Курс физики для вузов - часть 68

Формулы (147.15) PI (147.16) мож-

но также получить с помощью вектор-
ной диаграммы (см. § 149).

§ 148. Амплитуда и фаза

вынужденных колебаний

(механических

и электромагнитных).

Резонанс

Рассмотрим зависимость амплиту-

ды А вынужденных колебаний от час-
тоты

 Механические и электромаг-

нитные колебания будем рассматривать
одновременно, называя колеблющуюся
величину либо смещением (х) колеблю-
щегося тела из положения равновесия,
либо зарядом (Q) конденсатора.

Из формулы (147.8) следует, что

амплитуда А смещения (заряда) имеет

максимум. Чтобы

 резонан-

сную частоту

 — частоту, при ко-

торой амплитуда А смещения (заряда)
достигает максимума, — нужно найти

максимум функции (147.8), или, что то
же самое, минимум подкоренного вы-
ражения. Продифференцировав подко-
ренное выражение

 и приравняв его

нулю, получим условие, определяющее

или близкой собственной частоте коле-
бательной системы, называется резо-
нансом (соответственно механи-

ческим или электрическим). При

б

2

 значение

 практически со-

впадает с собственной частотой

 коле-

бательной системы. Подставляя (148.1)
в формулу (147.8), получим

(148.2)

На рис. 212 приведены

амплитуды вынужденных колебаний от
частоты при различных значениях 8. Из

(148.1) и (148.2) вытекает, что чем

меньше 8, тем выше и правее лежит мак-
симум данной кривой. Если со

 0, то

все кривые [см. также (147.8)] достига-
ют одного и того же, отличного от нуля,
предельного значения

 которое

зывают статическим отклонением.

В случае механических колебаний

— в случае электромагнитных —

 Если  —> 0, то все кривые асимп-

тотически стремятся к нулю. Приведен-
ная совокупность кривых называется

резонансными кривыми.

Это равенство выполняется

 О,

 у которых только лишь по-

ложительное значение имеет физиче-

ский смысл. Следовательно, резонанс-

ная частота

Явление резкого возрастания амп-

литуды вынужденных колебаний при

приближении частоты вынуждающей
силы (частоты вынуждающего пере-
менного напряжения) к частоте, равной

Рис.212

271

Рис.213

максимальна при

 =

 и равна

т.е. чем больше коэффициент затуха-
ния б, тем ниже максимум резонансной
кривой. Используя формулы (142.2),

(146.10) и (143.4), (146.11), получим,

что амплитуда скорости при механиче-
ском резонансе равна

а амплитуда тока при электрическом
резонансе

Из формулы (148.2) вытекает, что

при малом затухании

 резо-

нансная амплитуда смещения (заряда)

где

 — добротность колебательной

системы [см. (146.8)];
ное выше статическое отклонение.

Отсюда следует, что добротность

характеризует резонансные свойства
колебательной системы: чем больше Q,

 больше

На рис.

 резонанс-

ные кривые для амплитуды скорости

(тока). Амплитуда скорости (тока)

Рис.214

Из выражения tg  =

 следует, что если затухание в

системе отсутствует (8 = 0), то только
в этом случае колебания и вынуждаю-
щая сила (приложенное переменное на-

пряжение) имеют одинаковые фазы; во
всех других случаях

 0.

Зависимость  от  при разных ко-

эффициентах 8 графически представле-
на на рис.

 из которого следует, что

при изменении

 изменяется и сдвиг

фаз

 Из формулы (147.9) вытекает,

что при

 — 0

 0, а при  =

 не

зависимо от значения коэффициента
затухания Ф = —, т.е. сила (напряже-
ние) опережает по фазе колебания на —.

При дальнейшем увеличении

 сдвиг

фаз возрастает и при

 е.

фаза колебаний почти противополож-
на фазе внешней силы (переменного на-
пряжения). Семейство кривых, изобра-
женных на рис. 214, называется фазо-
выми резонансными кривыми.

Явления резонанса могут быть как

вредными, так и полезными. Например,
при конструировании машин и различ-
ного рода сооружений необходимо, что-
бы собственная частота их колебаний

272

 совпадала с

 возможных

внешних воздействий, в противном
случае возникнут вибрации, которые
могут вызвать серьезные разрушения.

