Курс физики для вузов - часть 65

конденсатора емкостью С  резистора
сопротивлением R.

Рассмотрим последовательные ста-

дии колебательного процесса в идеали-
зированном контуре, сопротивление
которого пренебрежимо мало (R  0).

Для возбуждения в контуре колебаний
конденсатор предварительно заряжают,
сообщая его обкладкам заряды ± Q. Тог-
да в начальный момент времени t = 0

(рис. 204, а) между обкладками конден-

сатора возникнет электрическое поле,

энергия которого [см. (95.4)]. Если
замкнуть конденсатор на катушку ин-
дуктивности, он начнет разряжаться, и
в контуре потечет возрастающий со вре-

менем ток /. В результате энергия элек-

трического поля будет уменьшаться, а
энергия магнитного поля катушки (она

равна ——) — возрастать.

Так как R  0, то, согласно закону

сохранения энергии, полная энергия

 204

так как она на нагревание не расходу-

Т

ется. Поэтому в момент t = —, когда

конденсатор полностью разрядится,
энергия электрического поля обраща-
ется в нуль, а энергия магнитного поля

(а следовательно, и ток) достигает наи-

большего значения (рис. 204, б). С это-
го момента ток в контуре будет убывать,
следовательно, начнет ослабевать маг-
нитное поле катушки, и в ней будет ин-
дуцироваться ток, который течет (со-
гласно правилу Ленца) в том же направ-
лении, что и ток разрядки конденсато-
ра. Конденсатор начнет перезаряжать-
ся, возникнет электрическое поле, стре-
мящееся ослабить ток, который в кон-
це концов обратится в нуль, а заряд на
обкладках конденсатора достигнет мак-
симума (рис. 204, в). Далее те же про-
цессы начнут протекать в обратном на-

правлении (рис. 204,

 система к мо-

менту времени t — Г придет в первона-
чальное состояние (см. рис. 204,

 Пос-

ле этого начнется повторение рассмот-
ренного цикла разрядки и зарядки кон-
денсатора.

Если бы потерь энергии не было, то

в контуре совершались бы периодичес-
кие незатухающие колебания, т. е. пери-
одически изменялись (колебались) бы
заряд Q на обкладках конденсатора,
напряжение U на конденсаторе и сила
тока /, текущего через катушку индук-
тивности. Следовательно, в контуре
возникают электромагнитные колеба-
ния, причем колебания сопровождают-
ся превращениями

 электричес-

кого и магнитного полей.

Электромагнитные колебания в ко-

лебательном контуре можно сопоста-

вить с механическим колебаниями ма-

ятника (рис. 204), сопровождающими-

259

ся взаимными превращениями потен-
циальной и кинетической энергий ма-

ятника. В данном случае энергия

Q

2

трического поля конденсатора
аналогична потенциальной энергии ма-
ятника, энергия магнитного поля ка-

тушки (

 —

 энергии,

сила тока в контуре — скорости движе-
ния маятника. Индуктивность L игра-
ет роль массы т, а сопротивление кон-
тура — роль силы трения, действующей
на маятник.

Согласно закону Ома, для контура,

содержащего катушку индуктивнос-
тью L, конденсатор емкостью Си рези-
стор сопротивлением R,

где IR — напряжение на резисторе;

 = — — напряжение на конденсато-

 —

 ЭДС самоиндукции,

возникающая в катушке при протека-
нии в ней переменного тока

 —

 ЭДС в контуре).

Следовательно,

(143.1)

Разделив (143.1) на L  подставив

/  Q  —

 Q, получим

dt

алыюе уравнение колебаний заряда Q
в контуре:

В данном колебательном контуре

внешние ЭДС отсутствуют, поэтому
рассматриваемые колебания представ-
ляют собой свободные колебания (см.

§ 140). Если сопротивление R — 0, то
свободные электромагнитные колеба-

ния в контуре являются гармонически-

ми. Тогда из (143.2) получим диффе-

ренциальное уравнение свободных гар-
монических колебаний заряда в контуре:

Из выражений (142.1) и (140.1) вы-

текает, что заряд Q совершает гармони-
ческие колебания по закону

где

 — амплитуда колебаний заряда

конденсатора с циклической частотой

 называемой собственной часто-

той контура, т. е.

 периодом

(143.4)

(143.5)

Формула (143.5) впервые была по-

лучена У.Томсоном и называется фор-

мулой Томсона. Сила тока в колеба-

тельном контуре [см. (140.4)]

где

 амплитуда силы тока.

Напряжение на конденсаторе

где
ния.

