Курс физики для вузов - часть 63

Если заряды и токи распределены в

пространстве непрерывно, то обе фор-
мы уравнений Максвелла — интеграль-

ная и дифференциальная — эквивален-
тны. Однако если имеются поверхнос-
ти разрыва — поверхности, на которых
свойства среды или полей меняются
скачкообразно, то интегральная форма

уравнений является более общей.

Уравнения Максвелла в дифферен-

циальной форме предполагают, что все
величины в пространстве и времени
изменяются непрерывно. Чтобы дос-
тичь математической эквивалентности
обеих форм уравнений Максвелла, диф-
ференциальную форму дополняют гра-

ничными условиями, которым должно

удовлетворять электромагнитное поле

на границе раздела двух сред. Интег-
ральная форма уравнений Максвелла
содержит эти условия. Они были рас-
смотрены раньше (см. § 90, 134):

(первое и последнее уравнения отвеча-
ют случаям, когда па границе раздела
нет ни свободных зарядов, ни токов
проводимости).

Уравнения Максвелла — наиболее

общие уравнения для электрических и
магнитных полей в покоящихся средах.

Они играют в учении об электромагне-

тизме такую же роль, как законы Нью-
тона в механике. Из уравнений Макс-
велла следует, что переменное магнит-
ное поле всегда связано с порождаемым

им электрическим полем, а переменное
электрическое поле всегда связано с по-
рождаемым им магнитным, т.е. элект-
рическое и магнитное поля неразрыв-

но связаны друг с другом — они обра-
зуют единое электромагнитное поле.

Теория Максвелла, являясь обобще-

нием основных законов электрических
и магнитных явлений, не только смог-

ла объяснить уже известные экспери-

ментальные факты, что также являет-
ся важным ее следствием, но и предска-
зала новые явления. Одним из важных
выводов этой теории явилось существо-
вание магнитного поля токов смещения

(см. § 138), что позволило Максвеллу
предсказать существование электро-

магнитных волн — переменного элек-

тромагнитного ноля, распространяю-
щегося в пространстве с конечной ско-
ростью.

В дальнейшем было доказано, что

скорость распространения свободного
электромагнитного поля (не связанно-
го с зарядами и токами) в вакууме рав-
на скорости света с = 3 * 10

8

 м/с. Этот

вывод и теоретическое исследование
свойств электромагнитных волн приве-
ли Максвелла к созданию электромаг-
нитной теории света, согласно которой
свет представляет собой также электро-
магнитные волны. Электромагнитные
волны на опыте были получены немец-
ким физиком

 (1857—1894),

доказавшим, что законы их возбужде-

ния и распространения полностью опи-
сываются уравнениями Максвелла. Та-

ким образом, теория Максвелла была
экспериментально подтверждена.

К электромагнитному полю приме-

ним только принцип относительности
Эйнштейна, так как факт распростране-
ния

 волн в вакууме

во всех системах отсчета с одинаковой
скоростью с не совместим с
относительности Галилея.

Согласно принципу относитель-

ности Эйнштейна, механические, оп-
тические и электромагнитные явления
во всех

 системах отсче-

251

та протекают одинаково, т. е. описыва-
ются одинаковыми уравнениями. Урав-
нения Максвелла инвариантны относи-
тельно преобразований Лоренца: их вид

не меняется при переходе от одной
инерциальной системы отсчета к дру-
гой, хотя величины Е, В, D, H в них пре-
образуются по определенным прави-

лам.

Из принципа относительности выте-

кает, что отдельное рассмотрение элек-
трического и магнитного полей имеет
относительный смысл. Так, если элек-
трическое поле создается системой не-
подвижных зарядов, то эти заряды, яв-
ляясь неподвижными относительно

одной инерциальной системы отсчета,

движутся относительно другой и, сле-

довательно, будут порождать не толь-

ко электрическое, но и магнитное поле.
Аналогично, неподвижный относитель-
но одной инерциальной системы отсче-
та проводник с постоянным током, воз-
буждая в каждой точке пространства
постоянное магнитное поле, движется
относительно других инерциальных
систем, и создаваемое им переменное
магнитное поле возбуждает вихревое
электрическое поле.

Таким образом, теория Максвелла,

ее экспериментальное подтверждение,
а также принцип относительности Эй-
нштейна приводят к единой теории
электрических, магнитных и оптиче-

ских явлений, базирующейся на пред-
ставлении об электромагнитном поле.

Контрольные вопросы

Что является причиной возникновения вихревого электрического поля? Чем оно отли-

чается от электростатического поля?

