Курс физики для вузов - часть 64

(140.6)

Решением этого уравнения является
выражение (140.1).

Гармонические колебания изобра-

жаются графически методом враща-

ющегося вектора амплитуды, или

методом векторных диаграмм. Для

этого из произвольной точки О, выб-
ранной на оси х, под углом

 равным

начальной фазе колебания, откладыва-
ется вектор

 модуль которого равен

амплитуде А рассматриваемого колеба-

ния (рис. 201). Если этот вектор приве-
сти во вращение с угловой скоростью
равной циклической частоте колеба-
ний, то проекция конца вектора будет
перемещаться по оси  и принимать зна-
чения от —А до  А, а колеблющаяся ве-

личина будет изменяться со временем
по закону Таким об-
разом, гармоническое колебание мож-
но представить проекцией на некото-
рую произвольно выбранную ось векто-
ра амплитуды

 отложенного из про-

извольной точки оси под углом

 рав-

ным начальной фазе, и вращающегося
с угловой скоростью  вокруг этой точки.

В физике часто применяется другой

метод, который отличается от метода
вращающегося вектора амплитуды лишь
по форме. В этом методе колеблющую-
ся величину представляют комплекс-
ным числом. Согласно формуле Эйле-
ра, для комплексных чисел

(140.7)

где — мнимая единица. Поэто-
му уравнение гармонического колеба-
ния (140.1) можно записать в комплек-
сной форме:

(140.8)

Вещественная часть выражения

(140.8)

Рис.201

представляет собой гармоническое ко-
лебание. Обозначение Re вещественной

части условимся опускать и (140.8) бу-
дем записывать в виде

В теории колебаний принимается,

что колеблющаяся величина s равна
вещественной части комплексного вы-
ражения, стоящего в этом равенстве

справа.

§ 141. Механические

гармонические колебания

Пусть материальная точка соверша-

ет прямолинейные гармонические ко-
лебания вдоль оси координат х около
положения равновесия, принятого за
начало координат.

Тогда зависимость координаты х от

времени t задается уравнением, анало-
гичным уравнению (140.1), где s = х:

(141.1)

Согласно выражениям (140.4) и

(140.5), скорость

 о,колеб-

лющейся точки соответственно равны

(141.2)

255

Сила F= та, действующая на колеб-

лющуюся материальную точку мас-

 т, с учетом (141.1) и

 равна

Следовательно, сила пропорцио-

нальна смещению материальной точки
из положения равновесия и направле-
на в противоположную сторону (к по-
ложению равновесия).

Кинетическая энергия материаль-

ной точки, совершающей прямолиней-
ные гармонические колебания, равна

Потенциальная энергия матери-

альной точки, совершающей гармони-
ческие колебания под действием упру-
гой силы F, равна

(141.5)

Рис. 202

Из формул (141.4) и (141.6) следу-

ет, что

 П изменяются с частотой

т. е. с частотой, которая в два раза пре-
вышает частоту гармонического коле-
бания.

 рис. 202 представлены графи-

ки зависимости х,

 от времени. Так

как (sin

2

 a) = (cos

2

 а)  -, то из формул

(141.3), (141.5) и (141.7) следует, что

 (141.6)

Сложив (141.3) и (141.5), получим

формулу для полной энергии:

(141.7)

Полная энергия остается постоян-

ной, так как при гармонических коле-
баниях справедлив закон сохранения
механической энергии, поскольку упру-
гая сила консервативна.

§ 142. Гармонический

осциллятор. Пружинный,

физический и математический

маятники

Гармоническим осциллятором на-

зывается система, совершающая коле-
бания, описываемые уравнением вида

(140.6):

(142.1)

Колебания гармонического осцил-

лятора являются важным примером

периодического движения и служат

256

точной или приближенной моделью во
многих задачах классической и кванто-
вой физики. Примерами гармоническо-

го осциллятора являются пружинный,
физический и математический маятни-
ки, колебательный контур (для токов и
напряжений

 малых, что элемен-

ты контура можно было бы считать
линейными; см. § 146).

