) следует, что

добротность пропорциональна числу
колебаний

 совершаемых системой

за время релаксации.

Выводы, полученные для свободных

затухающих колебаний линейных сис-
тем, применимы для колебаний различ-
ной физической природы — механиче-

ских (в качестве примера рассмотрим
пружинный маятник) и электромагнит-
ных (в качестве примера рассмотрим
электрический колебательный контур).

1. Свободные затухающие колеба-

ния пружинного маятника. Для пру-
жинного маятника (см. § 142) массой т,
совершающего малые колебания под
действием упругой силы F=

 сила

трения пропорциональна скорости, т. е.

где г

 сопротивления;

знак «-» указывает на противополож-
ные направления силы трения и скоро-
сти.

При данных условиях закон движе-

ния маятника будет иметь вид

(146.9)

Используя формулу

(142.2)] и принимая, что коэффициент

затухания

получим идентичное уравнению (146.1)

дифференциальное уравнение затухаю-

щих колебаний маятника:

Из выражений (146.1) и (146.5) вы-

текает, что колебания маятника подчи-
няются закону

где частота

 =

[см. (146.4)].

Добротность пружинного маятника,

согласно (146.8) и (146.10),

2. Свободные затухающие колеба-

ния в электрическом колебательном
контуре. Дифференциальное уравне-
ние свободных затухающих колебаний

266