Курс физики для вузов - часть 54

Рис. 175

где п — число проводников с токами,
охватываемых контуром L произволь-
ной формы.

Каждый ток учитывается столько

раз, сколько раз он охватывается кон-

туром. Положительным считается ток,
направление которого образует с на-
правлением обхода по контуру право-
винтовую систему; ток противополож-
ного направления считается отрица-

тельным. Например, для системы то-
ков, изображенных на рис. 175,

Выражение (118.1) справедливо

только для поля в вакууме, поскольку,
как будет доказано ниже, для поля в

веществе необходимо учитывать моле-
кулярные токи.

Продемонстрируем справедливость

теоремы о циркуляции вектора

 на

примере магнитного поля прямого то-
ка /, перпендикулярного плоскости чер-
тежа и направленного к нам (рис. 176).
Представим себе замкнутый контур в
виде окружности радиуса  В каждой

Рис. 176

точке этого контура вектор  одинаков

по модулю и направлен по касательной
к окружности (она является и линией
магнитной индукции). Следовательно,
циркуляция вектора  равна

Таким образом, исходя из теоремы

о циркуляции вектора  получили вы-
ражение для магнитной индукции поля
прямого тока, выведенное выше [см.

(110.5)].

Сравнивая выражения

 и

 для циркуляции векторов Ё и

 видим, что между ними существует

принципиальное различие. Циркуляция
вектора Е электростатического поля
всегда равна нулю, т.е. электростати-
ческое поле является потенциальным.

Циркуляция вектора В магнитного
поля не равна нулю. Такое поле назы-
вается вихревым.

Теорема о циркуляции вектора

имеет в учении о магнитном поле такое
же значение, как теорема Гаусса в элек-
тростатике, так как позволяет находить
магнитную индукцию поля без приме-
нения закона Био — Савара

§ 119. Магнитные поля

соленоида и тороида

Рассчитаем, применяя теорему о

циркуляции, индукцию магнитного
поля внутри соленоида. Рассмотрим со-

леноид длиной /, имеющий

 по

которому течет ток (рис. 177). Длину
соленоида считаем во много раз боль-

215

Рис. 177

ше, чем диаметр его витков, т.е. рас-
сматриваемый соленоид бесконечно

длинный. Экспериментальное изуче-

ние магнитного поля соленоида (см.
рис. 164,

 показывает, что внутри со-

леноида

 является однородным,

вне соленоида — неоднородным и очень
слабым.

На рис. 177 представлены линии

магнитной индукции внутри и вне со-

леноида. Чем соленоид длиннее, тем
меньше магнитная индукция вне его.

Поэтому приближенно можно считать,

что поле бесконечно длинного солено-
ида сосредоточено целиком внутри
него, а полем вне соленоида можно пре-
небречь.

Для нахождения магнитной индук-

ции В выберем замкнутый прямоуголь-
ный контур ABCDA, как показано на

рис. 177. Циркуляция вектора  по зам-

кнутому контуру

 А, охватываю-

щему все N витков, согласно (118.1),
равна

Рис. 178

Интеграл по ABCDA можно пред-

ставить в виде четырех интегралов: по
АВ, ВС, CD и DA. На участках А В и CD
контур перпендикулярен линиям маг-
нитной индукции и

 = 0. На участке

вне соленоида В = 0. На участке DA
циркуляция вектора  равна

 (учас-

ток контура совпадает с линией магнит-
ной индукции); следовательно,

(119.1)

Из (119.1) приходим к выражению

для магнитной индукции поля внутри
соленоида (в вакууме):

(119.2)

Таким образом, поле внутри солено-

ида однородно (краевыми эффектами в
областях, прилегающих к торцам соле-
ноида, при расчетах пренебрегают). Од-
нако отметим, что вывод этой форму-

лы не совсем корректен (линии магнит-

ной индукции замкнуты, и интеграл по
внешнему участку магнитного поля
строго нулю не равен). Корректно рас-
считать поле внутри соленоида можно,
применяя закон

 —

са; в результате получается та же фор-
мула (119.2).

Важное значение для практики име-

ет также магнитное поле тороида —
кольцевой катушки, витки которой на-
мотаны на сердечник, имеющий форму
тора (рис. 178). Магнитное поле, как

показывает опыт, сосредоточено внут-
ри тороида, вне его поле отсутствует.

Линии магнитной индукции в дан-

ном случае, как следует из соображений
симметрии, есть окружности, центры
которых расположены по оси тороида.

В качестве контура выберем одну такую

окружность радиусом  Тогда, по тео-
реме о циркуляции (118.1),

 =

216

 откуда следует, что магнитная

индукция внутри тороида (в вакууме)

где N — число витков тороида.