(143.7)

амплитуда напряже-

Из выражений (143.3) и (143.6) вы-

текает, что колебания тока / опережа-
ют по фазе колебания заряда Q на —,
т.е., когда ток достигает максимально-
го значения, заряд (а также и напряже-
ние [см. (143.7)] обращается в нуль, и
наоборот.

260

§ 144. Сложение гармонических
колебаний одного направления

и одинаковой частоты. Биения

Колеблющееся тело может участво-

вать в нескольких колебательных про-
цессах, тогда необходимо найти резуль-
тирующее колебание, иными словами,

колебания необходимо сложить. Сло-
жим гармонические колебания одного
направления и одинаковой частоты:

воспользовавшись методом вращающе-
гося вектора амплитуды (см. § 140). По-
строим векторные диаграммы этих ко-
лебаний (рис. 205). Так как векторы

 вращаются с одинаковой угловой

скоростью

 то разность фаз

 —

между ними остается постоянной. Оче-
видно, что уравнение результирующе-
го колебания будет

х =

 =

 +

 (144.1)

В выражении (144.1) амплитуда А

начальная фаза  соответственно зада-
ются соотношениями

Таким образом, тело, участвуя в двух

гармонических колебаниях одного на-
правления и одинаковой частоты, совер-
шает также гармоническое колебание в
том же направлении и с той же часто-
той, что и складываемые колебания.
Амплитуда результирующего колеба-
ния зависит от разности фаз

 —

складываемых колебаний.

Проанализируем выражение (144.2)

в зависимости от разности фаз

Рис. 205

1)

 -

 (т = 0, 1, 2, ...),

тогда А =

 +

 т.е. амплитуда ре-

зультирующего

 А равна сум-

ме амплитуд складываемых колебаний;

 =

 0,

тогда А —

 —

 т.е. амплитуда ре-

зультирующего колебания равна разно-

сти амплитуд складываемых колебаний.

Для практики особый интерес пред-

ставляет случай, когда два складывае-
мых гармонических колебания одина-
кового направления мало отличаются
по частоте. В результате сложения этих
колебаний получаются колебания с пе-
риодически изменяющейся амплиту-
дой. Периодические изменения ампли-
туды колебания, возникающие при сло-
жении двух гармонических колебаний
с близкими частотами, называются би-
ениями.

Пусть амплитуды складываемых ко-

лебаний равны А, а частоты равны  и

 +

 причем

 Начало отсче-

та выберем так, чтобы начальные фазы
обоих колебаний были равны нулю:

Складывая эти выражения и учиты-

вая, что найдем

Результирующее колебание (144.3)

можно рассматривать как гармониче-

261

ское с частотой

 амплитуда

 кото-

рого изменяется по следующему пери-

одическому закону:

(144.4)

Частота изменения

 в два раза

больше частоты изменения косинуса

(так как берется по модулю), т.е. час-

тота биений равна разности частот
складываемых

Период биений

Характер зависимости (144.3) пока-

зан на рис. 206, где сплошные линии
дают график результирующего колеба-
ния (144.3), а огибающие их штрихо-
вые — график медленно меняющейся
по уравнению (144.4) амплитуды.

Определение частоты тона [звука оп-

ределенной высоты (см. § 158)] биений

между эталонным и измеряемым колеба-
ниями — наиболее широко применяемый
на практике метод сравнения измеряемой
величины с эталонной. Метод биений
используется для настройки музыкаль-

ных инструментов, анализа слуха и т.д.

Любые сложные периодические ко-

лебания s = f(t) можно представить в

виде суперпозиции одновременно совер-

шающихся гармонических колебаний с

различными амплитудами, различными

начальными фазами, а также частотами,
кратными циклической частоте

(144.5)

Представление периодической фун-

кции в виде (144.5) связывают с поня-
тием гармонического анализа слож-
ного периодического колебания, или

разложения Фурье

1

. Слагаемые ряда

Фурье, определяющие гармонические

колебания с частотами

 на-

зываются первой (или основной), вто-

рой, третьей  т. д. гармониками слож-

ного периодического колебания.

§ 145. Сложение взаимно

перпендикулярных колебаний

Рассмотрим результат сложения двух

гармонических колебаний одинаковой
частоты

 происходящих во взаимно

перпендикулярных направлениях вдоль
осей

 Для простоты начало отсче-

та выберем так, чтобы начальная фаза
первого колебания была равна нулю, и
запишем

х

 =

у =

(145.1)

где а — разность фаз обоих колебаний;

А

 — амплитуды складываемых ко-

лебаний.

Уравнение траектории результиру-

ющего колебания находится исключе-
нием из выражений

 параметра t.

Рис. 206

 Ж.

 — 1830) — французский

262