Чему равна циркуляция вихревого электрического поля?

Почему вводится понятие тока смещения? Что он собой по существу представляет?

Выведите и объясните выражение для плотности тока смещения.

Запишите, объяснив физический смысл, обобщенную теорему о циркуляции вектора

напряженности магнитного поля.

Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной

форме и объясните их физический смысл.

Почему постоянные электрические и магнитные поля можно рассматривать обособлен-

но друг от друга? Запишите для них уравнения Максвелла в обеих формах.

Почему уравнения Максвелла в интегральной форме являются более общими?

Какие основные выводы можно сделать па основе теории Максвелла?

ЧАСТЬ 4

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Глава 18

МЕХАНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

§ 140. Гармонические колебания

и их характеристики

Колебаниями называются движе-

ния или процессы, которые характери-

зуются определенной повторяемостью
во времени. Колебательные процессы
широко распространены в природе и
технике, например качание маятника
часов, переменный электрический ток

и т.д. При колебательном движении
маятника изменяется координата его
центра масс, в случае переменного
тока колеблются напряжение и ток в
цепи.

Физическая природа колебаний мо-

жет быть разной, поэтому различают
колебания механические, электромаг-
нитные и др. Однако различные коле-
бательные процессы описываются оди-
наковыми характеристиками и одина-
ковыми уравнениями. Отсюда следует
целесообразность единого подхода к
изучению колебаний различной физи-

ческой природы. Например, единый под-

ход к изучению механических и элект-
ромагнитных колебаний применялся
английским физиком Д.У.Рэлеем
(1842-1919), А.Г.Столетовым, рус-
ским инженером-экспериментатором

П.Н.Лебедевым (1866-1912). Боль-

шой вклад в развитие теории колебаний
внесли Л. И. Мандельштам (1879 —

1944) и его ученики.

Колебания называются свободны-

ми (или собственными), если они со-

вершаются за счет первоначально сооб-
щенной энергии при последующем от-
сутствии внешних воздействий на ко-
лебательную систему (систему, совер-
шающую колебания).

Простейшим типом колебаний яв-

ляются гармонические колебания —

колебания, при которых колеблющая-
ся величина изменяется со временем по

закону синуса (косинуса). Рассмотре-

ние гармонических колебаний важно по

двум причинам: 1) колебания, встреча-

ющиеся в природе и технике, часто
близки к гармоническим; 2) различные
периодические процессы (процессы,
повторяющиеся через равные проме-

жутки времени) можно представить как
наложение гармонических колебаний.

Гармонические колебания величины s
описываются уравнением типа

(140.1)

где А — максимальное значение колеб-

лющейся величины, называемое ампли-

тудой колебания;

 — круговая (цик-

лическая) частота.

253

Периодически изменяющийся аргу-

мент косинуса называется
фазой колебания. Она определяет сме-
щение колеблющейся величины от по-
ложения равновесия в данный момент
времени t. Величина  в уравнении гар-
монических колебаний называется на-
чальной фазой. Она определяет смеще-
ние колеблющейся величины от поло-
жения равновесия в начальный момент
времени (t = 0).

Значение начальной фазы определя-

ется выбором начала отсчета времени.
Так как косинус изменяется в пределах
от +1 до —1, то s может принимать зна-
чения от +А до — А.

Определенные состояния системы,

совершающей гармонические колеба-
ния, повторяются через промежуток
времени Т, называемый периодом ко-

лебания, за который фаза колебания

получает приращение

 т. е.

откуда

(140.2)

Величина, обратная периоду колеба-

ний,

(140.3)

т.е. число полных колебаний, совер-
шаемых в единицу времени, называет-
ся частотой колебаний. Сравнивая

(140.2) и (140.3), получим

Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц —

частота периодического процесса, при
которой за 1 с совершается один цикл
процесса.

Запишем первую и вторую произ-

водные по времени от гармонически
колеблющейся величины s:

Рис. 200

т.е. имеем гармонические колебания с
той же циклической частотой. Амплиту-
ды величин (140.4) и (140.5) соответ-
ственно равны

 и

 Фаза величи-

ны (140.4) отличается от фазы величи-
ны

 на , а фаза величины

отличается от фазы величины (140.1) на
тт. Следовательно, в моменты времени,
когда

 приобретает наибольшие

значения; когда s достигает максималь-
ного отрицательного значения, то

имеет наибольшее положительное зна-

чение (рис. 200; начальная фаза  = 0).

Из выражения (140.5) следует диф-

ференциальное уравнение гармони-

ческих колебаний

254