С другой стороны, наличие резонанса
позволяет обнаружить даже очень сла-
бые колебания, если их частота совпа-

дает с частотой собственных колебаний

прибора. Так, радиотехника, приклад-
ная акустика, электротехника исполь-
зуют явление резонанса.

§ 149. Переменный ток

 вынужденные элек-

тромагнитные колебания (см. § 147)
можно рассматривать как протекание в
цепи, содержащей резистор, катушку
индуктивности и конденсатор перемен-
ного тока. Переменный ток можно
считать квазистационарным,  е. для
него мгновенные

 силы тока во

всех сечениях цепи практически одина-
ковы, так как их изменения происходят
достаточно медленно, а электромагнит-

ные возмущения распространяются по
цепи со скоростью, равной скорости
света.

Для мгновенных значений квазиста-

ционарных токов выполняются закон

Ома и вытекающие из пего правила
Кирхгофа, которые будут использова-

ны применительно к переменным то-
кам (эти законы уже использовались
при рассмотрении электромагнитных
колебаний).

Рассмотрим последовательно про-

цессы, происходящие

 участке цепи,

содержащем резистор, катушку индук-
тивности и конденсатор, к концам ко-
торого приложено переменное напря-
жение

где

 — амплитуда напряжения.

Рис.215

 Переменный ток, текущий через

резистор сопротивлением R (L

 О,

 0) (рис. 215,

 При выполнении

условия квазистационарности ток через
резистор определяется законом Ома:

где амплитуда силы тока

Для наглядного изображения соот-

ношений между переменными токами
и напряжениями воспользуемся
дом векторных диаграмм.

 рис.

дана векторная диаграмма амплитуд-

ных значений тока  и напряжения
на резисторе (сдвиг фаз между

 и

равен нулю).

2. Переменный ток, текущий через

катушку индуктивностью L (R

 0,

 0) (рис. 216, а). Если в цепи прило-

жено переменное напряжение

 то

в ней потечет переменный ток, в резуль-

тате чего возникнет

 самоиндук-

ции [см. (126.3)]

 —L— . Тогда за-

кон Ома [см. (100.3)] для рассматрива-
емого участка цепи имеет вид

откуда

Рис.216

273

Так как внешнее напряжение приложе-
но к катушке индуктивности, то

(149.3)

есть падение напряжения на катушке.
Из уравнения (149.2) следует, что

После интегрирования, учитывая, что
постоянная интегрирования равна нулю
(так как отсутствует постоянная состав-

ляющая тока), получим

где

 =

Величина

(149.5)

называется реактивным индуктив-

ным сопротивлением (или индуктив-

ным сопротивлением). Из выражения

(149.5) вытекает, что для постоянного
тока

 — 0) катушка индуктивности не

имеет сопротивления. Подстановка зна-
чения

 =

 в выражение (149.2)

с учетом (149.3) приводит к следующе-
му значению падения напряжения на

катушке индуктивности:

(149.6)

Сравнение выражений (149.4) и

(149.6) приводит к выводу, что падение
напряжения

 опережает по фазе ток /,

 через катушку, на —, что и по-

казано на векторной диаграмме (рис.

3. Переменный ток, текущий через

конденсатор емкостью С

 0,

 217

L —> 0)

 217,

 Если переменное

напряжение (149.1) приложено к кон-

денсатору, то он все время перезаряжа-
ется, и в цепи течет переменный ток.
Так как все внешнее напряжение при-
ложено к конденсатору, а сопротивле-

нием подводящих проводов можно пре-
небречь,

 тока

(149.7)

Величина

называется реактивным емкостным
сопротивлением (или емкостным со-
противлением). Для постоянного тока

 0)

 =

 т. е. постоянный ток че-

рез конденсатор течь не может. Паде-
ние напряжения на конденсаторе

(149.8)

Сравнение выражений (149.7) и

 приводит к выводу, что падение

напряжения

 отстает по фазе от те-

кущего через конденсатор тока 1 на —.

Это показано на векторной диаграмме
(рис.

 б).

274