Если контур проходит вне тороида,

то токов он не охватывает и В •

 0.

Это означает, что поле вне тороида от-

сутствует (что показывает и опыт).

§ 120. Поток вектора

магнитной индукции.

Теорема Гаусса для поля

Потоком вектора магнитной ин-

дукции (магнитным потоком) через
площадку

 называется скалярная фи-

зическая величина, равная

где

 — В cos a — проекция вектора

на направление нормали к площадке

(а — угол между векторами п

 dS =

=

 — вектор, модуль которого ра-

вен dS, а направление его совпадает с
направлением

 п  площадке.

Поток вектора  может быть как по-

ложительным, так и отрицательным в
зависимости от знака cos а (определя-
ется выбором положительного
ления нормали п). Поток вектора  свя-
зывают с контуром, по которому течет
ток. В таком случае положительное на-
правление нормали к контуру нами уже
определено (см. § 109): оно связывает-

ся с током правилом правого винта.

Следовательно, магнитный

 созда-

ваемый контуром через поверхность,
ограниченную им самим,

 поло-

жителен.

Поток вектора магнитной индук-

ции

 через произвольную поверх-

ность

(120.2)

Для однородного поля и плоской

поверхности, расположенной перпен-

дикулярно вектору

 — В — const и

Из этой формулы определяется еди-

ница магнитного потока вебер (Вб):

1 Вб — магнитный поток, проходящий

сквозь плоскую поверхность площадью

1 м

2

, расположенную перпендикулярно

однородному магнитному полю, индук-
ция которого равна 1 Тл (1 Вб =

 • м

2

).

Теорема Гаусса для поля

 поток

вектора магнитной индукции сквозь
любую замкнутую поверхность равен
нулю:

(120.3)

Эта теорема отражает факт отсут-

ствия магнитных зарядов, вследствие

чего линии магнитной индукции не

имеют ни начала, ни конца и являются

замкнутыми.

Итак, для потоков векторов

 Ё

сквозь замкнутую поверхность в вихре-
вом и потенциальном полях получают-
ся различные выражения [см. (120.3),

(81.2)].

В качестве примера рассчитаем поток

вектора  сквозь соленоид. Магнитная
индукция однородного поля внутри
соленоида с сердечником с магнитной
проницаемостью

 согласно (119.2),

равна

Магнитный поток сквозь один виток

соленоида площадью S равен

217

а полный магнитный поток, сцеплен-
ный со всеми витками соленоида и на-

зываемый потокосцеплением,

Рис. 180

§ 121. Работа по перемещению

проводника и контура с током

в магнитном поле

На проводник с током в магнитном

поле действуют силы, определяемые за-
коном Ампера (см. §111). Если провод-
ник не закреплен (например, одна из
сторон контура изготовлена в виде под-
вижной перемычки, рис. 179), то под

действием силы Ампера он будет в маг-
нитном поле перемещаться. Следова-
тельно, магнитное поле совершает ра-
боту по перемещению проводника с то-

ком.

Для определения этой работы рас-

смотрим проводник длиной l с током I

(он может свободно перемещаться),

помещенный в однородное внешнее
магнитное поле, перпендикулярное
плоскости контура. Сила, направление
которой определяется по правилу левой
руки, а значение

 по закону Ампера

[см. (111.2)], равна

Под действием этой силы проводник
переместится параллельно самому себе
на отрезок dx из положения 1 в поло-
жение 2. Работа, совершаемая магнит-
ным полем, равна

Рис. 179

где

 = dS — площадь, пересекаемая

проводником при его перемещении в
магнитном поле;

 — поток век-

тора магнитной индукции, пронизыва-
ющий эту площадь.

Таким образом,

(121.1)

т. е. работа по перемещению проводни-
ка с током в магнитном поле равна про-
изведению силы тока на магнитный
поток, пересеченный движущимся про-
водником. Полученная формула спра-
ведлива и для произвольного направле-
ния вектора

Вычислим работу по перемещению

замкнутого контура с постоянным то-
ком /в магнитном поле. Предположим,
что контур М перемещается в плоско-
сти чертежа и в результате бесконечно

малого перемещения займет положение
М', изображенное на рис. 180 штрихо-
вой линией. Направление тока в конту-
ре (по часовой стрелке) и магнитного
поля (перпендикулярно плоскости чер-
тежа — за чертеж) указано на рисунке.

Контур

 разобьем на два со-

единенных своими концами проводни-
ка:

 и

 А.

Работа dA, совершаемая силами Ам-

пера при рассматриваемом перемеще-
нии контура в магнитном поле, равна
алгебраической сумме работ по переме-
щению проводников ABC

 и CDA

dA

 +

 (121.2)

218