 Пружинный маятник — это груз

массой т, подвешенный на абсолютно

упругой

 и совершающий гар-

монические колебания под действием

упругой силы F —

 где к — жест-

кость пружины. Уравнение движения
маятника в отсутствие сил трения

Из выражений (142.1) и (140.1) сле-

дует, что пружинный маятник соверша-
ет гармонические колебания по закону

х =

 +

 с циклической час-

тотой

и периодом

(142.2)

(142.3)

Формула (142.3) справедлива для

упругих колебаний в пределах, в кото-
рых выполняется закон Гука [см.
т.е. когда масса пружины мала по срав-

нению с массой тела.

Потенциальная энергия пружинно-

го маятника, согласно

 и (142.2),

2. Физический маятник — это твер-

дое тело, совершающее под действием
силы тяжести колебания вокруг не-
подвижной

 оси, прохо-

9 Курс физики

 203

дящей через точку О, не совпадающую
с центром масс Стела (рис. 203).

Если маятник отклонен из положе-

ния равновесия на некоторый угол а, то
в соответствии с уравнением динами-

ки вращательного движения твердого

тела

 в отсутствие сил трения вра-

щающий момент М можно записать в
виде

где  — момент инерции маятника
носительно оси, проходящей через точ-
ку подвеса

 — расстояние между ней

и центром масс маятника.

Вращающий момент стремится вер-

нуть маятник в положение равновесия
и в этом отношении аналогичен упру-
гой силе. Поэтому так же, как смеще-
нию и упругой силе, моменту

 уг-

ловому смещению а приписывают про-
тивоположные знаки. При малых коле-

баниях маятника (малых отклонениях
маятника из положения равновесия)

 а. Тогда уравнение

 мож-

но записать в виде

Принимая

(142.5)

257

получим уравнение

Момент инерции математического

маятника

идентичное с (142.1), решение которо-
го [см. (140.1)] известно:

I. (142.6)

Из выражения (142.6) следует, что

при малых колебаниях физический ма-
ятник совершает гармонические коле-
бания с циклической частотой

 [см.

(142.5)] и периодом

J

где L = —- — приведенная длина фи-

 маятника.

Точка

 на продолжении прямой

ОС, отстоящая от точки О подвеса ма-

ятника на расстоянии приведенной дли-
ны L, называется центром качаний фи-
зического маятника (см. рис. 203). При-

меняя теорему Штейнера

т.е. 00' всегда больше ОС. Точка под-
веса О маятника и центр качаний О'
обладают свойством взаимозаменяе-
мости: если точку подвеса перенести в

центр качаний, то прежняя точка О под-
веса станет новым центром качаний, и
период колебаний физического маят-
ника не изменится.

3. Математический маятник —

это идеализированная система, состоя-
щая из материальной точки массой т,
подвешенной на нерастяжимой невесо-
мой нити, и колеблющаяся под действи-
ем силы тяжести.

Хорошим приближением математи-

ческого маятника является небольшой
тяжелый шарик, подвешенный на тон-
кой

(142.8)

где / — длина маятника.

Так как математический маятник

можно представить как частный случай
физического маятника, предположив,
что вся его масса сосредоточена в одной
точке — центре масс, то, подставив вы-
ражение (142.8) в формулу (142.7), по-
лучим выражение для периода малых
колебаний математического маятника

(142.9)

Сравнивая формулы (142.7) и (142.9),

видим, что если приведенная длина L
физического маятника равна длине /
математического маятника, то периоды
колебаний этих маятников одинаковы.

Следовательно, приведенная длина

физического маятника — это длина
такого математического маятника, пе-
риод колебаний которого совпадает с
периодом колебаний данного физичес-
кого маятника.

§ 143. Свободные

гармонические колебания

в колебательном контуре

Среди различных физических явле-

ний особое место занимают электро-
магнитные колебания, при которых
электрические величины (заряды, токи)
периодически изменяются и которые
сопровождаются взаимными превраще-
ниями электрического и магнитного

 Для возбуждения и поддержа-

ния электромагнитных колебаний ис-
пользуется колебательный контур —
цепь, состоящая из включенных после-

довательно катушки индуктивностью L,

258